地震易损性及全寿命费用评估方法研究*

龙诗琪，王宪杰,2，周潇凡，杨思昭，王 希，董艳秋

(1 云南大学建筑与规划学院土木系，昆明 650091；2 广西大学防灾减灾与工程安全重点实验室，南宁 530004)

0 概述

随着建筑结构使用功能的多样化，现在大多数结构内部的装修、非结构构件、信息技术装备等的费用往往大大超过结构本身的费用。而传统的结构抗震设计是以保障生命安全为主要设防目标，虽然有效地减小了地震造成的人员伤亡，但可能导致中小震下结构正常使用功能的丧失，从而造成巨大的经济损失。美国的学者最早提出基于性能的结构抗震设计思想[1]，其包括全寿命费用最小以及投资-效益准则等重要概念。

对于全寿命费用理论中结构初始抗震性能投资与未来地震作用下失效损失期望已成为工程界中设计方、施工方等所关注的焦点。其中，具有代表性的有：Ang等[2]基于整体指标概率密度函数，研究了不同地震烈度下的失效损失期望；Kanda等[3]将破坏程度分为六种，对七类建筑建立了初始造价与损失值比例关系；Wen等[4]在损失期望中综合考虑了人员伤亡和社会影响等因素。在我国，党育等[5-6]采用JC法计算隔震结构动力可靠度，据此求解其期望损失和全寿命费用，并提出基于全寿命费用的抗震性能指标。唐玉等[7]建立基于“投资-效益”准则的结构全寿命总费用模型，利用建筑场地地震危险性分析成果考虑了结构的损失期望。党育等[8]、刘承昊[9]利用 BP神经网络方法判定给定地震下结构破坏状态，避免了结构条件失效概率的求解，并以此研究结构的全寿命费用和震后期望损失。徐骏飞等[10]、程新俊[11]基于IDA方法对结构进行易损性分析，得到不同地震强度下的失效概率，计算了结构生命周期费用。马玉宏等[12]详细分析了隔震结构全寿命费用的组成，并以振动台试验得出的数据作为该隔震结构易损性矩阵计算其损失费用。

以往该类问题在计算失效概率时，将结构响应假设为服从正态分布，忽略了其真实概率密度分布的演化特性和多峰特性；同时是采用最弱链假设，以结构最不利层的易损性曲线作为结构整体易损性曲线的；而事实上，在各基本失效事件不完全相关时，最弱链事件与等价极值事件不等价。选用多条记录的天然波作为地震激励，实际上仍然是等效确定性分析，不仅无法充分体现地震动的随机性，也忽略了地震随机性对结构动力响应的影响。这均会造成结构失效损失期望与全寿命费用评估偏离工程实际。李杰、陈建兵从状态空间出发，打破非线性与随机性的耦合，提出概率密度演化理论[13-15]，施加吸收边界条件和构造虚拟随机过程可求解结构整体随机振动可靠度分析问题[16-17]。

本文将其与地震易损性分析中的增量调幅思想和全寿命费用理论相结合，基于性能抗震设计思想和概率密度演化理论；考虑地震激励随机性并以结构最大层间位移角为性能水平量化指标，对结构进行易损性分析，据此得到结构在不同强度地震作用下各级破坏状态的失效概率；根据全寿命费用理论，实现对结构失效损失期望与全寿命费用的预测。

1 建筑的全寿命费用

地震作用下建筑的全寿命费用是指在建筑使用寿命期限内，该建筑的初始造价(仅包括土建安装费用)、使用期间内的维修费用以及在未来可能发生的各级风险水平地震导致的损失期望的总和。忽略使用期间内的维修费用，建筑的全寿命费用由初始造价和损失期望组成，即[18]：

Ctot(t,s)=Cin(s)+e-λtCls(t,s)

(1)

式中：t，s分别为设计使用年限和设计变量向量；Cin为初始造价；Cls为损失期望；λ为年贴现率[11]，取为4%。

结构的损失期望是指结构在其全寿命期间由未来地震灾害可能造成的结构各级破坏所引起的各类损失费用之和，可表示为[18]：

(2)

式中：Li为结构处于第i级破坏状态；Ij为地震烈度；Cls(Li)为结构处于第i级破坏状态下的损失期望；P(Li|Ij)为烈度为Ij的地震引起Li级破坏的概率，即为结构条件失效概率,由结构易损性分析得到；P(Ij)为结构在设计基准期内发生烈度为Ij地震的概率。

我国的地震烈度概率分布为极值Ⅲ型，地震烈度危险性曲线表示为[12]：

(3)

式中：κ为形状参数，我国地震危险性特征分区Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ区的形状参数κ分别为6,10,20；ω为地震最大烈度，取为12；Id为50年超越概率10%所对应的地震基本烈度；P(I≥Ij)为地震烈度为Ij时的超越概率。

式(3)是基于Cornell类地震活动性模型和考虑地震时间、空间、强度非均匀分布的地震活动性模型推导的地震烈度发生概率的一般表达式[19]，将地震烈度超越概率P(I≥Ij)代入该式可求解出地震烈度发生概率。

参考一般建筑性能水平的确定方法[20-21]，按照结构的破坏程度Li，给出结构整体的五个性能水平：基本完好、轻微破坏、中等破坏、严重破坏和倒塌。以最大层间位移角为性能水平评价指标，参考相关文献[22-23]确定本文在对结构进行易损性分析时，钢筋混凝土框架结构竖向构件对应性能水平下的最大层间位移角参考限值，如表1所示。

RC框架结构最大层间位移角限值 表1

结构发生Li级破坏的损失期望值Cls(Li)，通常包括：直接经济损失、间接经济损失和人员伤亡等[18]。直接经济损失主要包括建筑物自身破坏损失、室内外财产物资损失、房屋装修费用损失和地震救灾投入资金等，可表示为：

CA=CR+CC+CD+CE

(4)

式中：CA为建筑直接经济损失；CR为建筑自身破坏损失；CC为室内外财产物资损失；CD为房屋装修费用损失；CE为地震救灾投入资金。

建筑自身破坏损失CR通常参考《震害评估细则》[24]，以损失比的方式来表示。

CR=Cin·ρRi

(5)

式中ρRi为结构各级破坏对应的直接经济损失比，对于RC结构，ρRi取值如表2所示[8,18]。

室内外财产物资损失CC计算式如下：

CC=(Cin·βC)·ρCi

(6)

式中：ρCi为结构各级破坏对应的室内外财产损失比，其值通过震害损失调查得到[8,18]，对于RC结构，ρCi取值见表3；βC为室内外财产与结构初始造价比值, 根据结构使用功能不同，结合考虑美国HAZUS相关规定，对于RC结构，βC取值见表4[8,18]。

建筑直接经济损失比ρRi/% 表2

室内外财产损失比ρCi/% 表3

室内外财产与初始造价比βC/% 表4

房屋装修费用损失CD计算式如下：

CD=(Cin·βD1·βD2)·ρD1·ρD2

(7)

式中：βD1，βD2为RC框架结构建筑装修费用与初始造价比，参考文献[8,18]，其取值见表5；ρD1，ρD2为RC框架结构建筑装修费用损失比，其取值见表6。

建筑装修费用与初始造价比 表5

建筑装修费用损失比 表6

地震救灾投入资金CE计算式如下：

CE=CA·φ

(8)

式中φ为地震救灾工作所需投入的直接费用与直接经济损失的比率，依据《地震现场工作大纲和技术指南》[25]，其取值见表7。

φ的取值 表7

间接经济损失是指由于地震灾害造成建筑结构使用功能丧失，对正常的社会经济活动造成影响而引起的经济损失，即:

CB=CA·a

(9)

式中：CB为间接经济损失；a为间接经济损失比，其取值见表8[8,18]。

间接经济损失比 表8

对于人员伤亡，目前主要有两种方式衡量：伤亡率或经济损失[9]。从人类伦理角度来看人的生命是无价的，本文将人员伤亡货币化，仅是在工程经济上做一定参考。根据文献[26]中企业人员伤亡赔偿，单位人员伤亡损失取为20万元，单位人员受伤损失取为5万元。因此，人员伤亡可表示为：

CF=γF·N0·VF

(10)

CJ=0.9γJ·N0·VJ+0.1γJ·N0·VF

(11)

式中：CF为人员死亡损失；γF为人员死亡率，取值见表9[8]；VF为单位人员死亡赔偿金，取VF=20万元；CJ为人员受伤损失；γJ为人员受伤率，取值见表9[8]；N0为建筑内总人数；VJ为单位人员受伤损失，VJ=5万元。

RC框架结构的人员死亡率和受伤率 表9

2 基于PDEM理论的结构地震易损性分析

2.1 概率密度演化理论

一般n维多自由度体系的随机振动系统的动力方程可表示为：

(12)

首先，本文基于F-偏差最小化的选点策略，采用数论选点方法[13]，在随机向量ξ的分布空间Ωξ中选取一系列离散代表点：

Mn={θq=(θ1,q,θ2,q,…,θs,q)∈Ωξ|q=1,2,…,nsel}

(13)

式中nsel为离散点数量。

代表点θq的赋得概率为：

(14)

式中：Pq为代表点的赋得概率；Vq为离散点的代表性体积；θ为离散代表点；pξ(θ)为源随机向量在代表点的概率。

对于给定的ξ=θq,q=1,2,…,nsel，通过求解动力方程(式(12))，得到位移和位移的导数如下：

(15)

对位移响应进行研究，根据概率守恒原理[14-15]，概率密度演化方程退化为以下的一维偏微分方程：

(16)

结合其初始条件：

pXξ(x,θq,t)|t=0=δ(X-X0)pξ(θq)

(17)

式中：δ(·)为Dirac函数；X0为初始条件下的位移响应量。

采用具有TVD性质的有限差分格式，求解得到联合概率密度函数pXξ(x,θq,t)，并对其进行累加，即获得结构响应的概率密度函数pX(x,t)：

(18)

2.2 结构整体动力可靠度分析

对于首次超越破坏问题，其结构整体动力可靠度等价于具有无穷单元数串联系统的可靠度问题。考虑对称双侧界限，则：

(19)

式中：R(t)为可靠度；Pr{·}为随机事件概率值；Xi(τ)为第i个分量在τ时刻的形式；b为给定的界限值。

基于极值分布的首次超越破坏可靠度分析方法[27-28]，构造一个等价极值，这依赖于源随机向量ξ和时间段[0,t]的随机变量，即：

(20)

因此，构造虚拟随机Z(τ)过程[16]:

Z(τ)=ψ[φ(ξ,t),τ]=φ(ξ,t)sin(ωτ)

(21)

式中：ψ[·]为虚拟时刻τ的目标响应量；φ(ξ,t)为虚拟目标响应量。

使得它满足如下条件：

Z(τ)|τ=0=0

(22)

(23)

式中ω=5π/2，τc=1。

同样地，求解相应的广义概率密度演化方程获得Z(τ)的概率密度函数pZ(z,t)：

(24)

式中：pZξ(z,θ,t)为虚拟随机系统(z,ξ)的联合概率密度函数。

由式(22)和式(23)可知：

(25)

在安全域内对等价极值概率密度函数进行一维积分[17]，可以求得结构整体动力可靠度，如下：

(26)

2.3 结构地震易损性分析

结构地震易损性是指结构在不同地震强度下，达到特定破坏状态或者性能水平的可能性。因此，结构的极限状态方程可表示为：

Dls-Dmax(ξ)=0

(27)

则结构的条件失效概率为：

(28)

3 算例分析

3.1 结构随机非线性动力时程分析

以《建筑抗震设计规范》(GB 50011—2010)[21]和《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010)为基础，利用PKPM2010-V4软件对5层钢筋混凝土框架结构进行设计，抗震设防烈度为8度(0.2g)，地震分组为第三组，场地类型为Ⅳ类，地面粗糙类别为C类，基本风压取为0.3kN/m2；钢筋混凝土框架结构层高3.9m，总高度为19.5m；跨数为5×3，结构外形尺寸为18m×30m；均采用C30混凝土，纵向钢筋为HRB400，箍筋为HPB300；框架梁截面尺寸为300mm×600mm，1，2层框架柱截面为600mm×600mm，3～5层柱截面为550mm×550mm，板厚为100mm。结构平面布置图和梁、柱配筋图如图1所示。

图1 结构模型

将模型导入SAP2000 V15有限元分析软件中，对结构进行动力时程分析，获得结构最大层间位移角响应。地震波输入工况为：选取基于修正胡聿贤-周锡元功率谱模型及随机地震动的正交展开法生成的人工波[29]，本文将地震动作为随机过程，选用考虑场地土类型特性生成的人工波更符合工程实际；并利用数论选点方法选取其中394条作为结构的地震激励，更能体现地震动的随机性。图2为地震波加速度反应谱曲线，表10为场地土地震动相关参数。基于式(3)计算得到建筑使用寿命50年内发生小震、中震、大震的概率分别为61.4%，34.8%，3.8%。

图2 地震波加速度反应谱曲线

场地土地震动相关参数 表10

将地震波的加速度峰值调幅至大震0.4g，对结构进行动力时程分析，并采集结构最大层间位移角响应在394条地震波作用下的均值与标准差，如图3所示。根据2.2节内容，通过构造一个等价极值事件，求解相应的广义概率密度演化方程，获得不同破坏状态下各自的概率密度函数以及概率分布函数，如图4所示。

图3 结构最大层间位移角均值和标准差

图4 不同破坏状态下结构最大层间位移角的概率密度函数和概率分布函数

通过图3，发现结构最大层间位移角响应标准差与均值的比值在不同时刻变化很大，其中标准差最大值为0.003 7，均值最大值为0.028 8，因此变异系数最大为0.13，结构动力响应离散性大；说明地震激励的随机性会引起结构非线性响应大幅度涨落，从而对结构的可靠度和失效概率有很大影响。因此，通过对结构进行易损性分析获得结构失效概率时，考虑地震激励的随机性是很有必要的。

从图4可以看出，构造的最大层间位移角基于等价极值事件的概率密度函数随时间变化，其形状呈现不规则，且具有多峰性质，与通常假定的正态分布有差别。显然，这对结构动力可靠度和结构失效概率会产生显著影响。同时也说明本文方法未造成信息的大量流失现象，很大程度上保证了随机问题的本源性。

结构失效概率 表11

3.2 结构地震易损性分析

对地震动峰值加速度在0～650gal上进行调幅，分别对结构进行动力时程分析，并通过MATLAB 2010b软件调用SAP2000中结构最大层间位移角响应。以最大层间位移角为性能水平量化指标，求得结构对应不同破坏状态和不同峰值加速度的失效概率，由此利用MATLAB一维插值拟合工具拟合出结构的地震易损性曲线，如图5所示。通过传统地震易损性分析方法，假定结构响应服从正态分布，得到的结构地震易损性曲线如图5中虚线所示。从图中可以看出，本文方法与传统方法相比，在小震激励下地震易损性曲线比较吻合，差异较小；由于传统方法存在较多的前提假设，在中震、大震激励下，结构不同破坏状态下的失效概率均存在一定的差异，且略大于本文方法计算得到的失效概率。因此，本文采用的地震易损性方法更符合工程实际。

图5 结构各破坏状态下的地震易损性曲线

结构地震易损性曲线是基于概率表达形式的多性能水准的曲线，综合表示了结果的概率性和多水准性，即结构各破坏状态的失效概率随地震动强度指标(地面峰值加速度PGA)变化，同一指标下，各破坏状态下失效概率不同。因此，随机激励下的结构地震易损性曲线能客观地反映符合工程实际的地震激励随机性对结构抗震性能的影响。

3.3 建筑的损失期望和全寿命费用

本算例建筑总面积估算约为2 700m2，参考中国建筑工程造价信息网公布的“2018年上半年省会城市住宅建安工程造价指标”，本算例住宅工程取建安工程单位平米的综合造价1 400元/m2，计算其初始造价为238万元；根据同类建筑人员状况统计资料，估算出建筑室内人员数大致为35人；结构设防烈度为8度，小震、中震、大震对应的地面峰值加速度PGA分别为0.07g，0.2g，0.4g，对应易损性曲线上失效概率值，如表11所示。

图6给出结构在不同地震强度下对应各级破坏状态的结构损失期望。可以看出，结构在在中震、大震作用下的损失期望高于结构在小震作用下的损失期望；小震、中震作用下倒塌的损失期望最小，其原因在于结构在中、小震作用下发生倒塌是小概率事件；而在大震作用下，结构发生严重破坏和倒塌造成的损失期望高于结构发生中等破坏和轻微破坏的损失期望。这一现象与工程实际一致，间接验证了所述方法的可行性和合理性。

图6 各级破坏状态的结构损失期望

根据式(2)，可以求得结构在小震、中震、大震作用下的损失期望和建筑总损失期望，如表12所示。

基于式(1)，建筑结构的全寿命费用的现值为：

Ctot=238+e-(0.04×50)×349.514=285.302万元，

其中，人员伤亡损失现值为2.68万元，占结构总损失期望现值的5.57%；总损失期望现值占全寿命总损失期望的16.58%。

建筑损失期望/万元 表12

4 结论

(1)基于概率密度演化理论获得的结构最大层间位移角的概率密度分布具有多峰性质，与通常假定的正态分布有差别。基于此，结合地震易损性分析中的增量调幅思想，得到的结构对应不同破坏状态和不同地震动强度的失效概率更具有概率统计意义。

(2)在地震作用下，结构损失期望现值占全寿命费用现值的16.58%，在建筑结构设计初期不可忽略。因此，综合考虑全寿命费用是未来建筑设计发展方向。

(3)灾变下人员伤亡损失现值为2.628万元，占结构总损失期望现值的5.57%。因此，考虑建筑延性的研究以极大程度延长人员逃生时间显得尤为重要。