“百鸡问题”及其衍生问题

1 百鸡问题简介

所谓百鸡问题，是指下面这道中国古代数学题：

鸡翁一，值钱五;鸡母一，值钱三;鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只.问鸡翁、母、雏各几何？

用现在的语言表述就是：公鸡5元1只，母鸡3元1只，小鸡1元3只.用100元钱买100只鸡.问公鸡、母鸡、小鸡各买多少只？

百鸡问题是《张丘建算经》中的最后一题.张邱建，北魏清河（今河北邢台市清河县）人，是公元5世纪著名的大数学家.《张丘建算经》成书于公元466年到公元485年之间，现传本有92个问题.该书在最大公约数与最小公倍数的计算、不定方程的求解以及等差数列相关问题的求解等方面，具有独到的见解.百鸡问题是《张邱建算经》中的一个世界著名的不定方程问题.该书给出了这个问题的三组解：（1）公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只;（2）公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只;（3）公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只.

自张邱建以后，中国数学家对百鸡问题的研究从来没有间断过，百鸡问题几乎成了不定方程的代名词，从宋代到清代围绕百鸡问题的数学研究取得了许多成就.百鸡问题不仅在中国几乎尽人皆知，而且在国外也有较大影响.

2 百鸡问题的解法

关于百鸡问题的解法，《张丘建算经》中只提到：“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益（增加）三，即得.”但他并没有给出更具体的解法.现在我们通过解不定方程的方法来求出这个问题的解.

3 与百鸡问题相关的一些问题

在《张丘建算经》之后，出现了许多与百鸡问题相类似的问题，其中有些问题是后人自行编拟出来的，而有些问题却有明显的改变痕迹.现在我们挑选出其中的几例，与读者共同分享.

1.“百人搬砖”问题（选自《趣味歌词古体算题选》，作者：潘有发，台湾九章出版社1995年出版）.

百人搬百砖，男子一搬八，妇女一搬三，小孩三搬一.请问各几人，各搬几块砖？不准列方程，不准用比例，只许用心算，看谁算得快！

参照百鸡问题的解法，运用不定方程当然可以求解这个问题，但题目要求我们“用心算”.

根据已知条件我们可以进行如下分析：一个男人比一个女人多搬5块砖;三个女人比三个小孩多搬8块砖.因为人数和砖数都必须是正整数，所以，应该先从小孩算起，小孩的人数应该是3的倍数.假设小孩有90人（也可以设小孩有60人，75人，87人等，只要是3的倍数即可，然后再逐一否定），搬砖30块，那么剩下70块要由10人来搬.若这10人都是女人，则只能搬30块，此时剩下的40块砖无人搬.因为每个男人比每个女人多搬5块，所以，只要把其中的8个女人对换成男人，则剩下的40块砖恰好分给8个男人搬.

所以，该问题的答案是：男人8人，每人搬8块砖，共搬砖64块;女人2人，每人搬3块砖，共搬砖6块;小孩90人，每3人搬1块砖，共搬砖30块.

2.“千钱百鸡”问题（选自程大位原著，梅毂成编《增删算法统宗》）.

今有千文买百鸡，五十雄价不差池，草鸡每个三十足，小者十文三个知.

用现在的语言表述就是：现有1000元钱去买100只鸡，公鸡每只50元，母鸡每只30元，小鸡3只10元.问公鸡、母鸡、小鸡各买多少只.

这道题与百鸡问题没有本质区别，只是钱的总数与每种鸡的价钱都增加到原来的10倍.仿照百鸡问题，通过解不定方程可得三组解：公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只;公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只;公鸡12只，母雞4只，小鸡84只.

3.“百马百瓦”问题.

一百匹马驮一百块瓦，大马驮三块瓦，小马驮两块瓦，两个马驹驮一块瓦.问大马、小马、马驹各几匹？

五十多年前，笔者读小学时，先父就曾经给我出过这道题，但具体出处不太清楚.

设大马x匹、小马y匹、马驹z匹，根据已知条件有方程组： x+y+z=100，3x+2y+12z=100.

解这个不定方程可得下面6组解：

4.“和尚几人”问题（选自程大位《算法统宗》）.

一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁.

“和尚几人”问题比百鸡问题少了一个条件，从而使得其解法也简单许多.通过求解一个一元二次方程，就可以很容易地求出答案来.程大位在《算法统宗》中曾经给出一个不用方程的漂亮解法.其解法如下：

因为1个大和尚吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，所以，1个大和尚和3个小和尚共吃4个馒头.把1个大和尚和3个小和尚看成一组，100个和尚共分为25组.由于每组有1个大和尚和3个小和尚，因此25组有25个大和尚，75个小和尚.

5.“百钱买百牛”问题.

据传，清代嘉庆皇帝曾仿照“百鸡问题”编了一道“百牛问题”给大臣们做：有银百两，买牛百头，大牛一头十两，小牛一头五两，牛犊一头半两.问大牛、小牛和牛犊各买多少头？

答案：买大牛1头，小牛9头，牛犊90头.

6.“几人吃饭”问题.

在马克思的《数学手稿》中有一个与百鸡问题类似的问题，就是下面这个“几人吃饭”问题：

有30个人，其中有男人、女人和小孩，在一家小饭馆吃饭花了50先令.每个男人花3先令，每个女人花2先令，每个小孩花1先令.问男人、女人和小孩各多少人？

仿照百鸡问题，通过解不定方程可得下面9组解：

观察上面的“百鸡问题”“千钱百鸡问题”“百马百瓦问题”和“几人吃饭问题”的答案不难发现，在每一个问题的所有答案中，x的值所构成的数列是一个等差数列;同样，y的值所构成的数列和z值所构成的数列也都是一个等差数列.

与百鸡问题相关的问题，当然不止上面所罗列的这些.要想进一步了解更多的问题，读者可以查阅相关的资料;如果有兴趣，也可以自行编拟一些与之相关的问题.不论是自行求解，还是在课余时间与朋友交流、探讨，都是一件很有意义的事情.

参考文献

[1]徐品方，徐伟.古算诗题探源[M].北京：科学出版社，2008.9

作者简介 司志本（1959—），男，河北兴隆人，教授.曾被授予河北省优秀教师，获国家曾宪梓教育基金会教师奖;有170余篇数学论文发表.