关于线性变换教学的注记

虞志坚

（台州学院 电子与信息工程学院，浙江 临海 317000）

0 引言

线性变换是高等代数里非常重要的一个概念[1-11]。在线性空间里取定一组基后，线性变换在这组基下和一个矩阵是一一对应的，这是高等代数里很重要的一个结果。但是，对于基础比较薄弱的学生，他们往往只记住了这个结果，至于线性变换和矩阵到底是如何一一对应的却不是很清楚。教学中经常有学生会问：“线性变换和矩阵一一对应是否意味着向量经过线性变换后等于的对应的矩阵和向量相乘？”这些学生注意到了n阶方阵可以与线性空间Pn（这里P是一个数域）中的一个向量直接相乘，而且有时候上述情形是成立的。所以他们才会问到：“通常情况下线性变换作用于这个向量是否就等于对应的矩阵与这个向量视为矩阵时的乘积？”但是，有些时候上述情形又是不成立的。以微分变换为例，一个多项式经微分变换变成了次数降低一次的另一个多项式，可一个矩阵怎么能和一个多项式相乘？此外，对于Pn上的一个向量经线性变换后，如果不等于对应的矩阵与原向量的乘积，那么究竟等于什么？在什么情况下线性变换作用于向量等于对应的矩阵与原向量相乘？下面我们将举例详细地进行阐述，文中的素材取自本校高等代数课程所使用的教材，即文献[12]。

如果没有特别说明，下文中线性空间Pn中的向量都是指列向量，(x1,x2,…,xn)T示Pn中行向量(x1,x2,…,xn)经转置后得到的列向量。此外，若一个向量经线性变换成为另一个向量，我们将变换前的向量称为原像，变换后得到的向量称为像。

1 线性变换作用于向量不等于对应的矩阵与该向量的乘积

2 像的坐标作成的向量等于相应的矩阵乘以原像的坐标作成的向量

3 什么情形下线性变换作用在向量上等于对应的矩阵与该向量的乘积

经常有学生想当然地认为，既然线性变换与矩阵是一一对应的，那么线性变换作用在向量上就等于线性变换在一组基下的矩阵与该向量的乘积。我们也很希望这个结论是成立的。不过，从上文我们看到哪怕矩阵与向量可以作乘法运算，在一般情况下这个结论也是不成立的。但是换个角度，如果这样的结论成立，它就是个很有用的结果。所以，很自然地我们要问：上述结论是在任何条件下都不成立？还是有可能成立的？如果有可能成立，那么到底在什么条件下上述的结论成立？下面我们将回答这个问题。

上述结论显然是成立的，但我们有必要就此进行说明。首先，结论只对形如A：Pn→Pm的线性映射成立。因为在这种情形下，A对应的矩阵A是一个m×n矩阵，只有这样，A才能与Pn中的向量作矩阵的乘法运算。其次，当取Pn的基为e1,e2,…,en时，向量(x1,x2,…,xn)T在这组基下的坐标为x1,x2,…,xn，此组坐标构成的向量恰好就是(x1,x2,…,xn)T。正如上文所述：通过坐标，线性空间V与Pn是同构的。在这里，V与Pn不仅仅是同构，两者完全是相同的。虽然这是一种特殊情形——线性空间和自身当然是同构的，但是这个结论同时又是一个非常实用的结果。因为只要写出线性变换在基下的矩阵，求向量的像只要用矩阵去乘以向量就行了，计算非常方便。另外，尽管此结论适用于形如A：Pn→Pm的线性映射，但我们实际生活的空间是三维欧氏空间P3，所以这个结果是很有用的。

4 结语

通过上文我们看到，线性变换将原像变为像。在基确定的情形下，线性变换对应着一个矩阵，而与此矩阵相关联的，则是原像与像在这组基下的坐标，矩阵乘以原像的坐标作成的向量，等于像的坐标作成的向量。向量与它在一组基下的坐标（作成的向量）是两个完全不同的概念，它们属于不同的线性空间。所以，一般情况下它们是不相等的。但是，向量所在的线性空间与坐标作成的线性空间是同构的。当基选定后，所有线性变换构成的线性空间与对应的矩阵构成的线性空间也是同构的，线性变换与矩阵的一一对应关系更确切地说是它们所在的线性空间之间同构关系的体现。特别地，当向量所在的线性空间为Pn，取构成单位矩阵的列向量为一组基时，向量与它在这组基下的坐标作成的向量是相同的。此时向量所在的线性空间与坐标作成的线性空间就是同一个空间。在这种极为特殊的情况下，线性变换作用于向量的效果跟它在基下的矩阵乘以向量本身（实际上是它在标准基下的坐标作成的向量，只不过此时它们是相同的）是一样的。尽管从理论上来说此结果只是一个特例，但它具有很强的应用性。