问题引领：让数学探究走向深入

摘要：数学课堂中的问题引领有助于帮助学生搭建思维的阶梯，激发学生学习的内生力，主动寻找解决问题的路径与方法。以核心问题为主线，开放学习空间，鼓励学生自主探索、合作交流，重视学生的内化体验与分析思辨，能够促进学生理解知识，建构意义，发展思维，提升学力。

关键词：问题引领;数学探究;深度学习

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2021）02B-0096-05

数学课堂要关注学生的学习过程，创设开放的学习时空，通过核心问题的引领，鼓励学生主动探究，重视学生的研究体验，引导学生内化知识，实现思维进阶，促进学力生长。本文以“圆的面积”的教学为例，浅谈基于问题引领的数学探究的实践与思考。

一、提炼核心问题，关注学生体验

数学课堂的核心问题是指一节课中主要的、具有思维价值的问题或问题群。这些核心问题是基于一节课学习的重要内容进行提炼的，需要学生在课堂上深入探索、重点解决的问题。核心问题也是一堂课的“主线”，应能关注学生的体验，引发学生深度思考，促进学生对知识的理解与意义的建构，从而实现学习的进阶。

笔者曾经多次上过“圆的面积”教学的研究课。为了展示圆面积推导的动态过程，笔者自制教具，尝试运用FLASH、PPT、几何画板，在课件制作和教具演示上投入了很多精力。学生在初步探索的基础上，结合观看课件动画和教具演示来学习。虽然视觉感知上更加直观，但是学生自主探究的内在体验不够丰富，研究出的推导方法也比较单一。近些年，随着研究的深入，笔者越来越关注学生内在的感悟与思考。于是这节课的教学设计与以往有了很大的不同，备课时的主导思想是提炼核心问题，重视学生体验，让课堂从学生的学习出发，促进学生的深度探究。

本节课以核心问题为主线，抓住“准备怎样来研究圆面积的计算方法”“如何把圆转化成我们学过的图形”“圆面积的计算方法怎么推导”“如何解决生活中的实际问题”这样几个核心问题展开学习。整节课“轻”课件、“轻”教具、“重”学具、“重”体验。课前笔者给每个小组的学生准备了一套磁性的学具：一张圆形的磁片，把三张圆形磁片分别等分成4个、8个、16个的小扇形，每人一块磁性黑板。教学课件只有3张PPT，主要呈现两个内容：探究方法与解决问题。课堂上创设了开放的学习空间，提供了丰富的学具操作，鼓励学生进行自主探究与伙伴共研，在动手操作与分享交流中充分地体验感悟，让每个学生参与学习的过程，在智慧碰撞中不断地递进思考，让探究走向深入。

二、生成非良构问题，探寻最佳路径

乔纳森根据结构性的不同，将问题分为良构问题与非良构问题。非良构的数学问题通常与具体情景相结合，但是没有清晰的已知条件，没有明确的解决途径，解决问题的方法比较开放。在数学课堂中，生成非良构的问题，可以引导学生探寻多元的、合适的解决问题的途径，在理解的基础上寻找最佳路径，从而让数学探究走向深入。

笔者曾经对亚洲地区几种不同版本教材中有关“圆的面积”的教学内容进行比较，发现：虽然导入部分的设计有所不同，但是圆面积计算公式的推导过程大体相同，基本方法都是把圆等分成8份、16份的小扇形，然后通过把圆转化成平行四边形（或长方形）推导出圆面积的计算公式。日常教学中，大多数教师也是按照把圆切分成小扇形的思路指导学生操作探究、总结规律。只不过，很少有人关注如下的基本问题：怎样才能让学生想到需要通过转化计算圆的面积？转化时，为什么要把圆等分成若干个小扇形？把圆等分成若干个小扇形之后，只能拼成近似的长方形吗？把圆转化成其他的图形能否也推导出圆面积的计算方法？笔者觉得，这些问题尽管具有一定的难度，但显然也有利于学生对圆面积计算问题形成更加完整和深入的思考。于是，在这节课的导入部分，笔者改变了原来常用的教學方法，提出非良构的数学问题，让学生自主尝试，多渠道寻找解决问题的方法，探寻最佳路径。

首先请学生回想以前在推导平面图形面积计算公式时运用的是什么方法。学生都能想到用了转化的方法，把要研究的图形转化为以前学过的图形，把未知转化为已知。在此基础上，启发学生思考：研究圆面积的计算公式的推导，准备怎么办？学生想到了可以把圆剪开，切分成小块，转化成以前学过的图形，化曲为直。然后给学生一个圆，一把剪刀，让他们自己尝试着去切分，把圆剪一剪，在小黑板上拼一拼，经历探究过程。

学生自主尝试，主要出现了以下几种思路（见图1）：大部分学生把圆切分成了若干个扇形（图1-1、1-2、1-3），尝试拼出平行四边形;个别学生把圆剪成了若干个小长条（图1-4），尝试拼出长方形;还有一位学生把圆剪成了整格的小方块和不满整格的不规则图形（图1-5），尝试用数方格的方法。虽然多种方法切分，剪拼不够规范，但是都表达了化曲为直的想法。

经过全班的交流分析，学生达成共识：把圆切分成小长条和小方块，都不好操作，因为里面含有不规则的图形，切分后带弧度的不规则的小块图形形状不同，很难密铺，空隙较多，很难转化成以前学过的平面图形。还有学生想到：切成小方格和数方格的方法有些近似，如果用方格纸来测量，可以得出近似的圆的面积，但是无法准确计量出圆的面积。大家一致认为：把圆等分成若干个小扇形比较合适。需要注意的是如果等分成2个半圆，也是无法转化成以前学过的图形，但是把圆等分成4个小扇形或更多个小扇形，不仅可以密铺，而且等分的小扇形的块数越多，拼出的图形越接近平行四边形。

这样的导入，通过问题引领，创设了开放的探究空间，启发学生自主思考，鼓励学生尝试，剪出多种路径，探寻最佳路径，引导学生运用转化，真正体会化曲为直，找到解决问题的方法。

三、开放探究空间，感悟推导方法

问题是驱动学生数学学习的动力引擎。数学课堂中我们给学生提出的问题要有广度，有挑战性，有思维含量，要留给学生思考的时间和研究的空间。开放的探究时空可以让学生有更丰富的感悟体验，会有更多智慧的碰撞，也会促进思维向纵深发展。

在推导圆面积计算的方法时，笔者没有直接给出具体的单一的方法，而是引导学生探索，创设开放的问题情境，提供学具，引导学生自主探究，在多种方法的交流分享中体验感悟，在不同思考的比较分析中内化提升。

（一）问题引领，多元转化

好的数学问题，可以激发学生大胆地提出数学设想。在数学学习的探究环节，教师可以创设开放的探究空间，通过问题的引领，鼓励学生主动尝试，从不同途径寻找解决问题的方法。

全班学生经过初步尝试形成共识：把圆切分成相等的小扇形，更利于把圆转化成学过的平面图形。在此基础上教师提供了以下研究思路，鼓励学生在四人小组内运用学具进行伙伴探究。

（1）小组讨论：准备把圆转化成什么图形？

（2）小组合作：选择4等分、8等分、16等分的圆，在小黑板上拼一拼，看看能拼成什么图形？

（3）小组交流：把拼好的图形有序排列，观察不同分法转化后的图形，有什么发现？拼成的图形与原来的圆有什么关系？根据转化后的图形的面积计算方法怎样计算圆的面积？

在开放的场域中，学生在小组内充分尝试，探索出了多种转化的方法（见图2）。

（二）分析比较，感悟方法

当学生发现解决问题有多种方法之后，还要引导学生进行分析比较。在观察、感悟、分类、汇整的活动中，逐渐优化方法，帮助学生逐步形成认知结构，提升学习能力。

通过自主尝试，全班学生展示出了以上四种思路，其中绝大部分小组是用第一种方法（见图2-1）进行转化的，只有三个小组分别呈现了后面三种思路（图2-2，2-3，2-4），属于个例。于是先选择共性的方法进行研究。结合学生介绍的转化方法，教师适时补充把圆32等分、64等分后轉化成近似的长方形（见图3），渗透极限思想，引导学生体会把圆无限等分后可以转化成长方形，进而理解圆面积计算的推导过程。

然后引导学生分析后三种思路，教师提出问题：“用这样的方法能不能推导出圆面积的计算方法呢？谁想上来介绍一下推导的思路？”学生结合自己的转化过程，分享了多种思路的推导方法（见图4）。学生发现：把圆转化成平行四边形、长方形、三角形、梯形都可以推导出圆面积的计算方法。

尽管学生通过自己的探索，已经找到解决问题的方法，但笔者认为课堂上教师要一直保持问题意识，善于捕捉学生的困惑，引发学生思维碰撞与深度思考。此时可以继续引导学生思考：“比较这几种方法，有什么不同点？有什么相同点？”“你觉得把圆转化成什么图形比较方便推导出它的面积计算公式？”学生经历了自主探究的过程，在方法多样化的基础上进行分析比较，有了更多的体验与思考，深切体会到把圆转化成长方形的方法很通用，也很优化，既方便进行图形的切拼转化，也利于面积计算的方法推导。

（三）变式思考，思维进阶

数学学习中，变式思考有助于打破思维定势，切换视角重组认知结构，学生的思考随着对问题的分析和思辨逐步深入，不断拓展。

本节课学生主要探究了把圆切分成小扇形拼成学过的平面图形推导出圆面积计算的方法，在此基础上教师可以提出一个拓展性的问题引发学生变式思考：“今天我们研究了把圆等分成扇形进行转化，还有没有其他的方法呢？如果给你一个草绳编织的圆形茶杯垫片，又可以怎么探究圆面积计算的方法呢？”学生经历过前面的研究，思路已完全打开，展开了充分的讨论，跳出原有的思维框架，展开了新的探索，有的想到了可以把圆形草垫沿着半径剪开，拼成一个近似的三角形草垫（见图5），也有学生想到了其他的思路，建议感兴趣的同学可以课后继续研究。通过变式思考，学生进一步探索了化曲为直的多维思路，更深入地理解了圆面积计算的推导方法，促进了思维的进阶。

四、解决数学问题，应用提升学力

学生的数学学习是从问题的提出开始的，也是在问题的解决中发展的。在解决数学问题的过程中，可以引导学生经历数学化的过程，更好地理解数学知识的本质，把握数学知识的联结，在应用与拓展中，提升思维的品质，促进学力的发展。

数学练习中的解决问题不在于数量的多少，而在于问题所指向的知识内容与思维含量。结合学生的认知进行更加精准的练习设计，可以激发学生有深度的数学思考，提高学生解决问题的能力。

（一）关联生活，学以致用

应用所学知识解决数学问题，可以在数学知识与社会生活之间建立关联，帮助学生学以致用。学习了圆面积计算的推导方法后，可以引导学生应用所学习的方法来解决生活中的实际问题。苏教版数学教材中的例题是关于喷灌面积计算的解决问题，这个素材来源于生活，具有一定的典型性，学生很容易理解，可以直接出示问题：“有一个自动旋转喷水器的最远喷水距离大约是5米。它旋转一周喷灌的面积大约是多少平方米？”这节课的新知学习让学生对圆面积的计算方法有了深刻的体会，此时就很容易解决这个数学问题。在学以致用的基础上启发学生思考：要求圆的面积需要知道什么条件，学生想到了已知半径、直径、周长都可以求出圆的面积。教师可以相机对所学新知加以小结与提升。

（二）拓展应用，深度理解

指向问题解决的数学学习，有利于更好地呈现和分析学习的脉络，更充分地展现学生的思维。有一定深度的数学问题，可以促进学生对知识更深层次的内化。在这节课的拓展练习部分，同学们小结出要求圆的面积，需要知道半径、直径或周长。此时教师引发学生思考：如果只知道小正方形的面积，你们还能求出圆的面积吗？相机出示问题：图中（见图6）小正方形的面积是8平方厘米，你能算出圆的面积吗？ 引导学生突破已有认知，寻找新的视角解决问题，找到问题解决的突破口，即小正方形的面积就是半径的平方，从而求出了圆的面积，深度理解圆面积计算的多种方法。

数学课堂中的问题引领有助于帮助学生搭建思维的阶梯，激发学生学习的内生力，主动寻找解决问题的路径与方法。以核心问题为主线，开放学习空间，鼓励学生自主探索、合作交流，重视学生的内化体验与分析思辨，能够促进课堂教学的开放与整合，使课堂学习更加高效，更有深度。学生在学习的过程中不断创生新的认识，在分析、综合、应用的过程中理解知识，建构意义，发展数学思维，提升学力。

责任编辑：丁伟红

收稿日期：2020-12-30

作者简介：陈馨，南京市鼓楼区第一中心小学（江苏南京，210029），教育硕士，高级教师。