非接触多磁环负刚度机构非线性刚度行为特性研究

王 瑶，李占龙,，刘 琪，连晋毅，王建梅，秦 园

(1.太原科技大学 机械工程学院，太原 030024；2.教育部重型机械工程研究中心，太原 030024)

Carrella等[2]提出的三弹簧结构首先为负刚度的研究打开了思路，利用两斜置弹簧提供负刚度。Liu等[3]提出了欧拉屈曲梁结构作为负刚度来调整平衡位置时的动刚度。Valeev等[4]提出了单独碟簧和环形结构组合而成的碟簧模型。任旭东等[5]采用两个水平对称空气弹簧作为负刚度。徐道临等[6]将5个线性弹簧并联组合设计了非线性低频隔振器。蓝双等[7]在新的结构设计中弃用了压缩弹簧，采用拉伸弹簧的准零刚度隔振器。与前者对比后发现拉伸式具有更宽的准零刚度区间以及结构上的优势。杜宁等[8]通过利用平行四边形的不稳定性来产生负动刚度。Liu等[9]设计了凸轮-滚子-非线性弹簧机构，并讨论了水平阻尼对系统隔离力激励和位移激励的能力的影响。张春辉等[10]通过在平衡位置设置一定的预紧力的准零刚度隔冲器来提高平衡位置附近的鲁棒性。

近年来也陆续有学者利用磁的特殊性质构建负刚度元件。Zhou等[11]利用电磁铁设计了刚度可调的具有高静刚度-低动刚度的磁性隔振器。磁弹簧提供负刚度，磁弹簧由电磁铁和永磁铁构成，刚度值可以随电流变化。Dong等[12]展开磁力准零刚度隔振技术研究，开发了由螺旋结合构成的高静态低动态刚度的多维低频隔振器。柴凯等[13-16]分别利用等效磁荷法建立矩形永磁铁和双环形永磁铁的磁力和刚度解析模型。严博等[17]提出利用多个永磁体的不同磁化方式和布置形式来实现高性能的非线性隔振，验证了在小幅值和大幅值激励下的有效隔振。Yang等[18]基于几何非线性动力学负刚度特征衍生的几何非线性隔振理论，建立了超低频时滞隔振器控制策略，实现对小于1 Hz振动的有效控制。苏智伟等[19]比较分析了含负刚度动力吸振隔振系统的传递和响应特性。Kim等[20]将准零刚度隔振器应用于超精密测量传感器，实现对低频微幅振动的有效控制，大幅提高传感器精度。

本文基于磁弹簧原理，提出一种非接触多磁环负刚度机构(non-contact negative stiffness, NCNS)，结合气动人工肌肉(pneumatic artificial muscle, PAM)正刚度机构，设计了一种非接触准零刚度隔振系统。为探明隔振系统刚度机理与特性，以负刚度机构为研究对象，搭建了负刚度实验台，从理论和实验对其刚度行为特性开展了系统研究，为隔振系统动力学建模、参数优化及其工程应用提供理论基础。

1 非接触多磁环负刚度机构

图1为非接触多磁环准零刚度隔振器结构，主要包括承载平台、PAM正刚度机构和NCNS负刚度机构。承载平台由球铰与中心轴连接，可有效适应偏载工况；正刚度机构由PAM多自由度平台构成，可根据载荷情况实时调节正刚度大小及平台角度，达到对准零刚度系统内部传力的垂向归一化，进而实现内部解耦，以适应承载刚度和平衡刚度需求；NCNS负刚度机构由同轴排列的上磁环、下磁环和内磁环组成，上下磁环固定在内壳体凹槽处，内磁环固定在中心轴上，与上下磁环呈相吸磁极分布。振动通过球铰平台传递给中心轴，中心轴带动内磁环在上下磁环之间运动，由于磁力作用产生负刚度。

1.球铰承载平台; 2.中心轴; 3.直线轴承; 4.上端盖; 5.上磁环; 6.内磁环; 7.下磁环; 8(1).内壳体1; 8(2).内壳体2; 9.外壳体; 10.PAM上盖; 11.PAM; 12.PAM座; 13.底座。

为探明负刚度机理与特性，将负刚度机构作为研究对象，并做如下假设：① 内磁环与上下磁环沿轴向等距设置；② 上下磁环几何参数相同，且与内磁环呈相吸磁分布；③ 内磁环重力远小于作用磁力，可忽略；④ 考虑内外(上下)磁环因相对位移而产生对内磁环的综合垂向力，将负刚度机构等效为图2所示的坐标系。

如图2所示，将坐标系xoy面与内磁环下表面中心点重合，内磁环垂向运动为z轴，且向上为正。内磁环与上下磁环沿轴向等距设置，距离为l；上下磁环间距离为H；内磁环的内径、外径和高度分别为d1、D1、T1，上下磁环的内径、外径和高度分别为d2、D2、T2，z为内磁环沿轴向移动的位移；下角标1表示内磁环变量，下角标2表示上下磁环变量，下角标2a指代上磁环变量，下角标2b指代下磁环变量。

图2 负刚度机构坐标系

2 负刚度理论建模

2.1 三磁环模型磁力计算

由分子电流假说[21]永磁体的磁矩可表示成由体电流密度Jt和面电流密度Jm构成，故由磁媒质中的安培定律得到体电流密度和面电流密度的表达式为

(1)

Jm=M×e

(2)

式中：e为垂直磁体表面的单位矢量；M是沿轴向的磁化强度矢量。环形永磁铁沿轴向均匀磁化，磁环强度矢量分别为M1和M2；磁化强度矢量与剩余磁通密度Br1和Br2的关系分别为M1=Br1/μ0，M2=Br2/μ0，μ0=4π×10-7NA-2为真空磁导率。

由于沿轴向均匀磁化，根据式(1)、(2)可知，三磁环内环形永磁体的体电流密度均为零，只在环形永磁体的内外圆柱表面具有非零的面电流密度，表示为

(3)

式中：φ为内外圆柱表面切向单位向量。

在图2所建坐标系空间内取点p(rp,φp,zp)，根据比奥-萨伐尔定律[22]可知，p点沿轴向磁化的环形永磁体产生的剩余磁通密度表示为

B(rp,φp,zp)=Br(rp,φp,zp)r+

Bφ(rp,φp,zp)φ+Bz(rp,φp,zp)z

(4)

其中，

(5)

rpcos(φp-φ1)]Φ0r(i)dφ1dz1

(6)

Bφ(rp,φp,zp)=0

(7)

(zp-z(k))2|1/2

(8)

内磁环承受的总磁力Fz由上磁环对其吸引力F1-2a和下磁环对其吸引力F1-2b叠加，表达式为

Fz=F1-2a+F1-2b

(9)

由安培定律可知，内磁环内外圆柱表面上的电流元Idl在上下环形永磁体产生的磁场中受到的安培力为：

dF=Idl×B

(10)

故

(11)

(12)

式中：

(13)

(14)

(15)

2.2 非线性负刚度

将内磁环轴向磁力对z(k)求一阶偏导数，即可得负刚度机构非线性刚度解析表达式为

Φ3)dz2dφ2dφ1

(16)

(17)

(18)

(19)

3 模型验证

3.1 模型建立

基于表1所列参数建立负刚度机构计算模型，进行磁场耦合特性分析，并获得负刚度行为特性。在ANSYS Maxwell中建立多磁环负刚度模型，按照表1设置磁环参数并设定z向充磁，得到有限元仿真模型。图3和图4分别为轴向充磁条件下磁通密度分布图和磁场强度分布图。由图3和图4可知，任一磁环的磁场强度都沿轴向区域分布，且径向对称，与充磁方向一致；磁环上下端面磁性最强，可实现相邻磁面的最大磁力且均匀分布；端面磁场强度峰值为6.145×105A/m。

图4 磁场强度分布图

表1 环形永磁体的参数

图3 磁通密度分布图

3.2 实验验证

图5为搭建的负刚度实验台。实验台上安装有刻度轴、高精度动态测力计、磁环夹具和负刚度磁环(钕铁硼)等。上下磁环固定在刻度轴上，测力计与内磁环同轴连接，可沿刻度轴上下移动，实现对不同位移下内磁环的复合轴向磁力进行测试并记录。实验前首先测得中心轴及内磁环整体重力为1 N，对于磁环间磁力而言可忽略不计，与计算环境条件统一。

1.测力计固定座；2.固定轴；3.下磁环；4.底座；5.梅花手拧螺丝；6.内磁环；7.磁环固定座；8.上磁环；9.测力计。

依据表1所示参数，设置实验条件，获得在H=50 mm且轴向最大位移z为±20 mm下的内磁环力-位移数据，对比结果见图6。从图6中可以发现，计算结果与实验数据基本吻合，二者校正决定系数Adjusted R-square为0.999 75，验证了计算模型的可靠性。

图6 拟合仿真曲线和实验数据

4 负刚度行为特性

由式(16)可知，负刚度Kz由磁环几何尺寸D、d、T、H和l以及永磁体的物理特性决定。因此，对于给定的钕铁硼环形永磁体负刚度机构，可通过调节其几何和物理参数来探究参数特性，揭示负刚度行为规律。

4.1 充磁方向

分别计算沿Z向充磁和沿Y向充磁条件下负刚度行为特性，见图7。由图7可知，在同样磁场强度条件下，两种充磁方向的负刚度区间宽度相同，但沿Z向充磁负刚度机构的最大弹性力大于沿Y向充磁负刚度机构，差值约50 N。因此，沿Z向充磁负刚度机构具有较强的负刚度特性，承载能力显著。

图7 磁方向对负刚度的影响

4.2 几何参数

图8～11分别为改变磁环的内径d、外径D和厚度T，以及上下磁环间距H得到的负刚度机构力-位移曲线。首先可以发现，磁环内、外径和厚度的变化仅会影响负刚度机构的最大弹性力，对负刚度区间宽度影响较小，基本稳定在±20 mm之间。在负刚度位移区间，负刚度特性对内磁环外径和上下磁环内径的敏感性较强，即较小内磁环外径/外磁环内径变化会导致负刚度特性的大幅变化；磁环内径的增大、外径较小或厚度减小均会导致负刚度特性减弱，这是由于几何参数的变化会导致磁环体积的变化，进而导致磁场强度的变化。因此，在准零刚度隔振器设计时，可通过改变磁环内外径和厚度的变化，在不改变负刚度区间的基础上，来调节隔振器的承载刚度，进而确定与之匹配的正刚度范围。由图11可知，随H增加，负刚度区间从-15～15 mm扩展到-25～25 mm附近，但负刚度峰值稳定不变。因此，可以通过调节H在不改变负刚度行为特性的基础，扩展隔振系统的行程。

图8 环形永磁体内径对磁刚度的影响

图9 环形永磁体外径对磁刚度的影响

图10 磁环高度T对磁刚度的影响

图11 上下磁环距离H对磁刚度的影响

4.3 磁场强度

图12为不同磁导率Br值下负刚度机构的力-位移曲线。由图12可以发现，磁导率Br的增加，负刚度机构的最大弹性力增大，其负刚度区间保持不变，与解析刚度式(16)一致。

图12 不同Br值对磁刚度的影响

5 结 论

本文提出了一种新型非接触多磁环准零刚度隔振器，由三磁环NCNS负刚度机构和PAM正刚度机构串联组成。为探明隔振系统负刚度机理与特性，将NCNS负刚度机构作为研究对象，推导出其解析刚度表达式，建立了计算模型，对其负刚度行为特性及参数特性开展了系统研究。主要结论有：

(1)NCNS负刚度机构具有显著的负刚度特性，在同样几何参数和负刚度区间条件下，轴向充磁比径向充磁获得更大的负刚度，配合与之匹配的正刚度机构，在满足低频宽带隔振性能的基础，能获得较强的承载能力。

(2)负刚度机构刚度行为特性具有明显的参数依赖性，调整磁环参数D、d、T和Br值可提升负刚度的承载性能，但不改变负刚度区间；调整H可拓展负刚度区间，但不改变承载性能。

(3)计算模型与实验有很好的一致性，验证了该模型的正确性，为下一步新型准零刚度隔振系统动力学建模、参数优化及其工程应用提供了理论基础。