基于三维激光扫描技术的简仪空间结构与器身形貌测量建模研究①

王学志 赵 洋 张 瑶 常 铖 陈 康①

一、 引言

简仪是元代天文学家郭守敬于公元1276年创制的一种测量天体位置的大型实用天文仪器。郭守敬将结构繁复的唐宋浑仪化为两个独立的观测装置——赤道经纬仪和地平仪，并将其安装在一个底座上，实现了装置分工与结构简化，观测时不再有妨碍视线的圆环。简仪的设计新颖，结构独特，是我国天文仪器史上的一大飞跃。简仪的创新主要体现在：1.减少圈环利于观测和便于运转；2.在百刻环与赤道环之间加入四个小圆柱，变滑动摩擦为滚动摩擦，便于运转，这种滚筒轴承的设计比西方约早200年[1]；3.百刻环上每刻被等分为36份，四游双环上每刻被等分为10份，较之前的刻度最小分划值更小，能够提高观测精度；4.采用线照准法取代过去传统的筒照准法，提高观测精度。

现存简仪为明英宗正统二年至七年(公元1437—1442年)按郭守敬所制仪器仿制而成，而郭守敬的简仪在清康熙五十四年(公元1715年)因为要制造新的地平经纬仪被熔铸销毁了。

明制简仪一直使用到明末，堪称中国古代传统天文学成就的杰作与象征，也是世界上罕有的大型传世天文文物，具有极高的科学价值与历史价值。青铜铸就的明制简仪又是精美的艺术品，它形体高大、工致华美，结构牢固而又灵巧实用，反映了冶铸技术和工艺美术方面的熟练技巧和高超水平。遗憾的是，在八国联军侵华与抗日战争期间，明制简仪遭受劫掠与损坏，四游环上的窥衡遗失，一些附属零件也消失不见。为深入认识此重要科技文物的丰富内涵，同时尽可能地留存其空间结构与器身形貌信息，有必要对其实施原位、无损、高精度的测量研究。

简仪由地平经纬仪(或称立运仪)、赤道经纬仪(或称赤道仪)、基座与支撑柱构成。地平经纬仪有阴纬环(地平环)和立运环，赤道经纬仪有赤道环、百刻环和四游环。其中地平环、百刻环固定不动，立运环绕地平环中心的竖轴旋转，赤道环套装在百刻环内绕南北极轴旋转，四游环架设在南北极轴之间旋转。四游环安装窥衡用于观测。简仪以底部四周的跌面为水平外框，内布与之相交的三条横輄和三条纵輄，共同构成一个矩形闭合框架式铜铸基座。基座的四个隅角和中部有8根斜柱作支承件，并以透雕的镂空盘龙纹和圆雕云纹为主纹饰。极轴倾斜北高南低。北极轴在两根最长的 “A”形交叉的柱状北极云架顶端，云柱中部铸一横輄，其中部与阴纬环中心各装立运环上、下枢轴。南极轴及百刻环用两根交叉呈“X”形云柱支架和两条龙柱支承[2]。

1-6石础；7-10小方墩；11水跌与跌面；12极圈；13定极圈；14北极云架与鳌云(立运、赤道环支架)；15-16立运仪龙柱；17南极云架柱(赤道仪支架)；18-19赤道仪龙柱；20阴纬环(地平环)； 21立运环；22窥衡；23立运环轴栓；24百刻环；25赤道环；26界衡；27四游环；28窥衡；29极枢轴；30日晷表；31日晷；32-33指针。图1 简仪结构图

简仪的空间结构测量主要指以规则表面构成的地平经纬仪、赤道经纬仪、基座和支撑件的三维坐标测量，以获取结构关系、设计原理与观测精度等信息；器身形貌测量主要指自由曲面构成的龙柱、云柱、鳌云、百刻环等结构件上精细纹饰、刻划符号与后期损坏等细部特征，以获取制作工艺、使用与保存状况等信息。

此前，简仪空间结构信息主要来自文献记载与1988年修复中的一次实测，由吴坤仪、王金潮、李秀辉等通过单点测量法实施[3]。单点测量法虽简便易行，但只能记录少量且精度不高的位置关系数据，结构件之间的立体相交或者某些无实体连接的空间关系(如窥衡十字线的同轴度)均不能有效表达。简仪的龙柱、云柱、刻度等形貌信息则主要借助图片或照片进行记录，复杂而精细的三维纹饰、符号与损坏等信息也无法准确描述。

五百余年来，明制简仪的准确空间结构与器身形貌尚未得精确测量；距第一次实测也已经过去了三十余年，目前尺寸与之前相比有无显著变化也不得而知，有必要利用新的技术手段进行完整的测量。

简仪的精确测量有三个特点：第一，鉴于其文物属性，必须实施原位、无损，非接触测量；第二，鉴于其复杂的空间结构与器身形貌，不能将其简单地分为平面、圆柱、直线等测量元素，必须通过大量曲面上的离散数据点(三维点云)来记录与描述，通过计算机实现分析与重现；第三，鉴于认知其结构、原理、工艺与现状的需求，测量应满足：精细扫描精度≤0.1mm，整体精度≤1mm，分辨率≤0.5mm，扫描速度≥200万点/每秒，模型数据量≥2000万网格，无接触式扫描、不能贴点，输出像素≥5000万。

三维激光扫描技术是一种先进的全自动高精度立体扫描技术。它是用三维激光扫描仪获取目标物表面各点的空间坐标，然后由获得的测量数据构造出目标物三维模型的一种全自动测量技术。同传统的单点采集数据测量手段相比，三维激光扫描技术可以连续、自动、快速地采集大量的目标物表面三维点数据，即点云，具有许多独特的优势，包括：数据获取速度快，实时性强；数据量大，精度高；主动性强，能全天候工作；全数字特征，信息传输、加工、表达容易。这种测量方式能够满足文物精确测量的特点，完全适于简仪的测量[4-6]。

二、 简仪三维点云数据采集系统

本次测量选用的三维激光扫描仪型号为FARO Design ScanArm2.0，主要参数为：系统精度0.075mm；扫描速度300帧/秒；最小有效扫描距离115mm；有效扫描深度115mm；最小点间距40μm。简仪外形点云数据测量系统由FARO Design ScanArm2.0三维扫描仪、三维数据采集系统、辅助数字成像系统、支架等构成三维激光扫描系统。

(一) 三维点云数据采集原理

三维激光扫描仪主要是结合激光测距仪和角度测量进行快速测量的仪器[7][8]。其点云坐标测量原理如图2所示。

图2 点云坐标测量原理图

将X轴、Y轴形成的面规定为横向扫描面，横向扫描面与Z轴垂直。假定扫描仪的激光发射器发出激光束，激光束经过扫描棱镜的O点(三角形的第一个角点，也是横向扫描面与Z轴的交点)发射到被测物体上，在P点(三角形的第二个角点)形成反射光，然后通过透镜被CCD图像传感器接收(激光束与透镜的交点A为三角形的第三个角点)，利用CCD镜头读出反射光成像点，当反射光斑随被测物体表面起伏时，成像光点做相应的移动。并且利用角度测量仪器测出激光纵向扫描角度θ和脉冲横向扫描角度α。

利用激光三角法测距原理，基于两个角度γ和λ，以及三角形的一条边(基线的长度d)可以计算出目标P到O点的距离S：

S=d·sinλ/sin(λ+γ)

(1)

那么，可以得出P点的坐标(X,Y,Z)为：

(2)

(二) 三维激光扫描的误差分析

三维扫描测量的点位误差分为系统误差和偶然误差，如距离测量、角度测量、被测对象的反射特性、外界环境条件等引起的误差。系统误差是可以通过公式或者算法的修正来抵消。偶然误差具有随机性，是人为无法控制的，可以通过多次测量去平均值来抵消。

1. 单个扫描点的误差

(1) 扫描仪误差

扫描仪的误差主要来自激光测距误差和扫描角度误差。

激光发射器向目标物体发射激光脉冲信号的时候，被测物体表面会形成一个激光光斑，光斑的大小与扫描仪距被测物体的距离呈正比。理论上的距离应以光斑中心的位置为准。实际上是扫描仪接收的第一次回波来确定的，反射点可以是光斑的任一位置。因此激光测距误差与扫描仪距被测物体的距离呈正比，此误差也被称为“比例误差”。

扫描角度包括水平扫描角度和竖直扫描角度。扫描角度引起的误差就主要来自扫描镜面平面角误差、扫描镜转动的微小震动、扫描电机不均匀转动控制误差等因素的综合影响。

(2) 被测物体反射面相关误差

被测物体反射面相关误差来自于被扫描的物体，扫描仪激光发射器发出脉冲信号，抵达被测物体反射面后发生激光反射。此过程中反射面倾斜或者表面粗糙不光滑会引起激光落脚地位置的偏差，产生测量误差。

(3) 外界环境条件

此类误差来自被测物体所处环境中的温度、湿度、气压、光线强度等客观因素。温度、湿度、气压、光线强度等会对光在空气中的传播速度、方向有一定的影响。如果测量距离较远，产生的偏差就会比较大，因此三维激光扫描仪需要在一定温度和一定距离范围内测量才能获得精确的数据。为了获得精确数据，避免温度、湿度、气压、光线强度等客观因素对测量的影响，本次测量时间选在2019年6月。

2. 点云模型误差

点云模型误差主要来自点云配准过程中，各个测站的数据拼接进行坐标转换产生的误差[9]。用σ作为评价点云配准的精度指标。σ由控制点在坐标转换前后两个坐标系中X、Y、Z三个方向的距离差的均方根计算得到。假设有n个点需要转换，那么点云配准误差公式为：

(3)

(xi,yi,zi)、(x′i,y′i,z′i)分别为配准前后的点云坐标；n为控制点个数；μ为未知数个数。

对于大型目标物的扫描，通常需要进行多个测站点的扫描，点云配准是将各个测站的点云进行配准组成一个闭合的点云系统。如果相邻测站点云配准误差较大，再加上多次配准的误差累积，就会影响整个模型的精度。

三、 简仪外形三维点云数据采集

简仪外形三维点云数据采集流程如图3所示。

图3 点云数据采集流程图

(一) 扫描仪测站方案

简仪结构件的高度分布为由四周向内逐渐升高，且内部空隙较大。受限于测量臂本身的测量范围，在保障简仪文物绝对安全的前提下，需要在简仪四周及内部空隙设置合理的测站。

测站的设置原则：1.保障简仪文物的绝对安全；2.相邻的测站要保证20%～30%的扫描重复率；3.在确保尽可能完整获取数据的前提下，采用最少的测站数，减少点云配准误差(见图4)。

图4 扫描仪测站分布俯视图(圆点为测站位置)

(二) 形貌点云数据的采集

由于简仪表面雕饰、龙柱和云柱等造型精美而复杂，通过一次扫描不可能完整记录简仪的外形数据信息。在扫描的时候每一位置都需要进行多次多角度扫描，尤其是结构复杂的龙柱、刻度细密的圈环等部分。

四、 简仪三维点云数据处理

针对FARO Design ScanArm2.0三维激光扫描仪获取的点云坐标数据的类型，使用Geomagic Studio对点云数据进行过滤、配准、稀释、降噪、封装、光顺、填充、松弛、修剪锐化等处理。简仪三维点云数据处理使用计算机配置：CPU型号i7-6500U、内存64GB。三维点云数据算法处理时间为15天，三维模型处理时间为5天。

(一) 点云配准

基于点云的配准是指在进行点云拼接时，手动选取相邻测站的明显公共特征信息点，并命名为相同的名字进行点云配准的方法[10]。由于简仪表面雕饰、龙柱和云柱等造型复杂，为了保障外形数据信息的完整，在采集点云数据时，同一位置进行过多次扫描，扫描仪测站与测站之间的公共点比较多，因此本项目采用的配准方法为基于点云的配准(见图5)。配准时将不同测站之间的数据通过四个以上的同名点自动识别算法拼接成完整的简仪三维模型。此外，点云配准方法还有基于标靶的配准与基于控制点的配准，此次简仪扫描未涉及。

图5 点云配准前后对比图

(二) 点云去噪

在扫描的过程中，由于杂散光、背景光或者系统运行中的其他一些意外因素，不可避免的会产生一些不属于简仪本身的数据，这些数据也会被记录在简仪点云数据文件中。为了准确真实的反应简仪的外形信息，需要剔除这些异常的点云数据。异常的点云数据的去除方法有很多，本次处理主要采用数据自动优化处理和人机交互剔除相结合，得到干净清晰的整体扫描点云数据和符合实体特征的测量表面(见图6)。

图6 点云去噪前后对比图

(三) 点云修补

由于角度及扫描空间限制等原因造成的模型表面结构位置数据空缺，需要进行点云修补。根据空间结构与器身形貌的不同特点，简仪的数据修补采用三种不同的填充方法。对于简仪基座底面，因空间限制而无法完全扫描，且底部也无特殊纹饰，采用平面修补法填充空洞。对于龙柱部分，因存在很多镂空形貌，激光无法形成完整的照射、反射与接收过程，采用曲面修补法填充内部的圆柱部分。对于少量纹饰形貌空缺的情况，采用复制相似法在相同结构或相似形貌处截取相似部分进行填补(见图7)。

图7 龙柱(龙身)局部效果图

(四) 点云精简

三维激光扫描仪获取的结构与形貌点云数据量相当庞大，形貌的数据量尤其突出，仅一根龙柱的数据就达2.13GB，整个简仪模型数据量达到34.5GB。在计算机分析处理时将导致大量的计算资源和存储资源被占用，因此有必要对简仪的点云模型进行不同程度的精简，以满足不同情况的使用需求。

本次处理建立了三套简仪三维数字模型，分别为：用于科学研究及文物保护的高精度模型、用于科普展示的中精度模型、用于科普展示的低精度模型。

五、 简仪三维数字模型尺寸验证

(一) 与人工单点测量数据的对比

为了验证简仪三维模型的准确性，项目组做了激光扫描法与人工单点测量法的对比试验。在进行三维激光扫描的同时(可排除温差等造成待测量的环境误差)，以钢卷尺实测基座的19项几何尺寸，对比结果如表1与图8所示。

表1 简仪三维模型尺寸与实测尺寸对照表(1)尺寸一：数据采自2019年6月FARO Design ScanArm2.0三维激光扫描仪测量；尺寸二：数据采自2019年6月卷尺测量。

(续)

图8 尺寸一与尺寸二的线性拟合图

从上表可以明显看出，钢卷尺实测尺寸与三维模型尺寸的差值在区间[-1.1,1]之间，说明简仪三维模型尺寸钢卷尺实测尺寸基本上是一致的。

利用origin软件，对表1的两次测量数据进行线性拟合，比较其相似度。横坐标表示尺寸二的数值，纵坐标表示相对应的尺寸一的数值，拟合结果如图8所示。通过分析可以得出：1.相关性系数越接近1，说明直线的拟合度越好。尺寸一和尺寸二相关性系数R-Squar=1，说明尺寸一和尺寸二的线性拟合度很好，两次测量结果可以用方程y=0.9999x+0.14269表示。2.b=0.9999，保留三位有效数字为1.00；a=0.14269, 保留三位有效数字为0.143。原方程可以写为：y=x+0.143，即y-x=0.143。说明尺寸一的值在整体上比尺寸二约大0.143mm，两者数值相差很小，整体上两次测量的数值是一致的。

从表1和图8的分析可以说明，简仪三维数字模型数据的可靠性不低于人工单点测量法，而在精密度、准确度与系统误差等方面均优于后者。

(二) 与历史测量数据的对比

对比本次测量与之前的测量结果可知(见表2)：1.与1988年的测量结果相比，基座各方向的几何尺寸均有一定程度的增加，南侧增幅最小，为4.3mm；西侧增幅度最大，为13.4mm；2.基座的厚度尺寸没有明显的变化，说明整个基座的单个构件性能稳定。3.赤道环X形架高度尺寸相差较大，可能是系统误差所致。据参与1988年测量的罗宝琪先生回忆，由于简仪部件遮挡导致难以测量，当时的数据可能有较大误差；立运仪A形架高度有一定程度的降低，说明立运仪A形架倾角减小，这与基座尺寸增大是相对应的，据此推测目前简仪的结构与1988年前相比可能有一定程度的变化，导致基座连接部产生了位移。4.地平环、立运环、百刻环、四游环尺寸相差均未超过1mm，可以说圈环整体结构相对稳定，几乎未发生形变。

表2 简仪历次测量数据对照表(2)尺寸三：数据来自参考文献[3]。

利用origin软件，对表2的两次测量数据进行线性拟合，比较其相似度。横坐标表示尺寸三的数值，纵坐标表示相对应的尺寸一的数值，拟合结果如图9所示。通过分析可以得出：1.相关性系数越接近1，说明直线的拟合度越好。尺寸一和尺寸二相关性系数R-Squar=1，说明尺寸一和尺寸三的线性拟合度很好，两次测量结果可以用方程y=1.00213x-0.69156表示。2.b=1.00213，保留三位有效数字为1.00；a=-0.69156, 保留三位有效数字为-0.692。原方程可以写为：y=x-0.692，即y-x=-0.692。说明尺寸一的值在整体上比尺寸三约小0.692mm，两者数值相差不超过1mm，整体上两次测量的数值是一致的。

图9 尺寸一与尺寸三的线性拟合图

六、 结论

本文主要探索了三维激光扫描技术在古代大型天文仪器——简仪上的应用。研究表明：三维激光扫描技术对简仪进行精细化建模效果较好，模型精度高，能够完整地记录简仪当前的空间结构与器身形貌数据，对于简仪及类似文物的保护、研究、应用、科普等提供了珍贵的基础数据。

通过与1988年简仪测量数据的比较，可以看出整体结构变形不大，但基座尺寸的增大较显著，需引起有关部门的警觉。简仪的结构是否发生了较大范围的改变以及结构的稳定性、安全性等需要进一步研究论证。

致谢本研究得到孙烈、胡毕富、张旸、陈向阳、吴星亮、曹宇、陈士刚、罗宝琪等老师的指导与协助，谨致谢意。