借助教材例、习题为学生搭建数学认知“小阶梯”

杨周荣麟

教材是学生的学习之本，也是教师教学首先需要研究与讨论的主要内容.我们知道，教材中每一节课的例题与习题设计一定都承载着教学示范功能，是考查学生学习能力、应用所学知识实践的主要载体，也是体现教学中渗透数学学科培养目标与核心素养的主要依据.因此，教师对每节课教材配置的例题和习题都应该进行认真研究，以学生的具体学情为基石，借助这些题目为学生学习、应用新知搭建认知“小阶梯”，让他们快乐地学习、积极地获取.在这里笔者以北师大版《数学》九年级上册第四章第七节“相似三角形的性质（第1课时）”为例谈谈如何借助教材例、习题为学生搭建认知“小阶梯”.

纵观第四章，学生已经有了成比例线段、平行线分线段成比例、相似多边形、相似三角形的定义与三种判定方法的知识储备，可以类比几何学习方法进行相似三角形性质的研究.教材在章节前明确提出三方面的学习目标：了解相似三角形的性质，进一步提高推理能力，并利用图形的相似解决一些简单的实际问题.因此，在课程设计时，应落实学习目标.第七节的重点是相似三角形性质定理的应用，即在学习新知后，需要通过例题与习题的设计配合，让学生明确三个应用技能：一是了解相似指两个图形间的数量关系，与其所在位置无关;二是明确相似三角形的对应高、对应角平分线、对应中线之比都可以相互得到，并且它们有一个重要的桥梁联系是相似比，任意一组对应边之比都可以得到相似比;三是学生需要从基本文字语言熟悉性质，再学会由几何直观找到图形中线段的关系，应用性质解题并渗透到实际问题中，抽象出数学模型，打开应用的锁.

一、利用习题，为学生由文字语言向几何直观认知过渡搭建“小阶梯”

针对本节课学习重点，在讲解了相似三角形性质定理后，笔者首先借助教材第107页随堂练习的检测标准，进行变式，让学生体会完全的文字表述，目的在于使其熟悉相似三角形性质定理的基本内容与4个几何量之间数量关系的相互转换，为学生认识新知搭建“小阶梯”.

第一阶段全文字表述习题训练：

以上五题，没有任何计算难度，学生可以很快得到答案，并且通过反复的知识点串联，进一步强化对相似三角形性质定理基本知识点的理解和掌握.在基础落实后，笔者再让学生做教材中第107页随堂练习两个题目及第108页习题4.11知识技能第1题.这三道题的难度与应用程度相对之前的5个题大一些，学生的认知“小阶梯”便搭建完成.否则，按照教材中的设计，直接进入符号语言线段成比例表示部分，学生是根本没有办法转化为相似比认知的.这样有坡度的设计，可使学生轻松愉快地掌握知识.

第二阶段难度提升习题训练：

2.两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2 cm和5 cm，则这两个三角形的相似比是   ;在这两个三角形的一组对应中线中，若较短的中线是3 cm，则较长的中线是   .（教材第108页随堂练习2）

3.△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，已知AD=8 cm，A′D′=3 cm，则△ABC与△A′B′C′对应高的比是   .（教材第108页习题4.11知识技能1）

二、分解例题，为学生几何直观应用性质定理搭建“小阶梯”

本节课例题，教材第107页：

例1存在以下三个方面的难点：

1.本节课学生接触的第一个几何图形过于复杂，会使他们产生畏难情绪，不利于后续教学的开展.

2.学生需进行小三角形高的证明、相似的证明才能应用到本节课重点知识，前面知识点障碍设置太冗长.

3.学生对于所求线段的认知，无法直观转化为对应线段之比.

针对以上学情难点，笔者对例题进行了分解，首先由学习目标指导——重视实际应用，把题目投射到学校建筑选修课中，然后拆分例题图形，使其转化为两个相似的三角形.

变式1：学校趣味建筑选修课学习建构相似模型，现有△ABC∽△HSR，已知AB=4 dm，HS=2 dm，△HSR底边SR上的高HE=1.5 dm，求△ABC对应高AD的长度.

教学目的：1.图形简单，学生容易直接应用相似三角形性质定理。2.为教材例题做好两个三角形相似的知识准备.3.将以上两个图形进行平移后就是原例题，再次强调相似是图形间的数量关系，与其位置无关，为后面介入平移、旋转、翻折的图形变换作铺垫.

变式2：如图3所示，△ABC∽△ASR，AE是△ASR的高，AD是△ABC的高.

分解例题搭建“小阶梯”后，学生便可以更清晰地认识这个相对有些复杂的图形.教师再渗透从特殊到一般的思想，学生便会借助直观模型，建立数感.

三、变式例题，结合习题，为学生实际应用性质定理搭建“小阶梯”

例题拆分讲解時，我们始终贯穿一个思想认识——相似是图形间的数量关系，与其所在位置无关.在例题中只体现了平移的图形运用，故笔者结合教材第108页习题4.11问题解决2，通过变式3为学生实际应用性质定理搭建“小阶梯”.

变式3：如图4，在例1基础上△ASR绕点A顺时针旋转180°.

若再将此图整体旋转180°，便得到了习题的抽象解题模型（如实际应用）.为学生搭建了从实际问题中抽象数学模型从而解题的“小阶梯”.

实际应用（教材第108页习题4.11问题解决2）：如图5，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm.他准备了一支长为20 cm的蜡烛，想要得到高度为5 cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？

四、通过例题变式，渗透经典模型，为激发学生探索兴趣搭建“小阶梯”

由例题的变式与习题实际应用，学生会明确地感知相似是图形间的数量关系，与其所在位置无关，并且可以很好地辨识图形中的对应线段，进行相似三角形性质定理的应用.故在这里，笔者为学生展示了相似三角形性质的应用的经典题型，作为学生的课后挑战，激发学生的探索兴趣.

课外提升：在课堂例1的基础上，我们对原图形再次进行变式探究，过点S作SP⊥BC于点P，过点R作RQ⊥BC于点Q.

（1）证明四边形SPQR是矩形;

（2）若矩形的长是宽的2倍，BC=21，AD=14，求矩形SPQR的面积.

教材是学之本，也是教之本，我们应立足教材，针对不同学情，设计让学生爱学、乐思的教学环节，借助例、习题的铺垫、拆解、变式、结合，帮助学生搭建属于自己的快乐学习数学的“小阶梯”，让以学生为主体的课堂更加生机勃勃！

责任编辑 邱 艳