一次函数增减性的正用和逆用

刘家良

一次函数y = kx + b（k，b是常数，k ≠ 0），当k > 0时，y随x的增大而增大;当k < 0时，y随x的增大而减小. 正用和逆用一次函数的增减性，可解决如下四类问题.

一、由增减性求k的范围

例1（2020·安徽）已知一次函数y = kx + 3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（ ）.

A.  （-1，2） B.  （1，-2） C.  （2，3） D.  （3，4）

解析：由一次函数y = kx + 3的函数值y随x的增大而减小，得k < 0. 再将选项中各点坐标代入y = kx + 3中，求得k值，从中筛选出符合条件的k值，找到点A的坐标.

∵一次函数y = kx + 3的函数值y随x的增大而减小，∴k < 0.

将（-1，2），（1，-2），（2，3）（3，4）分别代入y = kx + 3中，则k分别为1，-5，0，[13]，

由k = -5 < 0，可知點A的坐标可以是（1，-2）. 故应选B.

说明：也可以求出直线y = kx + 3与y轴的交点坐标为（0，3），画出示意图，看选项中哪个点与（0，3）满足x值增大而y值减小的条件.

二、由k的正、负性比较y的大小

例2（2020·广州）y = -3x + 1的图象过点（x1，y1），（x1 + 1，y2），（x1 + 2，y3），则（ ）.

A. y1 < y2 < y3 B. y3 < y2 < y1 C. y2 < y1 < y3 D. y3 < y1 < y2

解析：∵k = -3 < 0，∴y随x的增大而减小，∵x1 < x1 + 1 < x1 + 2，∴y3 < y2 < y1. 故选B.

三、由k的正负性比较x的大小

例3（2020·江苏·宿迁）已知一次函数y = 2x - 1的图象经过点A（x1，1），B（x2，3）两点，则x1_______x2（填“>”“ < ”或“ = ”）.

解析：∵k = 2>0，∴y随x的增大而增大，即x随y的增大而增大，∵1 < 3，∴x1 < x2.

故填“ < ”.

四、由图象上两点坐标求k的正负性

例4（2020·山东·东营）已知一次函数y = kx + b（k ≠ 0）的图象经过A（1，-1），B（-1，3）两点，则[k] 0（填“>”或“ < ”）.

解析：横坐标从1到-1在减小，而相应的纵坐标从-1到3在增大，这表明y随x的减小而增大，所以k < 0. 故填“ < ”.