缩小参数范围 优化解题过程

黄治元

(浙江省宁波市鄞州中学 315104)

含参数的最值问题、恒成立问题是高考数学中的热点问题，解题方法一般是通过对参数进行分类讨论，但分类情况比较多时就会显得繁琐复杂.若先缩小参数范围再加以讨论，则往往会优化解题过程.

一、利用特值检验，缩小参数范围

对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象.

解析这是2017年天津市高考理科试题选择题第8题，标准解答如下：

当x>1时，(*)式为

故选A.

评注此法思路过程虽严谨清晰，但有点“小题大做”，不符合选择题的解题特点.快速找出正确答案才是上策，解法如下：

例2 已知a>0，函数f(x)=|x2+|x-a|-3|在区间[-1,1]上的最大值是2，则a=____.

解析函数f(x)带有双重绝对值，绝对值函数问题一般是先去掉绝对值符号转化为分段函数，但本题去掉内层绝对值转化为分段函数后不易确定相应的自变量x的范围，这给后续分类讨论带来不便.若先缩小参数a的范围，问题得到解决.

解法如下：f(0)=||a|-3|=|a-3|≤2(a>0)⟹1≤a≤5，

∴当x∈[-1,1]时，f(x)=|x2-x+a-3|.

∴f(-1)=|a-1|≤2⟹-1≤a≤3，从而1≤a≤3.

∴f(x)=|x2-x+a-3|，x∈[-1,1],1≤a≤3

评注在得知1≤a≤3的情况下，求解①，②也更快捷.

例3设函数f(x)=3|ax|-(x+a)2，其中a∈R.若对任意x∈[a,a+1]，恒有f(x)≥-1，求实数a的取值范围.

解析先缩小参数a的取值范围找其使命题成立的必要条件，有时该必要条件也恰好是使命题成立的充分条件，接下来证明其充分性即可.

下面证明，当a∈[-1,0]时，对任意x∈[a,a+1]，恒有f(x)≥-1.

(1)当a≤x≤0时，f(x)=-x2+ax-a2，f(a)=f(0)=-a2≥-1，故f(x)≥min{f(a),f(0)}≥-1成立；

(2)当0≤x≤a+1时，f(x)=-x2-5ax-a2，f(a+1)≥-1，f(0)≥-1，

故f(x)≥min{f(a+1),f(0)}≥-1成立；

由此，对任意x∈[a,a+1]，恒有f(x)≥-1.

所以实数a的取值范围是[-1,0].

例4已知函数f(x)=x2-ax，|f(f(x))|≤2在[1,2]上恒成立，则实数a的最大值为____.

解析利用从一般到特殊的解题思想，特值检验缩小参数a的范围，猜测实数a的最大值，先猜后证.

由f(f(x))=f(x2-ax)=(x2-ax)(x2-ax-a)知|f(f(x))|≤2,即|(x2-ax)(x2-ax-a)|≤2对x∈[1,2]上恒成立，特别地，当x=1,2时，有

∴当x∈[1,2]时，f(1)≤f(x)≤f(2)，

所以f(x)=x2-ax在[f(1),f(2)]上递减，

由f(1)≤f(x)≤f(2)

得f(f(2))≤f(f(x))≤f(f(1))

所以-2≤f(f(x))≤2，

即|f(f(x))|≤2.

二、利用极限思想，缩小参数范围

极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想解题，往往可以避免复杂的讨论，优化解题过程.

例5设a∈R，若x>0时，均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，则a=____.

解析此题是2012年浙江理科卷最后一个填空题.经初步分析知，需要对不等式中的两个因式的正负进行讨论，也需对因式(a-1)x-1中一次项系数a-1的正负进行讨论.讨论情况有些复杂，先考虑缩小参数a的取值范围.

注意到，当x→+∞时，x2-ax-1→+∞，

∴a-1>0⟹a>1

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0对x>0恒成立，

例6若不等式(ax+3)(x2-b)≤0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则( ).

A.ab2=9 B.a2b=9，a<0

C.b=9a2，a<0 D.b2=9a

解析含有两个参数的不等式恒成立问题，分类讨论情形复杂，优先考虑缩小参数范围.

注意到，当x→0+时，ax+3>0，从而x2-b≤0⟹b>0.

当x→+∞时，x2-b>0，从而ax+3≤0，⟹a<0.

∴(ax+3)(x2-b)≤0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，

含参数的最值问题、恒成立问题，优先考虑缩小参数的范围以达到简化分类讨论或是避免分类讨论的目的.至于选择怎样的特殊值来检验缩小参数范围，这需要一个尝试的过程，一般会选择区间的端点值(或取其极限)，或是选择给定区间内的某个便于计算的值，这因题而异.