新旧教材（人教版） “三角函数概念”比较分析

李春晓

摘 要：在新课标的指导下，高中数学教材改革迫在眉睫，教材的编写或修订更好地满足了学生学习和教师教学的需要，本文以人教A版新旧两版教科书的三角函数概念为研究对象，将两版教材三角函数概念内容从教学实践的角度进行对比分析。

关键词：新旧数学教科书;三角函数概念;比较

一、两版教材整体对比

旧教材是遵循《义务教育课程标准数学实验新教材（人教版）》提出的对学生的培养要求而编写的，经过十几年的一线教师教学实践，《普通高中课程标准（2017年版）》根据教学过程中所显现的问题做出修正，突出强调以培养学生数学学科的核心素养为导向，进一步明确了普通高中数学教育的定位，优化了课程结构，强化了课程有效实施的制度建设。提出落实“四基”“四能”，培养学生的“数学学科核心素养”。新教材在课程的逻辑结构上作出了较大的调整，突出体现课堂以学生为主体、教师为主导的教学理念。

“任意角的三角函数”是旧教材中必修4第一章第二节的内容，这一节的知识编排跳跃较大，教师对其内容处理起来存在一定的困难，并且三角函数作为一类函数，旧教材并没有突出体现它这一本质属性，所以学生对这一部分内容理解起来比较费力。在实际的教学过程中，教师也主要将这部分知识重点放在了解题上，这样的教学并不能够达到最初的教学目标。新教材对三角函数概念知识点的内容编排作了全新处理，是以单位圆为研究背景，从函数概念的本质出发认识三角函数， 巧妙地运用从特殊到一般的数学思想，得出任意角三角函数的定义，这样的教学安排有助于学生从知识的本质出发进行学习，真正达到对学生得数学学科核心素养进行培养的目标。

二、新旧教材三角函数概念教学横向对比

（一）课堂导入

旧教材在对本节内容进行导入时提出一个思考题，目的是带领学生回顾初中所学习的锐角三角函数的知识，给出“锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数”的结论，紧接着引导学生发现锐角三角函数与直角坐标系中角的终边两者之间的关联，这一部分导入的教学设计对教师来说也存在困难。在初中阶段，锐角三角函数是作为解直角三角形的有利工具来学习的，并没有从函数角度深入地研究锐角三角函数，然而在旧教材的开端直接“告知”学生锐角三角函数是以锐角为自变量、以比值为函数值的“函数”，这对当前阶段刚刚学习完以对应关系和集合的语言定义函数的学生来说是比较难以理解的，而且还容易造成学生对函数定义的不理解。高中阶段学习任意角的三角函数，本质上已与解三角形没有关系了，高中更加强调任意角的三角函数是一类具有周期性的、特殊的基本初等函数，这就说明要从函数定义角度去学习本节内容。因此，旧教材利用学生初中阶段所学习的锐角三角函数的概念作为本节知识的导入，进而学习高中阶段任意角的三角函数概念，知识跳跃性较大，学生不易理解。

新教材中的导入部分是在回顾上节课弧度制这一知识点的基础上提出本节课任务的，是借助单位圆建立一个数学模型，来刻画任意角的终边与单位圆交点P的位置变化情况。此时教师采用问题引领的方式，向学生提出问题：单位圆上点P的位置与哪些几何量有关？引导学生发现可以通过建立直角坐标系这一有效工具，而且也表达出了角α的任意性（α不是一定为锐角的），引入弧度制是因为三角函数是两个非空实数集的对应关系，这为接下来给出三角函数的定义具有奠定作用。

教师活动：通过生活中周而复始的变化现象来引入数学中同样的变化规律，明确本节课的研究任务是刻画生活中呈周期变化规律的数学模型——三角函数。与旧教材相比引入单位圆的作用：简单，易理解，强调角的任意性。

（二）新课讲授

旧教材首先给出以直角坐标系为背景的锐角三角函数的定义，可得，，。

接着给出以单位圆为背景的锐角三角函数的定义。由和相似三角形的知识，得，，。 接着教材直接以“告知”的方式提出可以利用单位圆来定义任意角的三角函数。并没有详细地强调点P（a，b）的坐标a，b由锐角α唯一确定，教材这样的处理方法并没有将“三角函数为什么是一类函数”解释清楚，这对接下来三角函数定义的给出制造了一定的障碍。

三角函数定义：设任意角α的终边与单位圆的交点为P（x， y），直接命名y、x、为任意角α的正弦、余弦和正切，并分别记作：，，（其中）。这时候教材才着重強调，对于确定的角α（其中），上述三个值都是唯一确定的，并将它们统称为三角函数。这在概念形成的关键环节出现知识与方法上的跳跃，对学生来说是难以理解的，对教师来说在实际的教学实施中也存在困难。

在新教材的三角函数概念得出环节，教材“根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题”，将学生的思维与函数知识间建立联系，为了更好地引导学生想出角的终边与单位圆的交点以及交点的坐标都是唯一确定的，首先通过对α取一些学生所熟悉的特殊角来表示出角的终边与单位圆交点坐标，突出在角α发生变化时，角的终边与单位圆的交点以及交点的坐标都是唯一确定的，而它们之间这样的一一对应关系符合之前所学习的函数的定义，进而顺其自然地给出三角函数的定义。从本质上讲，函数的表达与字母的选用无关。 表达式中是以α为自变量，按照函数的表示习惯通常用x表示自变量，故三角函数的表达式为：

新教材采用从特殊到一般研究概念的方法，教师带领学生经历概念抽象的过程，在此过程中，学生亲身参与知识的“再创造”过程，只有这样学生才能够对所学知识有更为透彻的理解。新教材解决了旧教材在三角函数符号表达上以及突出函数本质等方面的不足，为后续进一步学习三角函数的图象及性质做好铺垫。

（三）巩固新知

为了使学生进一步理解定义的内涵，并检验学生对定义的理解，新旧教材采用了同样的例题一，例题一在巩固新知的同时还体现了数形结合的重要数学思想方法，数形结合思想是解决函数问题的有利工具，教师在讲解函数相关知识时要突出数形结合思想在数学中的重要作用。然而新旧教材在例题二的编写上存在较大的不同，旧教材的例题二是已知角的终边与单位圆交点坐标来求角的三角函数值，新教材的例二是对最后一个探究题的证明，通过“坐标比定义”使学生更加深刻地体会到α的三角函数值与P点在终边上的位置无关，只与α大小有关，α为自变量。

新教材的编写，是对旧教材在教学实践中发现的相关问题进行针对性地改进，这不仅为一线教师们高效开展教学活动提供了保障，也为专业教师深入研究教材教学教法提供许多优质的素材。启迪教师们在教学中应秉持以学生为主体，教师为主导的教学理念，在教学实践中应不断思考和学习，不断提升自身的专业水平。每位教师都应秉持着“用教材教，而不是教教材”的教学理念，依据学生的学情创造性地使用教材，更加有效地提高教学效率。

参考文献

[1]吴建洪.返璞归真：谈新旧教材中的“三角函数”概念教学[J].中学教研（数学），2020（08）：6-8.

[2]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书必修 4（A 版）[M].北京：人 民教育出版社，2007.

[3]章建跃.普通高中教科书数学必修第一册（A 版）[M].北京：人民教 育出版社，2019。