沉迷切触几何 编织奇妙世界

刘有婷

古希腊数学家毕达哥拉斯曾说过：“数统治着宇宙。”简单的数字、符号通过自由组合却能够产生描述万物的语言，这是许多数学家沉迷于数学的原因。上海交通大学数学科学学院副教授李友林也是沉迷于数学的一名研究人员。在他看来，热爱数学的人是一群对世界充满好奇、渴望在抽象中感知自然秩序的人。而令李友林痴迷的领域是已经具有100多年历史的“切触几何”。

走进切触几何世界

平时喜欢安静的李友林，在谈起自己所研究的领域时却总是滔滔不绝。

据他介绍，切触几何是研究奇数维流形上的完全不可积超平面场的几何。它是偶数维流形上的辛几何的奇数维对应。所谓完全不可积是说流形中的任何超曲面在其中任何开集上都不与所给超平面场处处相切。直观看来，这意味着超平面场“转得太多了”以至于不能与任何超曲面的切丛重合。Darboux证明奇数维流形上的切触结构在局部上都是一样的，所以切触几何的研究内容和结果都是与流形整体有关的，这一点与黎曼几何不同。

切触几何起源于1872年Sophus Lie引 入切触变换作为研究微分方程组的一种几何工具。切触结构可以用来描述一些物理现象。Gibbs和Caratheodory用它来描述热力学。几何光学中的Huygens原理等价于切触几何中的一个论断。切触几何也与其他若干数学分支有联系，比如低维拓扑、辛几何、代数几何中的奇点理论、多复变中的Stein流形，等等。多个数学分支在切触几何这个舞台上交融互动，演绎出一幕幕精彩绝伦的数学戏剧。

现代切触几何真正开端于1983年Bennequin发现了三维欧氏空间上存在一个与标准切触结构不一样的切触结构，后者含有一个“过度扭转”的圆盘而前者不含有。所谓过度扭转是说切触平面场与圆盘的切平面场限制在圆盘的边界上的时候是重合的。含有过度扭转的圆盘的切触三维流形被称为过度扭转的，否则称为胎紧的。过度扭转的概念后来也被推广到高维的情形。切触流形最基本的问题是什么样的流形上有切触结构，以及给定流形上的切触结构的分类。最早Gromov对于任何开的定向的奇数维流形上的切触结构进行了分类。之后1989年，Eliashberg对于任何闭的定向的三维流形上的过度扭转的切触结构进行了分类。2014年，Eliashberg完全解决了闭的定向的奇数维流形上的过度扭转的切触结构的存在性和分类问题。Eliashberg因为他在切触几何等领域中的杰出贡献而在2020年获得沃尔夫奖。

切触流形的辛填充是指一个辛流形以它为边界并且其辛形式在边界上与切触结构满足某种兼容性。切触流形的Stein填充是指一个Stein domain以它为边界并且其复结构在边界上与切触结构满足某种兼容性。Stein填充蕴含辛填充，辛填充蕴含胎紧。给定一个切触流形，一个自然的问题就是理解它的所有辛填充和Stein填充。

21世纪初，Ozsvath和Szabo引入Heegaard Floer同调。这是一系列关于闭的定向的三维流形的强有力的不变量。Giroux建立了描述切触三维流形的拓扑手段，开书分解。把这两项工作结合起来，Ozsvath和Szabo对切触三维流形定义了一个切触不变量。如果切触不变量非零，那么这个切触三维流形是胎紧的;如果切触不变量为零，那么这个切触三维流形就不是强辛填充的。

与数学为伴

李友林是湖南衡阳人，本科毕业于兰州大学，博士毕业于北京大学。这一路走来，李友林始终与数学为伴。在北大读研究生期间，李友林师从王诗宬院士，系统地学习了三维流形的拓扑。当时李友林也通过丁帆教授知道了有切触几何这样一个研究方向。丁帆教授是我国最早从事切触几何研究的学者。

2008年博士毕业之后，李友林来到上海交通大学工作，决定从事切触几何的研究。据李友林介绍，他所研究的切触几何是流形上的一种几何结构，而想要弄明白切触结构，他首要做的就是先把流形结构搞清楚。研究生期间的学习经历为他后来的研究奠定了坚实的基础。“切触几何在中国的相关研究人员较少，仅在个位数。”李友林指出。为了尽快到达切触几何的研究前沿，在2012年和2016年，李友林分别前往美国佐治亚理工学院和加州大学洛杉矶分校访问。在访问期间，李友林结识了很多切触几何方面的同行和朋友，对这一方向有了更加深入的认识，也坚定了研究切触几何的决心。

经过十余年的研究，李友林在三维流形上的胎紧切触结构的分类、过度扭转切触结构的识别、切触结构的切触不变量、勒让德纽结、切触三维流形的辛填充和Stein填充等方面取得了一系列成果。在這期间，李友林得到了国内国外很多人的支持和帮助，如李友林与Kaloti（Georgia Tech）、Ozbagci（土耳其Koc大学）分别合作，对一些典型的切触三维流形的辛填充进行了分类;李友林与丁帆、刘亚晶（UCLA）分别合作，解决了一些切触三维流形的辛填充的存在性问题。

在Giroux把三维流形上的切触结构与三维流形的忽略掉稳定化的开书分解建立一一对应的基础上，李友林与Etnyre（Georgia Tech）合作，将紧致带边曲面的同调本质的曲线复形引入到对开书分解的研究过程中，并用它给出一个开书分解是可以去稳定化的一个充分必要条件。利用这一条件，李友林与Etnyre进一步对承载标准的切触三维球面的页面亏格为零的开书分解的去稳定化问题做出了解答。

此外，丁帆与Geiges还发现，任何切触三维流形都可以从标准的切触三维球面出发，沿着一个勒让德链环做切触手术而得到。李友林与丁帆、吴忠涛（香港中文大学）合作，通过切触三维流形的手术描述来研究其过度扭转性质和切触不变量，给出切触三维流形是过度扭转（或者不变量为零）的若干充分条件。

对于未来，李友林没有特别明确的期许，只想坚持沿着研究切触几何这条路走下去，享受在数学世界里自由探索的乐趣和发现的喜悦。