从不定积分的解法来看数学问题解决策略中的整体策略和局部策略

覃秋玲 张桂芳

(广西壮族自治区南宁市南宁师范大学数学与统计学院 530022)

一、引言

整体策略和局部策略的核心体现在数学解题过程中，可以将求解问题进行拆分，进而把原问题转化成一些较小或在数学经验中已经解决过的问题，最后再通过拼凑，使原问题在整体上得到解决的思路.整体与局部在其组成系统的各要素中是相互关联、相互制约的关系.因此，要在整体中带有局部意识或在局部中附带着整体意识去看待数学问题.

二、从不定积分解法看整体策略与局部策略

解法一与解法二的相同之处在于充分利用整体与局部策略进行解题，不同在于解法一利用的方法是倒代换法和第一换元法，解法二在进行了简单化简之后，对其中的一部分进行分步积分；第二个不同点在于整体与局部策略的应用顺序上，解法一是在利用了倒代换法化简之后才进行，而解法二是直接对原式进行处理.在该题中，对分子的处理方法在中学也很常见，就是熟悉的分拆.“拆与并”是中学数学解题中使用最广泛的一种裂项并项思想方法.其实，在解数学题时，不仅代数式可拆分，实际上问题也可进行拆分，即将问题中的关键结构(式或形)拆分，这里就是对被积函数进行拆分.

而具体问题还得具体分析，在数学问题中，即使面对的是相似题目，有时候虽大体上的思路不变，可细节上的解法却不同.

解决此题的关键在于从整体和局部观察被积函数的分子与分母之间的关系，但与上一题的不同在于此题的分母为乘积的形式，因此不采用对分母进行降次的方式，而是利用第一换元法直接解出.此题解法的关键d(xlnx)=(1+lnx)dx与上一题解法一的关键步骤二d(1+tlnt)=(1+lnt)dt有相似之处，因为d(1+tlnt)=(1+lnt)dt也可看成d(tlnt)=(1+lnt)dt.

下面分析一道较难的例题，观察整体策略与局部策略在解不定积分中的应用：

对原式直接进行整体观察，发现较难进行拼凑，由于被积函数是由两个不同函数组成，易想到分步积分法，做法如下：

由不定积分的解法来看数学问题解决中的整体策略与局部策略可以发现，整体与局部策略在数学问题解决中是“合作共用”的关系，且需要对具体问题的情形进行具体分析之后方可运用.因解题方法步骤各具特色，所以在解题中，整体与局部策略不能一概而论，有可能是在解题第一步用，也有可能是解题最后一步用；另外就是在解题时需要用整体观念认识问题，包括问题的条件——已知中的算式结构、图形的结构、实际意义等，而后居高临下地把握问题的全局，并从整体结构去理解题意，进而寻求数学问题解决的总体思路.

三、启示

整体与局部策略还体现在解题时的观察能力，个体对数学问题越敏感越有助于解题，即数学活动经验积累的程度.有的式子，往往在把握其整体结构后，才能看出其局部特征以及整体与局部的特殊关系.而不定积分的计算过程本身就复杂，在涉及此类计算时，应当对被积函数进行仔细观察并简单尝试，也更需耐心来选择解题方法，进而结合整体与局部策略，相信会少走很多弯路！