探求矩形中线段和的最小值

谭炜东

构建模型1：矩形一边为对称轴，对称点在形外，确定最值，用一次函数求点的坐标.

例1 如图1，矩形ABOC的顶点A的坐标为（- 4，5），D是OB的中点，E是OC上一动点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标为（ ）.

A. [0，43] B. [0，53] C. （0，2） D.  [0，103]

解析：如图2，作点A关于y轴的对称点F，连接DF，交y轴于E，

此时△ADE的周长最小.

∵A（- 4，5），D是OB的中点，∴F（4，5），D（ - 2，0），

设直线DF的解析式为y = kx + b，

∴[-2k+b=0，4k+b=5，]解得[k=56，b=53，]∴直线DF的解析式为y = [56]x + [53]，

∴直线DF与y轴的交点E的坐标为[0，53]. 故应选B.

解答要点：一是明确对称轴，准确构造对称点;二是理解周长最小的意义，确定动点位置;三是灵活运用一次函数的相关知识，确定动点的坐标.

构建模型2：对称点在矩形外，构造共线线段，探求四边形周长的最小值.

例2 如图3，矩形ABCD中，AB = 10，BC = 5， AE = CG，BF = DH，则四边形EFGH的周长的最小值为（ ）.

A. 5[5] B. 10[5] C. 10[3] D. 15[3]

解析：如图4，作点E关于直线AD的对称点M，

过M作MN⊥CD，交CD的延长线于N，连接GM，交AD于H，连接AM，EH，

根据题意得EH + GH的最小值为线段GM的长度.

由对称可知AM = AE，易证AM = ND，∴CG = ND，

∴NG = DG + ND = DG + CG = DC = 10，MN = AD = BC = 5，

在Rt△GMN中，[MG2=MN2+NG2] = [52+102]，則MG = 5[5]，

根据题意，易证四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH周长的最小值为2MG = 10[5] . 故选B.

解答要点：一是明确对称轴，准确构造对称点;二是连接线段，确定使线段和最小时的线段;三是运用勾股定理、矩形的性质确定最小线段的数值.

构建模型3：对称点在形外，平移后构造共线线段，探求四边形周长的最小值

例3 如图5，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A，C在坐标轴上，点D（6，4），E为CD的中点，点P，Q是BC边上两动点，且PQ = 2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（ ）.

A. （2，0） B. [83，0] C. （4，0） D. [143，0]

解析：如图6，将点A（0，4）沿AD方向平移2个单位长度，到达点G（2，4），

过点E作直线BC的对称点F，连接GF，交BC于点Q，连接CF，

易证四边形APQG是平行四边形，则AP = GQ，

由题意得AP + QE的最小值为线段GF的长度.

根据对称性得点F（6， - 2），

设直线GF的解析式为y = kx + b，∴[6k+b=-2，2k+b=4，]解得[k=-32，b=7，]

∴直线GF的解析式为y =  - [32]x + 7，∴点Q [143，0].

∵PQ = 2，∴OP = [143] - 2 = [83]，∴点P [83，0]. 故应选B.

解答要点：一是明确对称轴，准确构造对称点;二是通过平移，确定线段和取最小值时的线段;三是灵活运用一次函数的性质，确定交点的坐标.

构建模型4：对称点在形外，构造垂线段，探求线段和的最小值

例4 如图7，矩形ABCD中，AB = 10，BC = 5，若点M，N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM + MN的最小值为（ ）.

A. 10 B. 8 C. 5[3] D. 6

解析：如图8，作点B关于直线AC的对称点E，

过点E作EN⊥AB，垂足为N，分别交AC，DC于点M，G，连接EC，MB，

根据题意得BM + MN的最小值为线段EN的长度.

连接AE，交CD于点F，根据对称性和等腰三角形的判定易得AE = AB = 10，AF = FC.

设AF = FC = x，则DF = 10 - x，

在Rt△ADF中，∵[AF2=AD2+DF2]，

∴[x2=52+（10-x）2]，解得 x = [254]，∴EF = 10 - x = [154]，

在△EFC中，[12×EF×EC=12×FC×EG]，

∴[12×154×5=12×254×EG]，∴EG = 3，

∴EN = EG + GN = 8，∴BM + MN的最小值为8. 故选B.

解答要点：一是明确对称轴，准确构造对称点;二是通过构造垂线段，确定线段和取最小值时的线段;三是灵活运用勾股定理等相关知识，确定该线段的长度.

（作者单位：深圳大学附属教育集团外国语中学）