分类讨论思想在初中数学解题教学中的应用要点

纪载华

(甘肃省定西市安定区福台初级中学 743000)

一、分类讨论思想对于初中数学教学的意义

人们对于现实世界中的数量关系和模式结构的研究都可以映射到数学思维上，反之，对于数学的系统学习和对数学思维的训练可以帮助人们在现实生活中获得帮助.数学思维帮助人们从宏观上掌握思维结构，提供解决问题的最优方案.人们要想做好一件事，仅仅用一个方法或者一种思维方式是不会成功的，同理，学生要想做对一道相对复杂的数学题，有时候仅仅用一种解题方式也是解不出来的.对于初中数学的数学难题，往往需要将问题进行划分，形成一个个的小问题来逐个解决.

分类讨论思想从根本上讲，就是一种将复杂问题分割化，对逻辑进行划分的思维模式.初中数学中“化零为整”的解题方式对应的就是我们今天所讨论的分类讨论思想.分类讨论的思维方式与解题策略可以帮助学生对数学知识进行归纳与总结，提高学生的解题能力，提高学习效率，提高学生的自信心.学生分类讨论思维的养成还有利于对学生创新意识的培养，可以提高学生的学习兴趣，实现新课改的目标.

二、初中数学中分类讨论思想运用的注意事项

在对分类讨论思想进行运用时，首先需要明确研究对象，一道数学题中有很多对象可以进行讨论，我们只需要确定一个即可，确定讨论对象后要对拟定的讨论对象进行分类，分类标准要保证一致性.在解题过程中，如果出现需要多次分类的情况，要注意对问题进行分层，即通过两分法将互相矛盾的概念进行分层，确保分类的科学性.

三、初中数学中分类讨论思想的应用步骤

首先，学生需要仔细阅读题目，对题目要考察的知识点做到心里有数，这一步是成功解题的前提；其次，学生进行规范答题，规范答题体现的是学生的学习态度，端正的学习态度有利于学生的长远发展.不仅如此，答题格式不正确还会让学生丢失一部分分值，所以要重视答题格式.最后，学生根据教师的解题思维根据知识储备进行解题.

四、初中数学中分类讨论思想的应用策略

1.分类讨论与直线型习题

直线型习题中主要是对线段和三角形的分类讨论，特别是对三角形高的问题的讨论.

例如，已知一等腰三角形的两边边长分别为3cm和6cm，求这个三角形的周长.相信这道题曾经难倒过很多学生，绝大部分学生见到这道题第一眼时往往觉得很简单，三两下解决问题后一对照答案，发现错了才恍然大悟，大多数学生见到题目后急于解题，而忽略了解题的第二种方案，导致得出的答案片面而不完整.这是学生对于分类讨论思想掌握得不够透彻的体现，教师一定要在教学过程中将分类讨论思想慢慢渗透给学生.

在这一个问题当中，学生往往单纯认3cm或6cm是三角形的腰长，而没有运用分类讨论的思维，考虑到3cm和6cm都可能是腰长.在这道题公布答案以后，老师要着重向学生介绍分类讨论思想并强调分类讨论思想的重要性，给学生留下深刻的印象.

2.分类讨论与圆

根据圆心到直线的距离与半径的数量关系将其划分为： 直线与圆相离、相切、 相交这三种位置关系.这就是使用分类讨论思想进行几何知识教学最常见的例子，通过分类讨论，可以较容易的解答与圆相关的数学题.

我们已经知道什么是相切了，即直线与圆有且仅有唯一的一个公共点.题目说到让圆P向斜下方移动，那么圆P经过移动后，会同x轴相切，此时圆P在第一象限，这是第一种情况，大多数学生都能考虑到，但是还有第二种情况，即圆P同x轴相交后，还可以接着向斜下方移动，移动到第三象限时同样会同x轴相切，以上是教师通过运用分类讨论思维对题目进行的一个综合分析，接下来就可以给学生讲解具体的解题步骤.题干已经给了我们坐标和解析式，下一步应该将坐标代入到解析式中，这样就得到了m的数值为2，接下来过点P做一条垂直于x轴的线段，设这条线段与x轴的焦点为D，那么线段PD的数值就是m的数值，为2.将原点O，圆心P以及垂足D相连，我们得到的是一个直角三角形，根据勾股定理，可以得出线段OP的数值，角POD为30度，根据这些信息，可以依次算出两种情况下的答案，即2秒或者6秒.由于本文并非为习题参考答案且篇幅有限，具体解题步骤就不再一一赘述.

在解决初中数学中的几何问题时，教师还可以在分类讨论的基础上，叠加数形结合的教学方式来进行教学，这样就可以将抽象的数学理论具象化，增加学生对知识的理解，提高学生的学习效率.

3.角的分类讨论

角的计算问题与线段的计算方式类似，角的计算会涉及到射线的位置，而射线的位置具有不确定性，即射线既可以在角的内部也可能在角的外部，既可以在一条边的上面也可以在下面；角的旋转方向同样具有不确定性，既可以沿顺时针旋转也可以沿逆时针旋转.因此对于角的计算，要充分使用分类讨论思想.对于没有图的题目，要利用好已知条件并找出关键点，学生也可以根据题目自己画出图，在解题过程中，要先复制图，再分情况进行画图讨论，使自己对于问题有更直观的理解.

例如，已知角BOC为30度，角AOB等于三倍的角BOC，那么角AOC是多少度.

根据题干，可以将给出的已知角画出来，在画图时，尽量使用直尺和量角器来保证图的准确性，根据已知条件，下一步就可以将角AOB画出来，重点在于线段OA的方向是不确定的，它既可以在线段OB的上方也可以在线段OB的下方，这里就是在这道题中需要进行分类讨论的地方.

4.分类讨论与绝对值

初中数学中的绝对值问题同样包含了分类讨论思想.下面我们来看一道例题.

已知m的绝对值为3，n的绝对值为2，且m大于n的值，那么求n的m次方的值.根据题目我们可以得到这样的信息：m的值既可能是3也有可能是负3，n的值既可以是2也可以是负2，所以这道题，我们需要对m和n的值分别进行分类讨论.因为m是大于n的，所以当m的值为3时，n的值为2，这道题的答案为8；当m的值为3时，n的值也可以为负2，这时这道题的答案为负8.综上，这道题的答案为8或者负8.

分类讨论的思维模式与解题策略体现在数学课程的各个环节与各个知识点，是我们必须掌握的一项技能，学生要习惯于用这种思维来解决问题，使分类讨论的思维模式变成一种本能.

综上所述，分类讨论就是要考虑一道题中每一个条件下产生的不同结果，要根据题目信息经过排查后，留下符合条件的答案，舍弃不符合条件的答案，从而得出全面而正确的答案.分类讨论的内涵在于将复杂的数学题通过分类讨论将其划分为若干个局部问题来解决，也就是将复杂的问题进行简单化处理.教师将分类思考的理论通过数学习题传授给学生，学生通过数学习题的练习培养分类讨论的思维模式，最后再将这种思维模式应用到习题练习中去，这就形成了一种良性循环，分类讨论对于初中数学教学具有重要意义.