数学问题解答

2021年5月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2601(1)题目在第5期刊出后，供题人安振平老师又复核了问题，发现题目中的条件a+b+c=abc是多余的，故在解答中去除.在此我们对安老师的认真细致表示感谢！已知a,b,c∈R,求证：

(a2+1)(b2+1)(c2+1)≥(ab+bc+ca-1)2.

(陕西省咸阳师范学院教育科学学院 安振平 712000)

证明已构造复数z1=1+ai,z2=1+bi,z3=1+ci,则

(a2+1)(b2+1)(c2+1)=(|z1||z2||z3|)2

=|z1z2z3|2

=|(1+ai)(1+bi)(1+ci)|2

=|[(1-ab)+(a+b)i](1+ci)|2

=|(1-ab-bc-ca)+(a+b+c-abc)i|2

=(1-ab-bc-ca)2+(a+b+c-abc)2

≥(ab+bc+ca-1)2,

所以(a2+1)(b2+1)(c2+1)≥(ab+bc+ca-1)2.

2602已知，在△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点F1，F2在BC上，且∠CAF1=∠BAF2，AF1，AF2与CD分别交于点E1，E2．

(北京市朝阳区教育研究中心 蒋晓东 100028；北京市朝阳区芳草地国际学校富力分校 郭文征 100121)

证明如图，因为∠ACB=90°，

所以∠CAF1+∠AF1C=90°．

因为CD⊥AB，

所以∠BAF2+∠AE2D=90°．

因为∠CAF1=∠BAF2，

所以∠AE2D=∠AF1C．

又∠AE2D=∠E1E2F2，

所以∠AF1C=∠E1E2F2．

从而E1，E2，F2，F1四点共圆．

所以CE1·CE2=CF1·CF2．

因为∠CAF1=∠BAF2，

所以AF1，AF2为△ABC的∠CAB的内等角线．

由三角形的内等角线定理，得

⟹AC2[BC2-BC(CF1+CF2)+CF1·CF2]

=AB2·(CF1·CF2)

当且仅当∠CAB的内等角线合并为∠CAB的平分线时，不等式中的等号成立．

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

那么就有

又由熟知的欧拉比公式

我们可得

(1)

利用三元均值定理及两个熟知的三角公式

即不等式(1)成立,故原不等式成立.

2604已知a，b，c>0，且abc=1．

(湖北省公安县第一中学 杨先义 434300)

(2)由于abc=1，所以a，b，c必有不大于1者，不妨设0

则f(a)是减函数，

当且仅当a=1取等号，此时bc=1，

综上所述，使不等式

(安徽省六安第二中学 陶兴红 237005 )

解过A作AD⊥BC,垂足为D,

由tanB=4tanC,可得

可设BD=x,CD=4x,AD=h,

则由勾股定理得

b2=16x2+h2,c2=x2+h2,

所以由均值不等式得

2021年6月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2606设凸四边形ABCD的边长和对角线长分别为BC=a,CD=b,DA=c,AB=d,AC=m,BD=n，四边形的面积为Δ，则

(a+c)2+(c+d)2-m2-n2≥4Δ，

当且仅当四边形为正方形时等号成立.

(山东省泰安市宁阳第一中学 刘才华 271400)

2607设数列{an}的通项公式为

(河南质量工程职业学院 李永利 467001)

2608已知a,b,c∈R，且a,b,c中至多一个为0，则有

≥ab+bc+ca.

(云南省大理州漾濞县第一中学 秦庆雄 范花妹 672500)

(浙江台州市洪家中学 邬天泉 318015)

2610设任意△ABC的三边长，对应的三中线分别为a、b、c，mambmc，则有

当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.