利用数学史料，解决复杂问题，发展综合能力

李建良 林永伟

【摘   要】勾股定理是数学中的重要定理，人教版教材五年级上册“总复习”中安排的这一内容，存在“问题较为综合，学生缺乏相关经验;素材形式单一，学生无法深入体验”等问题。结合相关史料，借鉴初中数学的一些做法，通过“以等腰直角三角形作为导入素材，借助‘勾三股四弦五进行进一步探究，利用‘赵爽弦图尝试进行实验证明”这样三个教学任务，使学生经历从特殊到一般的过程，发现并验证勾股定理，引发学生的深入思考，发展学生的综合能力。

【关键词】勾股定理;数学史料;综合能力

“勾股定理”是一个基本的几何定理，它的发现与证明都具有悠久的历史。以往，这是初中数学的经典内容，而2013年教育部审定的人教版小学数学教材在五年级上册“总复习”中安排了与此相关的内容。笔者在对该内容做较为深入解读的基础上尝试开展相关教学。

一、现有教材内容的分析与思考

相关内容在教材第114页上。该内容分为两部分，第一部分是出示边长为3cm、4cm、5cm的直角三角形（勾三股四弦五），求分别以这三条边为边长所作的正方形的面积，并研究它们之间的关系;第二部分是对第一部分所作的进一步拓展，期望学生从三个实例中得出规律。

仔细分析教材提供的素材可以发现，学生的学习会因为以下两方面的问题遇到阻碍。

（一）问题较为综合，学生缺乏相关经验

教材中的第一个问题包含了三个步骤，分别是：①以直角三角形的三边（3cm、4cm、5cm）为边长画三个正方形;②计算这三个正方形的面积;③探索这三个正方形面积之间的关系。虽然步骤①由教材直接提供，但是在以往的教学中，学生没有类似的作图经验，因此要理解三个正方形的面积与直角三角形三条边的关系，需要投入一定的精力。步骤②难度不大。步骤③中，由于这三个正方形从空间位置上，没有非常直接、明显的关系，因此，学生不容易想到两个较小正方形的面积之和等于较大正方形的面积。

（二）素材形式单一，学生无法深入体验

教材只提供了三边分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形和以这三边为边长所作的正方形的相关图示，此外没有提供更多的素材。剩余的两组数据（6cm、8cm、10cm和5cm、12cm、13cm）该如何处理，教材没有做任何提示。假设对于剩下两组数据的探索，仍然以观察、计算的结果为依据，那么在这一过程中，教师是仍旧提供图示，还是提供可以操作的学具？这些方法能否激发学生进一步探索的意愿？换一个角度思考，如果其余两组数据三条边长之间关系的探究，是在对3cm、4cm、5cm这三边关系的探究基础之上的迁移，即根据第一组数据中得到的猜想，对后面两组数据进行计算验证，那么整个学习过程就显得过于单调，学生的体验也不够全面、深入。

二、基于历史视角选择学习素材

为了更加科学、合理地设计教学活动，笔者对学习素材、探究活动做了重新选择与设计。

探究活动一：以等腰直角三角形作为导入素材

等腰直角三角形是直角三角形中的一种特例，以其三边为边长，作出的三个正方形面积之间的关系比较简单、直观，适合作为五年级学生第一次接触该问题的素材。教师在网格图上呈现两腰为1的等腰直角三角形，并分别以它的三条边为边长各画一个正方形。请学生通过数格子的方法发现，以直角边为边长画出的正方形面积都是1，以斜边为边长画出的正方形的面积刚好是2，进而提出猜想——以斜边为边长的正方形面积刚好是两个以直角边为边长的正方形面积之和。据说这一特例，是古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的，发现过程非常具有故事性。把这一内容作为学习素材的一部分，能够很好地激发学生的学习兴趣。但是，这种特例有其自身的局限性，当直角边为1时，斜边为[2]。因此，在教学中只能将这一素材用于“导入新课”和“初步感知”，需要避免[2]这个无理数带来的不必要的困扰。

探究活动二：借助“勾三股四弦五”进行进一步探究

可以用“勾三股四弦五”作为素材继续开展研究，其优势在于它的各边长都是整数，有利于学生从定量的角度进一步探究直角三角形的三边关系。这种情况与上述特例相比，难度有所增加。这使探究活动更加富有挑战性，能在综合运用多边形以及组合图形面积的相关知识和技能解决问题的过程中培养空间观念和推理能力。在此基础上，可以用字母表示各边长，结合上述两类特殊的直角三角形三边的关系，进行初步的猜想。

探究活动三：通过“赵爽弦图”尝试进行实验证明

关于勾股定理的证明，古今中外有许多巧妙的方法。其中有些方法，需要借助大量的计算或几何证明，步骤较为复杂。而“赵爽弦图”相对来说更适合小学生进行探究，如果能将“赵爽弦图”制作成可供操作的学具，将会使证明的过程变得简单、直观。因此，这一环节的教学目标定位为：通过操作活动，引导学生尝试将“赵爽弦图”进行等积变形，使得原本的c2变为a2与b2之和。借助这一活动，让学生直观感知、体验勾股定理的证明方法，使证明活动有了实现的可能。

虽然探究或证明勾股定理的方法、途径有很多，但从小学生的学习特点考虑，可选择或设计以上三个活动。其中活动三可以直接取材于相关的数学史料;活动一借鉴了初中教材内容和教学思路;活动二结合了小学生的已有水平和认知特点。这些活动有机整合，循序渐进，形成了一条由特殊到一般、由直观到抽象的学习路径，它既符合学生的学习起点，又能调动学生的学习兴趣，还能使学生的水平在原有基础上得到较大程度的提升。

三、课堂实践与教学分析

（一）借助故事，引导学生初步感知

师：古希腊数学家毕达哥拉斯到朋友家做客。朋友家地砖上的图形引起了他的注意（課件出示带有对角线的网格图），他发现了什么图形？

生：他发现了等腰直角三角形。

生：他发现了正方形，有小一点的，也有大一点的。

生：三角形也有大的和小的。

师：数学家善于把不同的事物联系起来，你能找到和这些三角形有关的正方形吗？

（课件出示三个等腰直角三角形）

生：这三个三角形每一条边上都可以画一个正方形。

（根据学生回答，课件出示相应的图形）

生：我发现这些组合图形虽然大小不一样，但它们的形状很像。

师：那么三角形和正方形之间有什么联系呢？

生：三角形的边就是正方形的边长，正方形的面积是边长乘边长。

师：看看每组图形中的各个正方形，它们的面积之间好像存在某种联系。请你们在练习纸上算一算、写一写。

（生计算，汇报，师出示）

生：我发现两个小正方形的面积加起来就等于大正方形的面积。左上角这个图形中两个小正方形的面积都是1cm2，大正方形的面积是2cm2。

生：我和他的发现是一样的，但我是通过数格子得出的，左上角这个图形中小正方形有4个小三角形，大正方形有8个这样的小三角形，4+4=8。

生：右上角这个图形中，0.5+0.5=1（cm2）。

生：最下面这个图形中，每个小正方形相当于两个1cm2的格子，大正方形相当于4个1cm2的格子，所以加起来相等。

课堂导入部分以故事引入，并以较为简单的图形作为研究素材，主要目的是降低学习起点，吸引全体学生参与，并使学生迅速把目光聚焦在图形之间的关系上，突出强调“关系”。在这一环节中，学生通过活动，还发现了等腰直角三角形直角边上的两个正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。教学过程中，学生对图形以及图形之间的关系较为敏感，为后续开展深入学习奠定了基础。

（二）聚焦关系，引发学生的数学猜想

师：同学们已经发现了这些图形中的秘密，我们换一种直角三角形试试。请看图（），如果这个直角三角形也符合刚才的规律，那么这个大正方形的面积应该是多少？三角形的斜边又是多少？

课件出示直角边分别为3cm、4cm的直角三角形，以及相应的三个正方形。

生：我想大正方形的面积可能是25cm2，因为根据刚才的规律，两个小正方形的面积是9cm2和16cm2，那么大正方形的面积应该是9cm2+16cm2=25（cm2）。

生：我觉得不一定，因为现在这个三角形的形状跟刚才的三角形不一样。

师：如果是25cm2，你有什么好办法可以证明吗？如果不是，也请你证明。可以画一画，算一算。

（生尝试证明，师个别指导，全班汇报）

生（出示自己画的图）：我从这个正方形里面发现了4个一样的三角形，它们的面积都是4×3÷2=6（cm2）。除了这4个三角形，中间还有1个小正方形，是1cm2，合起来刚好是25cm2。

生（出示自己画的图）：我还发现，在外面画一个大正方形，面积是49cm2，再减去角上的4个三角形，每个是6cm2，所以中间剩下25cm2。

师：既然这个正方形的面积是25cm2，那这条斜边是多少？

生：这条斜边是5cm，因为5×5=25（cm2）。

师：是的，我们发现52= 32+42。请看这两组图形，如果用a、b、c三个字母分别表示直角边和斜边，你能得出它们三者之间的关系吗？

生：a2+b2=c2。

对于五年级的学生来说，得出直角三角形的三边关系a2+b2=c2固然重要，但更为重要的是经历整个探究过程。在初步感知三角形三条边上的正方形的面积关系之后，学生借助空间想象，通过画图、计算等方法，用了两种方法证明两条直角边分别为3cm和4cm的直角三角形，斜边上的正方形面积是25cm2，因此发现32+42=52。最后借助字母，通过对两组图形的概括，得出了a2+b2=c2的猜想。在问题解决的过程中，学生进行了丰富的数学思考，充分展现了空间观念与推理能力，并使之得到了进一步的发展。在解决问题的过程中，学生经历了从不断尝试，到有所突破，再到最后豁然开朗的过程，积累了大量的活动经验，也享受了成功的喜悦。这可以说是本堂课最能发挥学生主体性、最有价值的一个活动，也是本堂课的核心环节。

（三）动手操作，验证自己的猜想

师：刚才同学们得出了a2+b2=c2的猜想，这在我国古代数学著作《周髀算经》中就有记载，这就是有名的“勾股定理”。同学们画的图，与三国时期的数学家赵爽以及后来的数学家画的图一样，他们都做过类似的研究用以证明“勾股定理”。

（课件出示“勾股定理”和“赵爽弦图”）

师：“赵爽弦图”很奇妙，它将4个直角三角形和1个小正方形组成了一个大正方形，面积是c2。你能通过平移、旋转等方法将这5个部分重新进行组合，使它们变成两个正方形，面积恰好是a2+b2吗？请四人小组合作，用学具袋中的“赵爽弦图”模型一起来试一试。

（学生小组合作操作、上台展示，教师通过课件进行梳理）

在这一环节中，教师试图帮助学生通过操作实验对勾股定理进行一般化的证明。在诸多方法中，利用“赵爽弦图”进行证明更适合五年级学生。因为证明过程中只需将其中各个部分通过旋转、平移等方法进行重组，再利用各条边之间的关系，就能得出重组前后图形之间的面积关系。操作过程蕴含着学生对图形特点以及相互之间关系的思考，是学生数学素养的综合体现。最后的展示过程则让学生通过图形，感受到不同的直角三角形，其三边都符合勾股定理，学生也由此进一步体会到研究勾股定理以及其他数学问题时一般要经历观察、猜想、证明的过程，研究过程中所选取的素材需要遵循从特殊到一般的规律。

四、教学反思

通过上述教学设计与实践，笔者有了以下体会。

（一）恰当的素材有助于学生思考与解决问题

“勾股定理”的教学，如果按照教材提供的素材，很可能难以发挥它应有的教学价值。但是，如果素材选用恰当，活动组织合理，则能在很大程度上激发学生的数学思考。本堂课中，学生在三种不同的学习素材的帮助下，通过观察、画图、计算、操作等方法，不断地思考，逐步发现了直角三角形三条边中包含的数量关系，也体会到了问题解决的一般过程。

（二）挑战性问题更能发展学生的综合能力

对于五年级的学生来说，“勾股定理”的发现与证明，无疑具有相当大的挑战性。但适当的挑战，能激发学生的学习动力，促使学生全面思考，在综合运用各种已经掌握的知识和技能的过程中，发展自身的能力。课堂活动充分体现了学生对面积、组合图形的面积、图形的运动等知识和技能的理解与掌握情况，以及在全新的问题面前，激活并运用这些知识与技能的能力。这种运用已有知识，解决新的问题的能力，也正是我们数学教学所追求的重要目标。

参考文献：

[1]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.

[2]吴增生，郑燕红，李宏彦，等.勾股定理教学实验研究：让学生真正经历勾股定理的“再发现”过程[J].数学教育学报，2017，26（1）.

（1.浙江省杭州市蕭山区夹灶小学   311247

2.杭州师范大学经亨颐教师教育学院   311121）