一种Galileo五频周跳探测与修复新方法

章 繁，柴洪洲，肖国锐，杜祯强，郭云飞

（解放军信息工程大学，郑州 450001）

随着GNSS 技术的发展和应用，多频多模高精度定位已经成为行业发展热点和趋势。这其中，中国的BDS 卫星导航系统是全球第一个能够发射三频信号的导航系统，最新的BDS3 代全球卫星导航系统也已经搭建完毕，具备了全球服务能力[1]。美国的GPS 系统自Block-ⅡF 卫星以后，也已能够为全球用户提供三频服务。欧洲Galileo 系统更是能够提供五个频率的观测值，它们分别是 E1（1575.42 MHz），E5a（ 1176.45 MHz ）， E5b （ 1207.14 MHz ）， E5（1191.795 MHz）和E6（1278.75 MHz）[2,3]。此前大量基于三频GNSS 观测值的研究已经表明，相较于双频GNSS 信号，使用三频观测值能够带来明显的定位性能上的提升并增强系统的鲁棒性[4,5]。因此，Galileo系统的五频观测值具备广阔的应用前景，并已有大量文献对此展开研究[6,7]。

周跳是由于接收机载波环路失锁造成载波相位观测值的整周跳变，失锁的原因包括卫星信号的阻挡和由于恶劣电离层环境造成的低信噪比等[8,9]。目前，周跳相关方面的研究较多较深入。在双频周跳的研究方面，TurboEdit 算法应用最为广泛[10]。该算法由一组MW 组合和无几何组合构成，适应性和可靠性较强，但是其易受到伪距观测噪声的影响。众多文献围绕这一点在多方面对TurboEdit 算法进行了改进[11,12]。不同于双频周跳，多频周跳能够构成众多性质优良的周跳探测组合，使得其周跳探测手段和能力大大增加[13,14]。文献[13]针对电离层活跃期三频周跳探测方法难以正确探测和修复周跳的问题，提出了能够削弱电离层延迟影响的三频TurboEdit 算法，实现了电离层活跃条件下动态非差周跳的实时探测与修复。文献[15]研究了电离层扰动和低采样率下数据的实时周跳的探测与修复问题，提出了一种基于GFIF（Geometry-free and Ionospheric-free)组合的BDS 三频周跳探测与修复方法，该方法首先搜索B3 频点的周跳，然后通过构造的两个GFIF 组合找到B1 和B2 频点上的周跳。实验结果表明即使在电离层扰动情况下，新方法也能够有效的探测并修复所有周跳。文献[16]提出了一种基于多普勒辅助信号的实时BDS 三频周跳处理方法，该方法引入了一个平衡因子调整原始码和多普勒观测值的贡献，实验结果表明在较低采样间隔条件下，纯多普勒观测值能够有效地探测与修复周跳，当采样间隔增加时，采用所提算法的周跳修复成功率能够达到99.7%。

近年来也有众多文献涉及Galileo 多频（超三频）观测值的研究。文献[1]研究了Galileo 四频周跳探测与修复，该文献通过载波相位平滑伪距辅助四频周跳探测与修复，达到了较好的实验效果。文献[17]研究了北斗和Galileo 四频周跳的实时探测与修复，结合周跳修复概率选择周跳探测组合系数，通过30 s 和实时0.05 秒数据测试，结果表明该方法能够有效探测并修复所有周跳。文献[7]研究了基于Galileo 五频观测值的PPP 模糊固定解，结果表明更多的频率有助于实现Galileo PPP 快速模糊度固定。

更多频率观测值为GNSS 精密定位发展提供了新的机遇，也对GNSS 数据预处理工作提出了更高的要求。其中，周跳的探测与修复是关键。目前尚未见到Galileo 五频周跳探测与修复相关的公开文献。相较于三频或者双频观测值，五频观测值能够通过构造五个独立的周跳探测组合探测与修复周跳，但是如何从众多组合中选出某种意义上最优的组合进行周跳处理是个难题。针对此，考虑到周跳修复法方程存在不同程度病态性的问题，而条件数可以用来表征病态程度[18,19]，本文提出一种以条件数最小为准则，在已经过标准差、波长等指标筛选后的组合中挑选最优组合系数的方法。如此挑选的组合兼顾了良好的周跳探测性能和周跳修复能力。接着应用优选的五组周跳探测组合进行各类周跳探测实验。最后提出引入LAMBDA算法进行 Galileo 五频周跳修复，重点研究了LAMBDA 算法中ratio 值设置问题。本文的研究结果对GNSS 五频甚至更多频观测值的数据预处理具有一定的参考价值。

1 Galileo 五频周跳探测原理

Galileo 原始载波相位和伪距观测值可表示如下：

式中，Pr（t）和φr（t）分别表示t时刻以米和周为单位的伪距及相位观测值，ρ表示与频率无关的集合距离项，rλ表示第r（r=1, 2, 3, 4, 5 分别表示Galileo 系统E1, E5a, E5b, E5 和E6）频率的波长，1I表示E1 频点的电离层延迟，rN表示第r频点上的模糊度，rPε和rφε分别表示伪距和相位的观测噪声。

本节借鉴三频周跳的处理思想[20]，引入无几何相位组合和无几何伪距相位组合进行五频周跳探测与修复。

1.1 无几何相位组合

根据式(1)，Galileo 五频无几何相位组合可以表示为

其中，

式中，ηi,j,k,l,m表示电离层延迟放大系数，为组合模糊度，εφi,j,k,l,m为组合噪声。为了构造无几何观测量，则需要i+j+k+l+m= 0。

然后，进行历元间差分：

可得如下周跳探测量：

历元间差分后，当电离层延迟系数较小时忽略电离层延迟影响，得到周跳探测量标准差为：

1.2 无几何无电离层伪距相位组合

由式(1)可知，Galileo 五频伪距和载波相位组合可以表示为

其中，

式中，ηi,j,k,l,m，ηa,b,c,d,e表示电离层延迟放大系数。则伪距相位组合可以表示为：

由上式可知，要想消除几何距离项，需要使得a+b+c+d+e= 1，电离层延迟影响系数越小越好，可降低电离层延迟误差对其影响。然后进行历元间差分：

于是，得到周跳探测量及其标准差为：

针对Galileo 五频周跳特点，本文提出通过构造四组无几何相位组合加一组无几何伪距相位组合进行周跳探测。选择此种组合方式主要基于以下几点考虑：1）相较于伪距观测值，载波相位观测值精度高，通过利用四组无几何相位组合能够大幅提高周跳探测的精度；2）添加一组无几何伪距相位组合能够进一步增加探测周跳的能力，并且在周跳估计过程中，使周跳估值法方程系数阵避免严重复共线性，影响周跳估值可靠性。

2 Galileo 五频周跳修复

Galileo 五频周跳估计方程如下所示：

式中，系数矩阵A前四行是由四组无几何相位组合构成，i(p)，j(p)，k(p)，l(p)和m(p)（p=1，2，3，4，5）分别表示的是无几何相位组合中相位观测值的组合系数，矩阵A的第五行的i，j，k，l和m为无几何伪距相位组合中相位观测值的组合系数，ΔN表示Galileo五频周跳，l表示周跳组合观测量。由此我们得到观测量l的协方差阵为：

3 周跳探测组合选取

然而，当按照上述步骤和方法采用最小二乘法估计五频周跳时，仍有较大可能会受到法方程病态性的影响。在这种情况下，观测量的微小偏差就会对周跳估值产生较大影响，使得周跳估值偏离真实值。因此，周跳探测组合系数的选取成为了影响Galileo 五频周跳探测与修复的重要因素。针对此，本文提出将条件数[18]纳入考量，以条件数最小为原则优选周跳探测组合系数。

基于以上分析，提出优选Galileo 五频周跳探测与修复组合系数策略，具体为：首先基于前文所述的两种五频周跳探测组合，在某一系数区间内，构造N组由四组无几何相位组合和一组无几何伪距相位组合构成的Galileo 五频周跳探测组合，然后依据组合波长较长，电离层延迟放大系数和周跳探测量标准差较小的标准在N组组合中选出N1 组较优的周跳探测组合，为提高周跳探测的精度和发现小周跳的能力，设置严格的选择标准如表1 所示。以上N1 组周跳探测组合均有较好的周跳探测性能，且受电离层残差影响较小，能够有效探测小周跳。接着依据条件数最小原则从上述N1 组组合中遍历选出最优组合。优选五频周跳探测的组合系数方法如图1 所示。实验选取系数区间设为[-4 4]。

表1 选择周跳探测组合的标准Tab.1 selection principle of selecting cycle slip detection combination

图1 优选Galileo 五频周跳探测组合系数流程Fig.1 Optimization of combination coefficient flow for five frequency cycle slip detection

表2 直接给出了以上搜索选取过程得到的最优组合及其标准差等。从表中可以看出所选的周跳探测组合的探测精度较高，具备较强的小周跳探测能力。五组组合系数组成的方程系数阵的条件数为732.21，相较于其他组合系数构成的周跳探测组合数千甚至数万的条件数的量级，本次优选的五组组合系数构成的Galileo 五频周跳探测组合大幅降低了周跳估计受周跳修复法方程病态性影响的可能，提高了周跳估计和修复的成功率与可靠性。

表2 周跳探测组合系数选取结果Tab.2 The final selection results of cycle-slip detection combination coefficient

图2 周跳探测与修复流程图Fig.2 Cycle slip detection and repair flow chart

4 实验分析

采用前文所述算法和流程，基于实测数据开展周跳探测与修复的实验。

4.1 实验数据选取与方案设置

实验选择测站为2018 年年积日第32 天位于南非的HARB 站3 颗卫星连续弧段观测数据，具体如表3 所示。采用上一节中所优选的Galileo 五频周跳探测的组合系数进行试验。

表3 实验数据选取Tab.3 selection of experimental data

4.2 周跳探测

为验证算法对于不同周跳的探测能力，在E30 卫星选取弧段的第200，400，600 和800 历元处分别添加[1 0 1 0 1]小周跳，[1 2 1 1 2]小周跳，[1 5 3 7 4]一般周跳和[10 13 24 15 21]大周跳。算法探测结果如图3所示。从图中可以看出，无几何相位组合[0 0 -1 0 1]和[1 1 -2 -1 1]在第200 历元处未能有效探测出添加周跳，其他各个历元添加周跳均被各个周跳探测组合有效探测。而当联合五组周跳探测组合探测时，可以看出第200 历元添加的小周跳被无几何相位组合[0 2 0 -1 -1]和[1 1 -2 0 0]，以及伪距相位组合[1 2 -3 -1 1]有效探测，最后，该历元添加的模拟小周跳被成功探测。

图3 模拟单个周跳探测Fig.3 simulated single cycle slip detection

本文研究了算法对于连续周跳的探测能力，在所选卫星弧段第500，501 和502 历元各个频率分别添加[1 2 1 2 1]，[2 1 2 0 2]和[2 1 2 0 2]周跳组合，在第800，801 和802 历元添加[0 1 0 2 2]，[12 4 6 8 16]和[2 1 2 1 2]周跳组合。图4 给出了两组连续周跳探测实验的周跳探测情况。从图中可以看出，无几何相位组合[0 0 -1 0 1]和[1 1 -2 -1 1]并未探测出在第500 历元添加的模拟周跳组合，而其他三组周跳探测组合均成功探测出该处添加的周跳。无几何相位组合[0 2 0 -1 -1]和伪距相位组合[1 2 -3 -1 1]未成功探测出第501 历元处添加的周跳组合，而其他三组周跳探测组合均成功探测。

图4 第500, 501, 502 历元和第800, 801, 802 历元连续周跳探测实验Fig.4 Simulated continuous epoch cycle slip detection at epoch 500, 501,502 and 800, 801, 802

五组周跳探测组合均成功探测出第502 历元处添加的模拟周跳组合。在第800，801 和802 历元添加的连续周跳组合均被各组周跳探测组合有效探测。两组连续周跳探测实验结果统计如表4 所示。

表4 连续历元模拟随机周跳探测结果统计Tab.4 Statistics of detection success rate of continuous-epoch simulated random cycle slips

上述实验结果表明，相较于GNSS 三频周跳探测，五频周跳探测过程可以优选五组周跳探测组合，只需其中任一组合探测出周跳即可达到目的，能够有效提高周跳探测成功概率。

为进一步验证算法对周跳的探测能力，对所选E30，E31 和E36 号卫星弧段观测值各频率自首历元开始间隔2 个历元添加一个0 至9 周的随机周跳，共计500 组周跳。然后统计单个周跳探测组合及总体周跳探测组合的周跳探测的成功率。其中E30 号卫星探测结果统计如表5 所示。从表中可以看出，单一周跳探测组合并不能100%探测出所有周跳组合，其中伪距相位组合的周跳探测组合探测成功率为95.66%，低于其余四组无几何相位组合探测成功率，这主要是由于受到伪距的噪声的影响。但是联合五组周跳探测组合来看，各个频率各个历元添加的模拟周跳均被有效探测，探测成功率达到100%，显示出算法的有效性。E31 和E36 号卫星实验结果与E30 号卫星类似，所有历元添加的模拟周跳均被有效探测。

表5 多历元模拟随机周跳探测成功率统计Tab.5 Statistics of detection success rate of multi-epoch simulated random cycle slips

以上结果表明伪距观测噪声确实对周跳探测效果有较大影响，文献[1]中采用载波相位平滑伪距进行了四频周跳探测研究，取得了较好的效果，可以作为下一步研究方向。总的来看，联合五组周跳探测组合可以探测出所有模拟随机周跳，具有较高的周跳探测成功率和可靠性。

4.3 周跳估计与修复

对各个历元探测出的Galileo 五频周跳，依然采用前文所优选的组合系数进行估计和修复。并设置以下4 组实验方案：

方案一，结合取整概率公式对最小二乘结果进行四舍五入取整，然后结合取整成功概率公式进行周跳修复；

方案二，将利用周跳实数解的方差协方差信息采用 LAMBDA 算法进行搜索获取整数周跳值，LAMBDA 算法的ratio 值设置为1；

方案三，LAMBDA 算法的ratio 值设置为2，其他同方案二；

方案四，LAMBDA 算法的ratio 值设置为3，其他同方案二。

其中方案一为传统的周跳修复方法，得到各个频率的周跳实数估值后直接取整，然后配合取整成功概率公式得到整数周跳。

表6 直接给出了上一节中两组连续周跳模拟实验的修复结果。从表中可以看出，采用LAMBDA 算法的方案（对应方案二至方案四）成功修复了各历元添加的所有周跳，各轮实验中得到的ratio 值均大于30，表明周跳修复结果具有极高的可靠性和可信度。

针对方案一，若对周跳实数解进行四舍五入取整并统计其结果，则由表中统计数据可知六组周跳组合均被成功估计并修复。但是要使修复的周跳具有高可信度和高可靠性，就需要结合周跳修复成功概率公式结果进行判断。由表6 可知通过四舍五入取整得到的整数周跳对应的取整成功概率最高仅为98.33%（在表中由黑体标出），最低仅为41.95%，均无法达到阈值（99.99%）要求，因此方案一未能成功修复添加的周跳组合。事实上，在后续实验对方案一修复结果的统计中发现其在绝大多数情况下均无法达到周跳修复成功概率阈值。因此，为方便比较，后续实验仅统计四舍五入取整得到的整数周跳的正确率作为方案一的周跳修复成功率，将取整成功概率公式判断结果记为辅助判断条件。

为进一步研究算法的周跳修复能力，设置多星多历元随机周跳修复实验。实验针对表3 所示的三颗卫星的三个观测弧段，自首历元始间隔两个历元在各个频率观测值上添加1 至9 周小周跳，进行三轮实验，统计各方案平均周跳修复成功率如表7 所示，其中周跳修复漏判率表示事实上LAMBDA 算法成功固定了添加的周跳，但是由于ratio 值设置过大使得检验未通过造成的漏判概率，周跳修复误判率表示事实上LAMBDA 算法未成功固定添加的周跳，但是由于ratio值设置过低造成检验通过引起的误判概率。从表中可以看出：

1）三轮实验中，方案一对E30，E31 和E36 号卫星添加周跳的修复成功率在没有结合取整成功率公式判断的前提下，分别为93%，87.67%和84.50%。图5 和图6 给出了E30 号卫星实验中方案一的L1 频点周跳估计的实数解与整数周跳的差值序列和取整成功率公式得到的取整成功率。可知若结合取整成功率公式判断，显然，方案一修复的成功率极低。因此，结合图5 和表6 可知，采用方案一进行周跳的修复成功率较低且可靠性极差；

表6 连续历元模拟随机周跳修复结果统计Tab.6 Statistics of repair success rate of continuous-epoch simulated random cycle slips

2）方案二的修复成功率最高，三轮实验中其周跳修复率分别达到了100%，99.67%和99.75%，漏判率均为0，误判率则分别为0，0.33%和0.25%。由此可知，当ratio 值设置为1 时，虽然周跳修复成功率较高，但是存在着误判的风险。

3）方案三和方案四的周跳修复成功率分别为99.8%，99.00%，98.75 和98.20%，96.67%，95.75%，漏判率分别为0.20%，0.67%，1.00%和1.80%，3.00%，4.00%，而误判率均为0。方案三和方案四在各颗卫星实验中的周跳修复成功率均低于方案二，方案四则低于方案三，表明随着ratio 值阈值的减小，周跳修复成功率能够获得有效提高，周跳修复漏判率同时随着ratio 值阈值的增大而升高。

从以上实验结果可知ratio 值阈值的设置对于周跳修复成功率有着较大影响。图7 给出了E30 号卫星实验中LAMBDA 算法的ratio 值序列，从图中可以看出，在本文研究背景下，绝大多数历元的ratio 值分布较好，甚至达到104的量级，显示周跳修复具有较好的可靠性。

以上分析表明，如果ratio 值阈值设置过大，则会造成较高的漏判率和较低的修复成功率；如果ratio 值阈值设置过低，则存在着误判的风险。因此，合理的ratio 值设置对于LAMBDA 算法的成功应用具有重要意义。在实际应用中，误判显然会比漏判带来更大的风险。原因在于前者极大地降低了周跳修复的可信度，降低了算法可靠性。因此，结合实验结果建议将ratio值阈值设置为2。值得一提的是，上述阈值设置与整周模糊度固定中ratio 值阈值设置的经验值类似，显示出LAMBDA 算法的有效性和适用性。

表7 各方案周跳修复成功率统计Tab.7 Statistics of cycle slip repair success rate of each scheme

图5 方案一L1 频点实数解与整数解之差Fig.5 The difference between the real solution and the integer solution on L1 frequency

图6 L1 频点各历元取整函数成功率Fig.6 The success rate of rounding function on L1 frequency

图7 LAMBDA 算法ratio 值Fig.7 Ratio values from LAMBDA algorithm

5 结 论

研究了Galileo 五频周跳探测与修复的理论与方法，提出联合四组无几何相位组合和一组无几何伪距相位组合探测Galileo 五频周跳。针对上述组合修复五频周跳过程中遇到的法方程病态性问题，提出基于条件数最小原则优选组合系数的策略，大幅降低了法方程病态性对周跳估计的影响。然后引入LAMBDA 算法用于Galileo 五频周跳修复，重点研究了LAMBDA算法中ratio 值设置问题，得到以下几点结论：

1) 采用本文所提方法选取的周跳组合系数具有较低的周跳探测标准差，较长的波长，较小的电离层延迟系数和较小的条件数，有利于提高Galileo五频周跳探测灵敏度的同时能够有效降低周跳修复法方程病态性对周跳估计的影响；

2) 所选择的周跳探测组合能够有效探测小周跳，一般周跳和大周跳，实验结果表明所有添加的模拟随机小周跳均被有效探测，探测成功率达到100%；

3) 周跳修复实验结果表明，直接取整法的周跳修复成功率较低，结合取整成功率公式结果来看，该方法的取整可靠性较差；LAMBDA 算法周跳修复成功率和可靠性较高，算法关键在于ratio 值阈值的选取，实验结果显示，如果ratio 值阈值设置过大，则会造成较高的漏判率和较低的修复成功率；如果ratio 值阈值设置过低，则可能带来误判的风险，根据实验结果，可将ratio 值阈值设为2，以上分析与LAMBDA 算法在模糊度固定中应用类似；

4) 周跳探测实验中可以看出伪距观测噪声确实对周跳探测效果有较大影响，而文献[1]中采用载波相位平滑伪距进行了四频周跳探测研究，取得了较好的效果，值得下一步研究借鉴。