回归解题本质 找回迷路的原点

牛新荣

摘要：数学教学离不开解决问题，解决数学问题常常面临着解题，在实际教学中长期形成的整齐划一的操练、固定套路的模仿，重思路分析、解题过程书写、方法的累加堆放，而轻解题后的反思总结、归纳概括、思想方法的提炼、学科素养的渗透等，不利于学生发现解题的价值所在，不利于学生对数学本质的发现，更不利于学生数学素养的自主养成和后天培养。回归解题教学的本质要求，发现解题教学中迷失的路径和位置，找回正确的解题原点和方向是当务之急、迫在眉睫的事情。

关键词：解题本质  回归原点  渗透素养

从安徽蚌埠到上海嘉定再到广西桂林，一路追随和学习了章建跃老师的核心素养统领下的数学教学变革。审视我亲眼观察到的义务教育阶段下的数学课堂教学，发现有许多教学环节的设计脱离了核心素养培养的轨道，如解题教学环节，大家看到最多的课堂现象依然是教师在做“单口相声”的表演，自我陶醉式的解题过程分析，所谓规范统一的解题格式、书写要求，解题方法（特别是技巧性方法）的堆放叠加;甚至出现以班为单位整齐划一的大量重复的习题训练，仔细想来单调的、整齐划一的操练只会培养个体在特定条件下按照既定程序做出套路式反应，练得越多越会变得自动化，进而形成无意识的解题习惯性动作。但是蘊含在其中的理性思考成分很少，数学学科的思维价值得不到充分体现，而且越是自动化，改变和迁移就变得越发困难，很显然，上述现象的出现暴露了教者在解题的森林里迷了路。正确认识解题的数学本质和价值原点，通过正确方向的确立和合理方式的运用来提升数学解题素养进而达到数学育人之最终目标才是核心素养落地的正确选择。

一、让生活情境回归它应有的抽象化过程

日常观摩教学中，常看到教师通过创设情境来引出问题，让学生感知数学来源于生活，引发学生的兴趣和解决问题的欲望，这一意图和价值值得肯定。但是也发现了一个常见的现象，教师引领学生都进入解题过程了，仍然是情境中的名词不离口，导致生活中的问题不能完全数学化，看似数学来源于生活，生活中有数学，实质缺少将生活中的问题抽象成数学问题的过程，不利于数学核心素养之一——数学抽象能力的培养。例如，一位老师在讲线段的基本事实“两点之间线段最短”时，先创设情境出示两个地方被障碍物阻挡，问题设置为“如何修路，才能从一个地方最快到达另一个地方？”，假设速度一定，“最快”表示时间最少，意味着路程最短，把两个地方抽象为数学中的“点”，上述问题便转化为数学中如何寻找两个点之间最短路径问题，这位老师在课堂教学一开始就说“如何设置路线才能确保两个地方路线最短”，把连接的线段画出后仍然在说“两个地方线段最短”，看似教学语言的随意，实际上是既没有将生活问题抽象为数学问题，更没有抽象为物理问题，失去了数学抽象能力培养的机会，也失去了学科间联系的时机。

二、让解题后的归纳概括理性回归

数学离不开解题，我们一线教师在教学中形成了重视解题前的分析引导和解题中格式书写以及解题后的变式训练，但往往忽视了解题后的归纳概括，归纳思路是如何形成的、思想方法是如何运用的、解题中运用了哪些数学思想方法和数学模型等。比如我在给七年级上学期的学生讲了一道几何题。

题目：将长为10 cm的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形，问其中最长的一段的取值范围。

得出答案后，我便设置了如下问题：仔细思考一下，你能发现解决这个问题我们运用了哪些数学模型？

生1表示运用了“两点之间线段最短”这个几何模型，分析如下：把最长线段的两个端点拿出来，连接两点成线段，其余四条边可认为是连接两点的折线，依据线段的基本事实即可。

生2表示运用了“不等式”这个代数模型，分析如下：假设最长边长为x cm，则其余四条边长之和为（10-x） cm，依据上述几何模型可知x<10-x，解不等式可得最长边的上限取值范围。

生3表示运用了“正五边形”这个几何模型，分析如下：借用特殊和一般的关系，想到了五边形中的最特殊情形——正五边形，而周长为10 cm的正五边形的边长是2 cm，对于一般的五边形，其最长边长不会小于2 cm，从而找到最长边的下限取值范围。此时，另一学生补充说明：只要是边长相等的五边形即可，不一定就是正五边形。

生4表示运用了“平均数”这个数据分析模型，分析如下：周长为10 cm，如果平均分的话，每一条边长为2 cm，最长边长不会低于平均数，就像班级中的数学最高分不会低于我们班级的数学平均分一样。

上述问题的设置无疑引发了学生的思考，既思考出数学思想方法，又思考出数学学科核心素养之一——数学建模。数学解题的价值得到本质体现和原点回归。

三、让合情推理回归合理的地位

小学时学过一首王安石的诗，全文如下：

梅 花

墙角数枝梅，凌寒独自开。

遥知不是雪，为有暗香来。

文中“遥知不是雪，为有暗香来。”不正是数学中合情推理的体现吗？实际上生活中运用合情推理的现象不少于演绎推理，但在日常教学中初中数学老师往往较多地关注几何中的演绎推理和代数中的归纳推理，对于合情推理关注很少，发展学生的合情推理能力，既是义务教育课程标准的要求，又是发展学生数学核心素养的体现。

下面是我在培养学生合情推理能力时的两个例题。

题目1：如果1+2+3+…+n的计算结果恰巧是在2011的右边添上3个数字，问正整数n是多少？

解：设这三个数为abc

由题意得：n（n+1）2=2011000+abc

∴n（n+1）=4022000+2abc

因为0

∴4022000<4022000+2abc<4024000

即：4022000

至此问题已演变为关于n的一元二次不等式，超出七年级学生所学的知识范围，如果利用合情推理，把n（n+1）理解为两个连续正整数之积，把4022000近似为4000000，不难定位n为2000，对于2000×2000，若一个因数增加1，结果便增加2000，从4000000到4022000，一个因数要增加到11，考虑到n（n+1）近似于同步增加的因素，可先考虑增加5或6……这样便找到正整数n为2005。

题目2：如何说明“直径是最长的弦”？

生1：过圆上一点作一条直径和一条非直径的弦，连接圆心和非直径弦的另一端点，利用三角形三边关系证明。

生2：过圆上一点作一条直径和一条非直径的弦，过圆心向非直径的弦作垂线段，利用斜边大于直角边，2倍斜边等于直径，2倍直角边等于非直径弦长。

从发展学生合情推理能力的角度，可引导学生发现弦长和弦心距的关系，得出弦心距为0时弦长最长，或者从圆的对称性和反证法来得出直径是最长的弦的结论。

教师教学中有意识设置类似的问题，合理引导，让合情推理回归合理的地位，发展学生合情推理的能力便会自然形成。

四、让解题回归到思维品质的培养和塑造

有这样一道经典问题：两个居民小区，中间一条道路连接，现在在路边建一个超市，你建议建在哪里？

生1：把两个小区抽象为两个点，两个小区之间连接的道路抽象为一条线段，超市应建在线段中点所在的位置。（这位学生既学会运用线段中点这个几何模型，又考虑到了公平原则。）

生2：我同意生1同学的建模思想和公平原则的运用，但是为了更好地体现公平原则，我认为应考虑两个小区的实际居民人数，依据人数的比例确立超市的位置，这样既公平又人性化。（这位同学受权数对平均数的影响，并有一定的创新思维和应用意识。）

生3：我认为以上两个同学的说法有其合理性的一面，但还有其要优化的一面，还应设计调查问卷表，调查两个小区居民到超市的情况，收集数据并加以整理，依据数据信息进行权数比对来确定超市所在的位置。（这位同学把数据分析的观念与几何知识灵活结合，用于分析和解决实际问题。）

老师在评价上述学生的回答时，不应以客观唯一的答案标准去衡量，而应站在学生思维品质的培养和塑造的角度去考慮，真正让解题回归到素养的渗透这一正确轨道上来。

五、让解题回归到理解概念、巩固知识、发展能力的价值要求上来

有人说：“数学真正是玩概念而不是玩技巧”，我认为所谓玩概念，就是在理解概念中学会把握事物的本质特征，在巩固概念中培养思维品质，在灵活运用概念中培养能力、发展应用意识和创新能力。玩概念不是死抠字眼，也不是形式训练和机械模仿。

杜威在《民主主义与教育》中讲道：“形式训练……理论似乎抄了近路，它把某些能力视为指导工作直接而自觉的目标，而不只视为成长的结果。”在各地热议核心素养的背景下，不妨让我们静下心来冷静思考数学解题的本质何在、数学素养的培养价值何在。是否关注潮流，彰显你的心理年龄;如何应对思潮，彰显你的教学定力。回归解题教学的本质要求，发现解题教学中迷失的路径和位置，找回正确的解题原点和方向是当务之急、迫在眉睫的事情。本人仅仅是抛砖引玉，引发数学同人审视思考而已。

参考文献：

[1]章建跃.数学核心素养统领下的数学教学变革[J].数学通报，2017（04）.

[2]李祥立.中学数学教学研究[M].北京：中国社会科学出版社，2016.

[3]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.