HPM视角下“字母表示数”的教学设计

吴晓琼

摘要：HPM是数学史与数学教育的简称。字母表示数的发展经历了三个阶段，修辞代数、缩略代数、符号代数，是从算式过渡到代数的标志，本设计从数学史的角度出发，对教学进行重构，改善当前教学的不足之处。

关键字：HPM 字母表示数

教学内容：北师大版四年级下册第61-62页

教学目标：结合具体情景，会用字母表示数和数量关系;经历探索用字母表示数的过程，体会字母表示数的必要性。

一、情境导入，逐步建构

1. 親历字母表示数的抽象概括过程

数青蛙儿歌：1只青蛙4条腿，2只青蛙8条腿……

问题：1只青蛙几条腿？2只青蛙几条腿，算式是怎样？

生：1×4=4，2×4=8。

师依次询问3只，4只，5只青蛙的腿数，生依次回答。

师：这幅图还有几只青蛙，它的腿数又是多少呢？

生：无数只青蛙和无数条腿。

师：接下来举行个比赛，半分钟的时间，用算式来表示青蛙的腿数，要求如下：（1）从第6只青蛙开始写;（2）只写算式，不写答案;（3）算式竖着对齐。（活动一）

问题2：观察写的算式，这些算式有什么特点？

生：一个乘数是4，另一个乘数在不断的变大。

师：写得完吗？为什么？

生：写不完。因为青蛙的只数不确定，青蛙越来越多。

师：青蛙的腿数怎么表示呢？用自己喜欢的方法表示在学习单上（活动二）。

（1）情况一：不知道怎么表达青蛙的只数，用文字“无数”代替。

（2）情况二：用特殊的符号、图形，会发现写不完，数量关系体现不出来。

（3）情况三：用字母N表示青蛙，用字母B表示腿数，N×B为青蛙的腿数，忽略了青蛙的腿数是确定的4只。N=青蛙，B=腿数，N×B

（4）情况四：用字母表示青蛙的只数。n只青蛙n×4条腿

师：你们觉得那种表示方法更好，为什么？

生：字母。字母可以表示未知的青蛙数，是不确定的，方便快捷地表示出关系。

【设计意图】活动一让学生亲历写不完的过程，急需一种新的表示方法来表示数量间的关系。而活动二让学生用自己喜欢的方式进行表达，学生的表达方式也正是字母表示数的发展历程--修辞代数（文字）、缩略代数（特殊的符号）、符号代数（字母），通过比较，用字母表示数更方便简洁。

2. 体会含有字母的式子即表示特定的数量关系也表示结果

师：请问你今年多少岁？生：10岁。

师：老师比你们大17岁，老师多少岁？生：27岁。

师：如何用算式表示？生：10+17。

师：明年你们上五年级了，老师又多少岁？生：11+17。

师：日子一天天过去，你们每年大一岁，老师也每年大一岁，怎么表示老师与你们之前的年龄关系呢？

生：可以用字母表示，我们n岁，老师就n+17岁。

师：n是什么意思？生：n是我们的岁数。

师：是固定的吗？生：不是，n在变化。

师：这个式子表示出了老师与你们的年龄差关系，也就是说含有字母的式子可以表示两个数之间的关系，对吗？生：对！

【设计意图】学生已经历过字母表示数的过程，因而在这一环节由教师的引导可抽象概括出字母可以表示特定的数量关系，也再次体会用字母表示数的必要性及简洁性，渗透函数思想^[2]。

二、编故事，巩固建构

主角1：5×a

师：接下来，老师给大家带来一个有意思的活动----“编故事”。主角1是“5×a”，老师先示范个例子。（随意走到学生的书桌，拿起他的笔），如果一只笔a元，那么5×a就是---

生：5只笔的钱。师：并且还是5只相同的笔的钱。

[学生活动]小组内互编故事。师巡堂，引导说出不同的故事主体，如价钱、人数、重量等，寻找好故事。

生1：一个盒子里有a块巧克力，5个盒子就有5×a块巧克力。

生2：我有5本书，每本书都是a元，5本书就是5×a元

生3：一个教室里有5个人，5间教室就有5×a个人……

师：同学们都说得非常好，这样的例子说得完吗？

生：说不完！

师：是的，世界上只要两个量之间是有5倍关系的，都可以用5×a概括进来！

主角2：8+b

师：（随意挑选教室的物体）这本书8元，数学书比它贵b元，数学书就是---生齐答8+b元，快快开始吧。

生4：我今年b岁，姐姐比我大8对，姐姐今年8+b岁

生5：我有8只笔，我同桌比我多b只笔，同桌有8+b只笔。

生6：我站在b层楼，妈妈站在比我高8层楼的地方，妈妈站在8+b层楼。

【设计意图】通过前面的学习，学生已了解可以用字母表示数，而这一环节是为了巩固建构，充分发挥学生的想象力，体会到两个量存在倍数关系，或特定关系的，都可以用含有字母的式子来表示。

三、 历史回溯，介绍字母表示数的历史

师：大家把故事说得如此的丰富多彩，接下来老师给大家介绍字母表示数的历史吧！

师：在历史上，人们一开始是用文字表示数量与数量之间的关系的，比如

[课件展示]文字---每个重量×5，每个价钱×5，每班人数×5。

师：用文字表达，显然比字母繁琐冗长，因此古希腊的数学家丢番图想到了用特殊的符号---“缩写”来表示数量间的关系。

[课件展示]特殊的符号---“缩写”，丢番图，并把“重”，“价”，“人”标红，转化成“z×5”，“j×5”，“r×5”。

师：仿照丢番图的方法，我们取每个数量关系的首字母，如每个重量，重量取z，那么价钱取---j，人数取---r

师：但是这里的字母都表示特定的意思，不能把j×5和r×5混淆起来，因此这种方法并没有给数学家们研究数学带来便利。一直到了17世纪，法国数学家韦达想，如果把情景中固定的意思去掉的话，不就是5和一个数量相乘吗？

[课件展示]“z×5”，“j×5”，“r×5”，依次变成“□×5”

师：因为字母表示起来更方便，韦达就把“□×5”表示成了“a×5”，这里的字母与□一样，就是一个符号，自从韦达把字母当做符号使用后，代数学得到了快速地发展，韦达也被称为“近代代数学之父”。

师：同学们，你们知道从丢番图用“缩写”表示数一直到韦达用字母表示数经历了多长时间吗？

师：经历了一千两百多年的时间呢，老师知道同学们还存在着困惑，别着急，数学家们用了上千年才认识字母可以表示数，我们才用了一节课呢。

【设计意图】以简洁的语言介绍字母表示数的历史，修辞代数---用文字表示，缩略代数---丢番图，符号代数---韦达，感受数学文化的魅力，丰富情感价值。

四、 巩固小结（略）

参考文献

[1]汪晓勤，栗小妮.数学史与初中数学教学----理论、实践与案例[M].华东师范大学出版社，2019：101-103.

[2]蔡宏圣.数学史走进小学数学课堂：案例与剖析[M].北京：教育科学出版社，2016：22