串联和并联系统中异质元件的分配策略
2021-08-03 00:51凌晓亮张亚周魏印朝
安徽大学学报（自然科学版） 2021年4期
凌晓亮，张亚周，魏印朝
(河北科技大学 理学院，河北 石家庄 050018)
可靠性是衡量系统性能好坏的一个重要指标，元件在系统中的位置分配对系统的可靠性有直接影响.Sharma等通过对子系统做冗余分配的方式来提高系统的可靠性.El-Neweihi等利用超优序和Schur-凸函数来研究串并联系统和并串联系统的元件最优分配问题.Li等、Zhuang等研究了如何将独立同分布的冗余元件分配到一个n
中取k
系统中来提高系统的可靠性，得到最优分配策略是将更多的冗余元件分配给更弱的元件.Belzunce等考虑在元件相依的情况下，把一个元件分配给特定位置来研究串联和并联系统的可靠性问题.在现实中，总体往往是由几个子总体混合构成的.例如，由于生产过程中的许多不确定因素 (人为因素、生产环境的不确定性等)，厂家生产出来的不同批次的产品总体构成了一个混合总体.考虑从多个子总体构成的混合总体中分组抽取元件组成串联(并联)系统，其中每组元件以一定的概率从其中一个子总体中抽取.Hazra 等得到了分组向量在超优序的条件下系统可靠性的比较结果，以及子总体的选择概率向量在超优序的条件下系统可靠性的比较结果.Cha研究了冲击环境下串联(并联)系统中元件最优分配策略.对于类似问题的研究,考虑从两个不同的批次中随机抽取元件，利用随机序研究两个批次中元件的抽取个数对系统可靠性的影响，见文献[8-10].
论文在文献[6]的基础上，研究从混合总体中分组抽取元件构成串联(并联)系统，减弱了文献[6]中定理3的条件，给出了分组向量在弱超优序的条件下系统可靠性的比较结果.同时，也进一步研究了选择概率向量变化对系统失效率和反向失效率的影响.
1 定义与引理
t
≥0,有G
(t
)/F
(t
)关于t
递增，则称X
依反向失效率序小于Y
,记作X
≤Y.
上述几个随机序关系如下
X
≤(≤)Y
⟹X
≤Y.
定义2
设x
=(x
,x
,…,x
)和y
=(y
,y
,…,y
)是两个n
维向量.记x
≥x
≥…≥x
()和y
≥y
≥…≥y
()分别为x
和y
的递减排列.
j
=1,2,…,n
-1,都有
x
依超优序小于向量y
,记作x
≤y.
引理1
设函数φ
在D
上是连续可微的，其中D
={x
:x
≥…≥x
}.
对D
上任意的x
,y
,x
≤y
⟹φ
(x
)≤φ
(y
)当且仅当0≥φ
(z
)≥φ
(z
)≥…≥φ
()(z
)对D
内所有的z
都成立，这里φ
(z
)为φ
关于第i
个分量的偏导函数.引理 2
(1)X
≤Y
充要条件是E
[α
(X
)]E
[β
(Y
)]≥E
[α
(Y
)]E
[β
(X
)]成立，其中β
为非负函数，且α/β
和β
均为单调递减函数.(2)X
≤Y
充要条件是E
[α
(X
)]E
[β
(Y
)]≤E
[α
(Y
)]E
[β
(X
)]成立，其中β
为非负函数，且α/β
和β
均为单调递增函数.2 主要结果
2.1 串联系统
论文的串联系统结构如图1所示.
图1 串联系统
由文献[6]可得串联系统随机寿命S
(,)的可靠度函数为
(1)
p
∈[0,1],且p
+p
+…+p
=1.
由文献[6]中的引理4得出：若x
≥x
′且X
,X
,…,X
之间满足通常随机序关系，则U
(x
;t
)≥U
(x
′;t
).
由x
≥x
′蕴含着x
≥x
′,下述引理减弱了文献[6]中引理4的条件.引理3
对任意的x
∈B
和x
′∈B
,x
≥x
′⟹U
(x
;t
)≥U
(x
′;t
).
证明
因为向量x
中元素的排序并不影响U
(x
;t
),因此，不失一般性，可以假设x
≥x
≥…≥x
.
对U
(x
;t
)关于x
求偏导,a
=1,2,…,d
,可得
(2)
a
<b
≤d
,有
因此，可得
利用引理1，可得
x
≥x
′⟹U
(x
;t
)≥U
(x
′;t
).
定理1
对于两个分组向量l
和l
′,若l
≥l
′,则S
(,)≥S
(′,).
令P
和Q
为两个离散型随机变量，所有可能取值均为1,2,…,m.
p
=(p
,p
,…,p
)表示一个选择概率向量，其中p
=P
{P
=i
}表示选择第i
个子总体的概率，i
=1,2,…,m.
q
=(q
,q
,…,q
)表示另一个选择概率向量，其中q
=P
{Q
=i
}表示选择第i
个子总体的概率，i
=1,2,…,m.
下述定理研究了子总体的选择概率不同对串联系统可靠性的影响，表明以更大的概率选择可靠性高的元件组成的子总体，系统的可靠性会增加.定理2
(i)若P
≤Q
且X
≥X
≥…≥X
,则S
(,)≥S
(,).
(ii)若P
≤Q
且X
≤X
≤…≤X
,则S
(,)≤S
(,).
证明
对于固定j
=1,2,…,k
,有
(3)
(4)
β
(1)≥β
(2)≥…≥β
(m
),(5)
即β
(i
)关于i
∈{1,2,…,m
}递减.由引理2(1)及P
≤Q
，可推出
(6)
即
t
递增，故
t
是递增的，即S
(,)≥S
(,).
(7)
β
(1)≤β
(2)≤…≤β
(m
),(8)
即β
(i
)关于i
∈{1,2,…,m
}递增.由引理2(2)及P
≤Q
，可推出
(9)
即
t
递增，故
t
递增，即S
(,)≤S
(,).
2.2 并联系统
论文的并联系统结构如图2所示.
图2 并联系统
由文献[6]可得并联系统随机寿命H
(,)的可靠度函数为
(10)
文献[6]中的定理9证明了，若l
≥l
′且X
,X
,…,X
之间满足通常随机序关系，则H
(,)≤H
(′，).
由l
≥l
′蕴含着l
≥l
′,下述结论减弱了文献[6]中定理9的条件，类似定理1的证明，可以给出系统并联情况下的元件分配策略的比较结果.定理3
对于两个分组向量l
和l
′,若l
≥l
′,则H
(,)≤H
(′，).
下述定理研究了子总体的选择概率不同对并联系统可靠性的影响，表明以更大的概率选择可靠性高的元件组成的子总体，系统的可靠性会增加.
定理4
(i)若P
≤Q
且X
≥X
≥…≥X
,则H
(,)≥H
(,).
(ii)若P
≤Q
且X
≤X
≤…≤X
,则H
(,)≤H
(,).
证明
对于固定j
=1,2,…,k
,有
(11)
(i)令α
(i
)=(F
(t
))和β
(i
)=(F
(t
)),t
≥t
.
由X
≥X
≥…≥X
,可得
(12)
β
(1)≤β
(2)≤…≤β
(m
),(13)
即β
(i
)关于i
∈{1,2,…,m
}递增.由引理2(2)及P
≤Q
，可推出
(14)
即
t
递减，故
t
递减，即H
(,)≥H
(,).
(ii)令α
(i
)=(F
(t
))和β
(i
)=(F
(t
)),t
≥t
.
由X
≤X
≤…≤X
,可得
(15)
β
(1)≥β
(2)≥…≥β
(m
),(16)
即β
(i
)关于i
∈{1,2,…,m
}递减.由引理2(1)及P
≤Q
，可推出
(17)
即
t
递减，故
t
递减，即H
(,)≤H
(,).
