离散数学课程中应用案例的设计

何睿

（重庆工程学院 软件学院，重庆 400000）

离散数学作为计算类专业的核心课程，旨在让学生理解并掌握基本理论与方法，培养学生的抽象能力与逻辑思维能力。通过对离散数学的学习，学生可以使用离散数学作为工具，对软件工程学科问题进行描述、分析、研究，达到对软件工程专业领域相关问题进行离散建模求解的能力目标[1]。

国际工程教育认证是推动新工科建设的重要手段。国际工程教育认证标准对学生的“工程知识”提出了“学以致用”的要求。包括两个方面，其一，学生必须具备解决复杂工程问题所需数学、自然科学、工程基础和专业知识；其二，能够将这些知识用于解决复杂工程问题。前者是对知识结构的要求，后者是对知识运用的要求[2]。2020版的国际工程教育认证手册中，要求举例说明运用数学知识解决复杂工程问题的培养环节，提高了运用数学知识的要求。

一、问题的提出

目前，离散数学课程的教学理念仍侧重于数学理论的推导演绎，注重训练学生的逻辑能力、抽象能力[3]，缺少在实际生活或专业领域的应用案例，对学生运用知识解决复杂工程问题的能力培养不够，导致学生学而不知其所用，产生“离散数学没有用”的疑惑。

按照国际工程教育的理念和要求，在传授理论知识的基础上，还需要引入软件工程领域问题，尤其是添加以专业背景的场景案例，并运用离散数学的知识分析问题，提出解决方案。

在离散数学课程中，不仅培养学生体会数学的抽象、推理、逻辑能力，而且能够学以致用，与后续专业课程建立联系，打通数学与软件专业课程的任督二脉。

根据适合的应用场景设计教学案例，是实现这个课程目标的关键。下面以离散数学中的特征函数为例，讨论应用案例的设计思路。

二、应用案例设计

离散数学中讨论的函数都是离散函数，主要关注离散结构之间的函数关系。它是定义在离散集合上的特殊关系，把一个离散对象变换成另一个离散的对象。离散函数是开关理论、自动机理论和可计算理论的基础，在计算机、软件工程等学科及应用领域中有重要的意义[4]。

特征函数是离散函数中的教学内容，将离散的对象映射到0或1，在知识层面非常简单，但能够解决很多复杂的问题。例如数据处理中，对高维数据降维，得到易处理的特征向量，为数据运算提供支撑；在集合的交、并等运算中，避免数值的多样性导致数值的比较变得复杂的情况。

（一）离散数学中的特征函数

特征函数直接定义在集合上，映射到0、1两个值，很容易与计算机中的二进制联系，因此，选择集合的交、并、补等运算作为特征函数的应用场景，并按照分析问题、提出解决方案、编程实现的思路设计教学案例。

（二）分析问题：运用特征函数解决集合运算

可将 集合运算表示为公式(8)、(9)。

按照上述思路，很容易使用特征函数表示集合的其他运算。

（三）解决方案：设计算法

按照表2.1所示的特征函数映射关系，可设计出特征函数的算法，特征函数XA的伪代码如下所示。

表2.1 特征函数XA和XB的映射表

算法1：求特征函数

按照上述方法，也可设计出计算特征函数的算法。

遍历全集中的所有元素，并使用作为条件判当元素是否为中的元素，设计出求交集的算法。

算法2：求交集

按照相同的方法，可设计求的算法。

算法3：求并集

按照上述思路，很容易设计出其它集合运算的算法，这部分内容可作为学生练习。

（四）编程实现

在计算机中，有很多方法可表示和存储集合。为了简单方便，可选数组。

const int n = 15;

int E[15]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15};

int A[]={1,3,5,7,9,11,13,15};

int B[]={1,2,5,8,9,10,13};

也可使用数组存储如表2.1所示的特征函数映射关系。

int Xa[15], Xb[15];

在计算特征函数的算法中，包含了集合的属于运算，可先编写一个函数实现此运算，其代码如下。

根据计算特征函数的算法，可编写出计算特征函数的程序，其代码如下。

根据计算集合运算的算法，可编写出相应的程序，如计算的代码如下。

（五）运用特征函数的局限性

上述解决方案中，假设了母集是已知的，如果不知道母集的元素，怎样设计计算集合运算的解决方案？实际上，在不知道母集的情况下，运用特征函数解决集合的运算问题，集合的定义更加复杂。通过上述提问，作为学术拓展练习，让学生体会到运用特征函数解决工程问题的局限性，明确方法的适用场景。同时，将教学内容延展至算法分析与设计的内容，与其他专业课程紧密相连。

三、总结

本文结合国际工程教育认证对新工科建设方向标准，提出在原离散数学课程的教学方法中，添加专业领域或生活实际的案例。为与后续专业课建立练习，教学案例的思路按照分析问题、提出解决方案、编程实现进行设计。

以离散数学的特征函数解决集合的运算为例，分析集合运算，以特征函数为解决方案，分析设计算法，并提供了使用C语言编程实现算法的关键代码。最后讨论了特征函数使用的局限性。