由一道课本练习题引发的多角度探究

贺凤梅

(新疆伊犁州巩留县高级中学 835400)

一、问题展示

人教A版数学选修2-1第72页练习第题：过点M(2，0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于A、B两点，求|AB|.

二、总体分析

三、试题解答

1.利用两点间的距离公式求解

分析这种解法的的关键是联立直线与抛物线的方程组成的方程组，求出方程组的公共解，即得两交点的坐标，再代入两点间的距离公式求解，便可以得出弦长.

由两点间的距离公式得

整理得y2-4y-8=0,

评注解法1和解法2的解题启示是：运用两点间的距离公式求弦长时，根据直线的特点，可以灵活选择消去或消去,当然是以方便求解为原则.这种方法学生比较容易想到，通过此种求解过程，可以锻炼和提高学生的计算能力.

2.利用弦长公式求解

分析这种解法的的关键是联立直线与抛物线的方程组成的方程组，消去x或者消去y，由根与系数的关系得出两根之和以及两根之积，代入相应的弦长公式，便可以求出弦长.

解法3由解法1，有x2-8x+4=0，由根与系数的关系得x1+x2=8,x1x2=4,直线斜率k=1,再代入弦长公式

由直线y=x-2方程变形得x=y+2,

代入抛物线y2=4x方程，消去x，得

y2=4(y+2),

整理得y2-4y-8=0,

可知y1、y2是以上关于y的方程的产根，由根与系数的关系得y1+y2=4,y1y2=-8,

代入对应的弦长公式

评注解法3和解法4比较而言，学生比较容易想到的是解法3，如果选择使用弦长公式求解，需要给学生讲清楚的是联立方程得到的方程组消元时，同样需要根据直线方程的特点，以方便求解为前提条件.

3.构造直角三角形，由边角关系求解

分析这种解法的关键是根据题目条件，数形结合，找到直线与抛物线两交点的纵坐标(或横坐标)、弦长以及直线倾斜角之间的联系，在所构造的直角三角形中求解完成.

由解法4得

4.利用直线的参数方程求解

分析这种求解方法的关键是利用直线参数方程的几何意义，当直线参数方程为标准型时，将直线的参数方程中的x和y代入抛物线方程，得到关于t的一元二次方程，借助根与系数的关系(韦达定理)，以及|AB|=|t1-t2|，可顺利求解完成解答.

设A、B两点的参数分别为t1、t2，由参数的几何意义得

评注用此法求弦长时，一定要明确直线参数方程中是否具有几何意义.若具有几何意义,可直接求解;若不具有几何意义，一定要进行变形，求出具有几何意义的直线参数方程，方可求解.

变式将直线l所经过的点改为(1,0),即经过抛物线的焦点F，这道题就是人教A版选修2-1课本第69页的例4.

现作为解法8和解法9简述如下：

5.利用抛物线的定义求解

分析此解法的关键是直线经过抛物线的焦点，根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，转化求解即可完成.

|AB|=|AF|+|BF|=dA+dB

=x1+x2+p=x1+x2+2

直线方程为y=x-1,

x2-6x+1=0，由根与系数的关系x1+x2=6,

于是|AB|=x1+x2+2=6+2=8.

评注此法只要求出两点A、B的横坐标之和x1+x2，就可以求出弦长|AB|.

6.利用抛物线的焦点弦求解

解法9由于直线经过抛物线y2=4x的焦点F，所以可以由抛物线的焦点弦公式求解.

代入抛物线方程中y2=4x，

化简并整理得

由弦长公式

因此，利用焦点弦公式求得

评注此解法在高三总复习的一些参考资料上出现过，原则上这种方法做解答题时需要证明结论的正确性才可以使用.不过做选择题或填空题还是比较方便和快捷的.

四、解后反思

这道练习题和相关联的例题是一道容易题，但却是一道好题.它蕴含着丰富的数学思想方法，考查了学生的运算求解能力，数形结合思想，以及化归转化等方法.在平常的解题中，要引导学生运用所学知识，多角度多方位进行思考，从而获取不同的解法.在平时的解题教学中，一定要跳出定势思维的束缚，提倡一题多解，可以从代数方面进行思考和突破，也可以从几何方面入手，运用数形结合来解决.当然，一定要引导学生重视教材，培养学生研究教材的兴趣，让学生清楚地认识到教材的重要性，同时培养学生的探索精神,还能达到触类旁通、举一反三的效果.