拉瓦尔喷管气动特性虚拟仿真实验

刘智刚， 杨晓军， 彭 捷，2

（1.中国民航大学航空工程学院，天津300300；2.西北工业大学力学与土木建筑学院，西安710072）

0 引 言

拉瓦尔喷管（又称收缩—扩张型喷管、缩放喷管）是一种典型的能量转换装置，气体在其内部流动过程中将热焓能转变为动能，最终获得超声速气流［1］。这种型面先收缩后扩张的管道在航空航天［2-3］、超声速风洞［4］、超细粉体制备［5-6］、轻工纺织［7］等领域得到了广泛应用。拉瓦尔喷管的工作原理是工程热力学、流体力学、气体动力学等能源动力类专业基础课程的重难点［8-9］，特别是背压对流动状态的影响由于参数烦多［10］，且涉及膨胀波与激波等抽象的气体动力学概念，学生普遍反映难于理解。开展拉瓦尔喷管气动性能实物实验对气源有很高要求，压强探针对流场有严重干扰，且用于观察激波现象的纹影仪［11］投入成本高，这些客观因素都限制了本科阶段相关内容实验教学的开展。基于计算流体动力学（Computational Fluid

Dynamics，CFD）开发了拉瓦尔喷管虚拟仿真实验项目，旨在借助CFD的可视化优势直观形象地展示拉瓦尔喷管内部流动过程和波系结构，帮助学生顺利掌握拉瓦尔喷管相关理论，使学生了解CFD分析流体流动问题的原理、步骤，激发学生的科研兴趣。

1 拉瓦尔喷管气动设计和数值仿真

1.1 拉瓦尔喷管气动设计

型面设计是拉瓦尔喷管气动设计的核心内容，设计参数见表1。将空气视为定比热容完全气体，认为流动过程是绝热的，并忽略壁面摩擦损失，即假设总温保持不变，而激波损失是造成总压下降的唯一因素。依据一维气动变截面管流理论开展喉部截面、出口截面等关键尺寸的设计计算，对喷管壁面型线进行分段设计得到初始型面，考虑真实气体的黏性效应作边界层修正得到最终型面［12］。

表1 拉瓦尔喷管设计参数

临界及超临界工作状态下，喉部达到声速，即喉部马赫数Mat=1、流量系数q（λt）=1，在喉部截面应用流量：

由此可确定喉部截面面积At及直径Dt。为使喷管出口气流达到设计马赫数Mae，出口截面面积Ae与At应符合等熵面积比：

式中，κ为定熵指数，对于空气κ取1.4。根据式（3）进一步得出出口截面面积Ae和直径De。至此，拉瓦尔喷管两个关键截面的尺寸Dt和De就得到了确定，前者取决于设计流量qm，后者则决定了出口截面马赫数是否符合设计指标Mae。由收缩比和部截面面积At确定进口截面面积A0，本例中设计Mae=2.2，根据经验［12］收缩比取值为4，即A0=4At。按照分段设计原则分别对收缩段和扩张段展开设计。收缩段连接A0与At截面，其作用是使气流均匀加速至声速，提高扩张段的气流品质，改善流场的稳定性、降低湍流度，采用维托辛斯基公式［13］进行设计。扩张段连接At与Ae截面，进一步细分为扩张前段和扩张后段，扩张前段的作用是把喉部的声速来流变成源流，采用圆弧加直线［13］的方法完成设计，后段的作用是将源流等熵地变成直均流，依据普朗特-迈耶函数控制曲线折转。

收缩段、扩张前段和扩张后段曲线相连就得到拉瓦尔喷管理想几何型面。由于空气的黏性作用，壁面附近存在边界层流动，局部气流速度远低于主流速度，减小有效位流面积，造成喷管出口气流马赫数低于设计值；壁面黏性边界层厚度不断增加，会进一步改变波系形状，导致出口气流不均匀［14］。因此，必须修正喷管的位流曲线。具体措施是计算喷管各点边界层位移厚度，将理想几何型面向外推移，其距离等于当地边界层位移厚度，按如下经验公式完成边界层修正［13］：

式中：δ*（x）为边界层位移厚度；x为轴向坐标；α为线性修正角，在本例设计马赫数条件下取值为0.5°。最终得到图1所示的喷管壁面型线。

图1 拉瓦尔喷管壁面型线

1.2 数值仿真及验证

采用商用计算流体动力学分析工具NUMECA开展流场仿真。考虑到模型和流场的对称性，取通过中心轴线的二维截面作为计算域并进行结构化网格划分。为准确描述近壁边界层流动状态以及捕捉超声速区域的正激波结构，对全局网格进行了加密处理，最小网格尺寸为13μm，保证近壁雷诺数y+小于10，网格节点总数为600 194。壁面作绝热处理，设定喷管进口总温、总压和背压作为边界条件，以空气作为介质对拉瓦尔喷管流场进行数值仿真计算，并通过调节背压pb研究背压变化对流动的影响。

为验证数值仿真方法的合理性，将数值计算结果与理论分析进行比对。对于几何尺寸给定的拉瓦尔喷管，当进口参数一定时，有一个特定的背压条件，使喷管出口截面稳定地存在一道正激波，该背压条件标记为界限压强ps。通过理论计算得出ps，将计算结果作为出口背压施加在喷口截面进行流场仿真计算，观察出口截面是否存在正激波。这道正激波可以认为是气流膨胀加速到设计Mae=2.2，受到高背压ps扰动而形成的，Mae与ps满足正激波关系式：

式中，pe为出口达到设计马赫数对应的气流静压，Pa。pe与Mae符合由气体动力学函数关系，即

将表1中设计参数代入式（5）、（6）。得到ps=92.25 kPa，图2所示为该背压条件下的流场仿真结果，可观察到正激波恰好位于出口截面，数值仿真与理论预测是吻合的。

图2 p s=92.25 kPa时正激波处于喷管出口截面

2 超声速喷管波涡干涉分析

图3所示为正激波在扩张段内（此时背压高于ps）的典型流动过程，利用马赫数分布云图来展示超声速区域的波系结构。气流在喉部达到声速（Mat=1）后继续均匀加速，在扩张段连接位置产生弱斜激波，马赫数略有下降，但是超声速气流在扩张型通道内膨胀加速的总趋势未发生改变，马赫数转而继续提高。由于喷管型面的对称性，壁面产生的弱压缩波相交在管道中心线上发生偏折，然后延伸至对侧壁面。压缩波相交之后仍然是压缩波，马赫数先略有降低再均匀提高。压缩波在壁面处发生反射，衍生出反射压缩波，紧邻反射压缩波的下游位置可以观察到另外一道弱压缩波。压缩波相交之后的流场划分为3区域：首先是交点下游、反射压缩波包围的稳定超声速区，气流马赫数均匀提高至2.17；其次是反射压缩波与壁面包围的低马赫数区（上下对称2个区域），马赫数最高只达到2.09。超声速气流终止于一道正激波，然后急剧转变为亚声速气流。正激波下游的亚声速气流在扩张型通道内减速流动，马赫数沿流向逐渐降低。可见，正激波之后的流场也对应地分为3个区域：中心区域马赫数较低、两侧对称区域马赫数略高，即波前马赫数越高，正激波造成的速度下降越严重。

图3 位于扩张段时正激波的典型波系结构

图4～6所示分别给出了马赫数Ma、静压系数cp及总压恢复系数σ沿喷管中心线的发展变化规律，其中cp和σ分别定义如下：

图4 不同背压条件下马赫数发展变化规律

式中，p、p*分别为当地静压和总压，Pa。图中的6种背压条件分别为亚临界状态（pb/p*=0.944 4）、临界状态（pb/p*=0.932 3）、扩张段正激波状态（pb/p*分别为0.833 3、0.533 3和0.523 2）及出口正激波状态（pb/p*=0.512 5）。亚临界状态和临界状态下，收缩段加速膨胀、扩张段扩散增压，区别在于临界状态时喉部（流向距离x约为0.12 m）达到声速。其余4种状态静压呈现沿途下降的趋势，直到正激波发生突增阶跃。曲线斜率表明，喉部截面之后的区域压强下降速率更快，即超声速气流的膨胀加速比亚声速更剧烈。每经过一次弱压缩波，曲线斜率减小，气流膨胀过程逐渐均匀缓和。总压变化说明正激波的波阻损失是造成流动损失的主要因素，背压越低，则激波越靠近喷管出口，且激波前马赫数越高，对应的总压损失越大，例如pb/p*=0.533 3时总压损失接近40%。紧邻激波波面的壁面附近可明显观察到气流分离现象（见图7）。正激波造成了静压阶跃，形成逆压力梯度，而壁面边界层内气体流速及动量较低，逆压流动能力弱，产生了回流区。图7还表明，波前马赫数越高，激波强度越大，则回流区范围越大，对主流的影响越显著。

图7 激波诱导边界层分离

图5 不同背压条件下静压发展变化规律

图6 不同背压条件下总压的恢复系数

仿真结果显示：（1）喷管出口背压作为一种扰动，以正激波的形式影响喷管内的流动过程，并直接影响激波截面与出口截面之间亚声速区域的流动过程，而激波上游的亚声速区（收缩段）和超声速区不直接感受背压扰动的影响，即扰动无法在超声速气流中向上游传播；（2）来流条件一定时，扩张段激波的位置随背压变化而发生改变，低背压条件下激波靠近出口截面、高背压条件下激波靠近喉部截面；（3）随着背压的降低，超声速气流发展越充分，马赫数越高，激波对气流的影响越显著，高背压条件则与之相反。作为一个教学验证型实验项目，数值仿真结果与气体动力学讲授的波系理论、变截面管流理论完全吻合，对学生理解拉瓦尔喷管流动过程、波的相交与反射、微弱扰动传播规律等课程难点都有很大帮助。计算结果能够直观展示激波作用造成的可用能损失（即总压损失）、波面下游的压强阶跃现象，而激波主导的逆压力梯度诱发边界层分离［15］更是突破了教材原有知识的限制，有助于学生更深刻的理解激波特性。

3 声速线和正激波形成机理仿真

拉瓦尔喷管的临界状态是指气流在收缩段加速至声速、扩张段转而减速的状态，如图8所示为临界状态及附近邻域的9个仿真结果，清晰地展示了声速线和正激波形成过程，为便于分析，图中仅给出了喷管喉部附近跨声速区域，即局部Ma≥0.8的区域。图8（a）为亚临界状态，8（b）显示声速泡（Ma=1的等值线）首先出现在喉部壁面的凸点处，并随着背压的降低而逐渐向中心线扩展，如图8（c）、（d）所示。当背压降低至特定数值时，2个声速泡连接在一起，贯穿喉部截面的声速线正式形成，得到如图8（e）所示的临界状态，这一数值由喉部面积、喷管出口面积及进口总压共同确定。随着背压的下降，Ma=1的等值线包围的超声速区域逐渐扩大，如图8（f）、（g）所示，其显著特征是前半分支稳定的存在于喉部截面，上游气流参数不再受背压变化的影响；后半分支则向下游逐渐移动，并受下游亚声速区域高压气流的压缩而形成压缩波。图8（g）～（i）表明，与声速泡的首先出现位置类似，最高气流速度、最高马赫数均出现在壁面凸点处，压缩波也首先在此处出现。随着超声速区域马赫数的提高，压缩波汇聚形成超声速区与亚声速区的强间断面，以尾激波的形式进一步向中心线靠拢并连接形成正激波，这道正激波随背压的降低而向喷管出口推进。需要指出的是，需精细调节背压pb才能精确捕捉到图8（e）中声速泡相连形成声速线的临界状态图像，而实物实验是很难做到这一点的。

图8 声速线和正激波的形成

4 实验项目应用

开发了2种模式面向学生开放实验项目。第1种模式以观察拉瓦尔喷管内部流动过程中物理现象为重点，教学目标是使学生掌握拉瓦尔喷管流动规律，该模式适用于低年级专业基础课实验教学。实验准备阶段，指导教师课前以出口背压为变量，计算并存储给定进口参数、不同背压条件下的流动仿真结果（.cgns格式），并编写脚本文件（.py格式）。指导学生以批处理的方式快速调用仿真结果，可视化呈现马赫数、静压、速度等物理量的变化规律，对流动现象和内在机理予以解释，指导学生重点关注气体流动的过程和物理现象。第2种模式以计算流体动力学基本原理、分析问题的步骤为训练重点，指导学生完成“前处理（划分网格）—设置参数开展仿真计算—后处理（流场分析）”的完整操作，以拉瓦尔喷管气动性能研究为例了解计算流体动力学分析问题的方法，可以深入开展激波诱导边界层分离的临界条件等问题的研究，该模式可为高年级学生参与课题研究、创新性竞赛项目打下基础。

5 结 语

本文基于一维气动变截面管流理论设计了一款拉瓦尔喷管，并利用计算流体动力学流场仿真技术分析了喷管流动特性，可视化地展示了超声速流动的波系结构和波涡干涉现象。通过分析马赫数、静压和总压等关键气动参数，研究了不同背压条件下的气体流动过程，获得了与经典一维气动理论一致的结果，可作为演示验证型实验项目面向学生开放。虚拟分析中发现的激波诱导边界层分离现象和声速线形成过程不拘泥于课本知识，可加深学生对变截面管流理论的理解，该仿真实验项目已经在气体动力学课程教学中得到了应用。