基于能量耦合的船舶起重机消摆控制

张 珂，张海峰，佟圣皓，石怀涛，张义星

(沈阳建筑大学机械工程学院，沈阳 110168)

船舶起重机是在海上环境中执行运输作业的一种特殊起重机，主要用于舰船间货物的运输转移、海上补给、水下作业设备的投放与回收等重要任务。实际工作过程中在海浪横摇与船低沉降的影响下，船舶起重机系统的控制目标是准确高效地定位有效载荷并减小负载摆动。然而，在恶劣海况下船舶起重机在运转过程中由于惯性和外界干扰会产生较大的有效载荷摆动，可能会对周围的人或货物造成严重的影响。因此，从理论价值和实际应用两方面来看，研究船舶起重机的有效控制方法具有重要意义。

通过对传统(陆地固定式)起重机[1-5]研究，发现传统起重机的支撑底座是固定的，它们是在惯性(地球)坐标系内工作的，通过在惯性坐标系内对其动力学建模，并在此基础上应用运动轨迹规划、部分反馈线性化、能量(无源)法、智能控制等方法设计起重机欠驱动防摆控制器，从而使负载精确吊运并且能够有效抑制负载摆动。而船舶起重机底座是装在船上的，其运动受海浪和海流干扰，因此在非惯性坐标系中工作。除了船舶起重机具有复杂的动力学特性外，由船舶运动引起的海浪和洋流可能包含接近起重机系统固有频率的能量，这很容易引起货物摆动，甚至导致意外的共振效应[6]。由此可见，采用现有的针对陆地式起重机的控制方法来解决船舶起重机系统的控制问题是有一定局限的。此外，如前所述，船载起重机通常在恶劣的海况下工作，其中存在各种匹配和不匹配干扰(例如海浪)，这也给它们的控制问题增加了更多的困难。

到目前为止，船舶起重机对低摆动的有效载荷精确定位控制仍然是一个相当具有挑战的问题。为此，很多专家学者尝试了许多方法来改进这种系统的控制方法。例如，Lu等[7]提出了两种考虑船舶横摇干扰的船舶起重机防摇非线性控制器，这两种控制器包括一个全状态反馈控制器和一个输出反馈控制器。此外，在处理一些未知的海浪扰动时，Qian等[8]设计了一种非线性自适应控制，该控制器对持续扰动和未知参数具有良好的鲁棒性。对于灵活的海上设施，通过分析船舶动力学，He等[9]提出了一种鲁棒的自适应边界控制来实现精准定位操作。通过构造能量存储函数，Sun等[10]为船舶起重机提供了完整的基于李雅普诺夫的非线性防摆控制方法。此外，对于一些有效载荷悬挂在船舶起重船的系统，Hannan等[11]研究了非线性动态响应，同时提出了一种模糊滑模控制方法[12]。然而，通过查阅和学习上述船舶起重机控制方法，发现有些问题仍未解决。

(1)大部分船舶起重机的控制器设计和稳定性分析是基于简化后的动力学模型进行的。而由于复杂的工作场景，这可能会使系统的状态变量因为外部干扰而未达到平衡点，从而降低了所用控制方法的控制性能，甚至导致系统不稳定。

(2)大多数船舶起重机在建模过程中，只考虑了海浪或海风对其造成的横摇摆角，而未考虑船底的垂直升沉位移，而且在建模过程中通常将整个动力学模型分解为起重机相关部分和扰动相关部分，这使得对整个系统分析变得十分麻烦，并给控制器设计和稳定性分析带来很多困难。

(3)现有的控制方法几乎都对外部扰动敏感，这对于船舶起重机系统来说缺乏鲁棒性。

针对以上问题，现提出一种基于能量分析的海上船舶起重机非线性耦合控制，并证明系统在平衡点的渐近稳定性，同时对各种运输任务实现控制性能。具体来说，通过引入增强系统状态和干扰之间耦合的复合型误差信号，将海上船舶起重机系统动力学模型转换。在此基础上，通过能量反映和描述动态系统的状态选择合适的李雅普诺夫候选函数，设计基于能量的控制器，并应用李雅普诺夫(Lyapunov)稳定性定理和拉萨尔(Lasalle)不变性原理证明了闭环系统平衡点的收敛性。最后，为了说明所提出控制方法的可行性进行了仿真模拟实验，以证明有效性以及对外部干扰的鲁棒性。

1 动力学建模及模型转换

1.1 动力学模型及控制目标

船舶起重机在实际运输过程中，控制问题可以描述为在海风和海浪的外部干扰下，载荷的精确定位以及有效防摆。具体来说，船舶起重机可分为陆地固定坐标系和船舶固定坐标系两个坐标系，如图1所示。

从图1中可以看出，在惯性坐标系中，轴线分别垂直于陆地与平行于地面；而在非惯性坐标系中，即船舶坐标系，轴线分别垂直于船舷并与甲板平行。考虑到船舶运动时受到的干扰，二维海上船舶起重机的动力学可以用公式表示为

图1 船舶起重机示意图

Fx-frx+mtgSα+mpgSα-fLx

(1)

(2)

此外，作用在各子系统上的扰动惯性力fLx、fθ表达形式为

(3)

(4)

式中参数具体意义如表1所示。

表1 系统参数物理意义

主要控制目标是以较小的负载摆动实现精确定位，首先在设计控制器之前，可通过几何关系将负载目标位置xd描述为

xd=Lxd+lSθd

(5)

式(5)中：Lxd和θd分别表示小车和摆角的目标位置，在实际情况中负载的最终摆角θd=α(t)，因此系统的控制目标可转化为

Lxd=xd-lSα

(6)

θd=α(t)

(7)

由此，系统的小车位移误差信号e1和负载摆角误差信号e2可以定义为

(8)

通过以上分析，海上船舶起重机的基本控制任务可以概括如下。

(1)将有效载荷从初始位置调节到目标位置，即陆地坐标系中xd对应于系统状态的目标值[Lxd,θd]T。

(2)抑制陆地坐标系中有效载荷的摆动(即货物到达后的摆动)。

(3)在有限时间内消除外部海风和海浪扰动引起的影响。

更为具体地说，为了将船舶起重机系统稳定在期望的平衡点，主要的控制目标可表示为

(9)

1.2 动力学模型转换

将式(3)和式(4)分别代入原始动力学模型[式(1)和式(2)]中，经过数学运算可得

(10)

(11)

基于式(10)、式(11)，为了增强系统的耦合以便随后的控制器设计，定义小车位移和负载摆角的耦合型误差信号为

(12)

式(12)中：λα、λβ∈R+表示正的常数增益；φ(ϖ)是关于船舶摇晃角α(t)和船舶垂直升沉位移z(t)的待定函数；φ(e2)关于负载摆动误差的待定函数。

将定义的误差信号[式(12)]对时间求导可以得到

(13)

将定义的误差信号[式(12)]对时间积分可以得到

(14)

将[式(12)～式(14)]代入到式(10)、式(11)中，动力学模型可改写为

Fx-frx+mpgSα+mpgSα-

(15)

(16)

为了方便分析，基于式(15)和式(16)可将船舶起重机耦合模型写成矩阵形式，即

(17)

式(17)中：系统的耦合误差向量为

ξ(t)=[ξ1(t)ξ2(t)]T∈R2；

系统惯性矩阵M∈R2×2和向心柯式力矩阵V∈R2×2分别为

F∈R2表示系统控制输入，

式中：Fx为系统小车驱动力；摩擦力矢量fr∈R2可描述为

此外，船舶起重机的重力矩阵G∈R2以及作用于各子系统的扰动惯性力F*∈R2分别为

转换后模型与其他欧拉-拉格朗日系统类似，也适用于以下属性和假设。

性质1系统惯性矩阵M(ξ)为正定矩阵。

假设1负载的摆角(与竖直方向的夹角)始终保持在±π/2之间，即

(18)

也就是通过提出一个适当的控制器使系统从任意初始状态，在附加扰动fLx、fθ存在的情况下，有效地消除有效载荷摆角以及使小车精准定位。

2 控制器设计及稳定性分析

2.1 控制器设计

船舶起重机系统的机械能Em可表示为

(19)

基于机械能函数形式[式(19)]，构造类能量标量函数(最终Lyapunov函数的一部分)为

(20)

将构造的类能量标量函数[式(20)]对时间求导后有

(21)

将式(17)代入式(21)中可得到

(22)

基于式(22)，设计基于能量控制器为

(23)

式(23)中：kξ、kp∈R+表示正的常数增益。

结合式(22)，为了减小闭环系统能量，可以定义等式

(24)

由式(24)可推出构建耦合误差式(12)中未确定的函数,即

(25)

将式(24)、式(25)代入到式(23)中，可得到最终控制器为

(26)

2.2 稳定性分析

证明为证明该定理，设定基于类能量函数[式(20)]的正定Lyapunov函数[式(27)]为

(27)

求式(27)的导数，并将控制器[式(26)]以及式(22)、式(24)代入，得到

(28)

整理后可得到

(29)

根据[式(29)]，容易得到在Lyapunov定义下，在平衡点周围闭环系统状态是稳定的，即

ξ1(t),ξ2(t)∈L∞；

进一步通过式(12)，可以得到

同样，通过式(26)、式(27)可以得到

为了便于闭环系统的进一步分析定义如下集合S，并定义Λ为S中最大不变集。

(30)

从式(28)、式(30)中可以推导得

将得到的等式关系代入到式(17)中，并在集合Λ中利用式(8)和式(13)、式(14)可得到

gSθ-α=0。

经整理后可得

e2=θ-α=0，

至此，不难证出最大不变集Λ中只包含闭环系统的平衡点，即

最后应用LaSalle不变性原理，定理1中的结论可被证得，即

综上所述，证明了所设计的控制器既能保证小车定位误差渐进收敛于零，又能使负载摆角得以抑制与消除。

3 仿真实验

应用MATLAB/Simulink环境下进行仿真实验，通过仿真结果来验证所设计的船舶起重机控制器的可行性。

如前所述，控制目标是在有外部干扰的情况下将船舶起重机的有效载荷精准定位，应用MATLAB/Simulink环境中建立式(17)中描述的动力学模型，船舶起重机系统的具体参数如表2所示。

表2 船舶起重机初始参数

3.1 控制性能

为了测试所提出的控制器[式(26)]对于在海浪和海风等外部干扰下船舶起重机系统的控制性能，进行如下仿真实验，小车的目标位置为xd=0.15 m，船舶运动扰动设置为

α(t)=0.5sin(10t)，

z(t)=0.25sint+π/6。

为了获得适当的性能，通过大量的数值模拟，该组仿真实验中的控制增益为kp=13,kξ=5，kα=8,kβ=9。

具体仿真结果如图2所示。

图2 控制性能仿真结果

从仿真结果中可以看出，所提出的控制器在有海浪和海风等的外部干扰下获得了令人满意的性能，小车的启动和运行过程较为平稳，位移误差大约在10 s内收敛于零且到达准确位置。负载摆动曲线光滑，很好地抑制负载的摆动范围，摆角误差总在3°以内且总是围绕原点有界，而在整个运输过程中也在10 s左右收敛于零，消摆效果明显无反复摆动现象，极大地提高了船舶起重机运行过程中的安全性。由此可以看出本文设计控制器对负载的摆动抑制效果良好，提高了负载的运输效率。

3.2 对比分析

为了进一步验证所提出的控制方法的优越性，在这组仿真实验中与线性二次调节器(LQR控制器)进行对比实验。

传统的LQR控制器形式为

在进行实验时，利用MATLAB求解LQR控制器的适当控制增益，具体表示为

k1=50,k2=36，k3=-24,k4=3。

在这组仿真实验中，系统状态初始值及船舶运动扰动不变，小车的目标位置设置为xd=1 m。仿真结果如图3所示。

图3 对比实验仿真结果

从对比仿真结果可以明显看出，在持续海浪和海风的干扰下，设计的控制器能够更好地驱动小车快速到达指定位置且过程平稳，小车位移误差在10 s内收敛到0，而LQR控制器则需要较长时间使小车位置误差收敛且小车运动不平滑。在抑制有效载荷摆动方面，本文方法最大摆幅为3°左右且无残余摆角，而LQR方法最大摆幅为5°左右，且有明显的残余摆角。此外，该控制器能保证系统状态的渐近收敛性，比LQR控制器具有更好的性能。

3.3 鲁棒性测试

3.3.1 目标位置变化测试

为验证所提出的控制器[式(26)]在负载的目标位置发生变化时的鲁棒性，进行了如下仿真，将小车的目标位移由原来的xd=0.15 m改为xd=1 m，系统其他参数不变，仿真结果如图4所示。

图4 目标位置变化仿真结果

从仿真结果中可以看出本文所提出的控制器在小车目标位置发生改变时获得了令人满意的性能，小车位置误差在大约10 s内收敛于零，而摆角误差总是围绕原点有界，且在整个运输过程中也在10 s左右收敛于零。由此可见本文所提出的控制器具有优良的适应性能和鲁棒性。

3.3.2 外界扰动测试

当船舶起重机运输负载时，外部干扰如风载荷、人为碰撞及测量信号的不准确等是不可避免的。为测试对外界干扰的鲁棒性，做如下仿真实验，船舶起重机系统达到稳定状态后，在20～23 s加入1°左右的正弦波模拟外界连续扰动用以模拟风载荷、人为碰撞以及测量信号的不准确的影响，系统其他参数不变，仿真结果如图5所示。

图5 外加扰动仿真结果

从仿真结果可以看出，在负载位置到达稳定状态后，20 s时开始加入不规律连续外界扰动因素，在所提控制器控制驱动力Fx的作用下，负载摆角幅度不超过1.5°，在扰动结束后10 s左右系统仍可恢复至稳定状态，且最终残余摆角收敛至0°，目标位置的变化几乎为0。这说明本文设计的控制器在具有噪声或风载等外界干扰加入时鲁棒性好的优点。

综上所述，本文控制方法具有良好的控制性能、适应性和鲁棒性。对于运输过程中摆角抑制、系统定位和效率提高具有良好的效果。

4 结论

提出了一种基于能量耦合的船舶起重机控制器设计方法。该控制器成功地解决了船舶起重机系统的欠驱动特性和不匹配外部干扰等问题并得到以下结论。

(1)所提控制策略与传统应用广泛的控制器相比：传输效率提高了至少30%；负载的摆动角度为1°～4°，并可以有效抑制和消除残余摆角。

(2)在外界能量输入方面，与传统控制方法相比系统所需能量更少，不会对系统造成巨大冲击。

(3)通过仿真实验结果证明了控制策略具有良好鲁棒性，当系统负载的目标位置发生变化以及综合性的外界扰动因素影响时，也能达到预期的控制性能。