具有耦合分支的两转动两移动并联机构分析与优化

温如凤 方跃法 叶 伟

(1.北京交通大学机械与电子控制工程学院， 北京 100044； 2.山东管理学院智能工程学院, 济南 250357；3.浙江理工大学机械与自动控制学院, 杭州 310018)

0 引言

传统并联机构的动平台通过两条以上分支与基座相连，具有多闭环结构。这类机构具有刚度好、负载能力强、操作速度快等优点，在分拣、运动模拟等领域得到了成功应用。但是，传统的并联机构中各分支独立支撑动平台，容易产生奇异位形、刚度退化等问题[1]。为此，学者们在并联机构的分支间添加耦合分支，提出了广义并联机构的概念[2]。

相较于传统并联机构，具有耦合分支的广义并联机构在刚度、精度等方面更具优势[3-4]。TIAN等[4]结合拓扑图与螺旋理论提出了一种系统的综合方法，用于含耦合分支并联机构的构型综合。DING等[5-6]设计了一类具有耦合分支的双层双闭环空间机构。刘婧芳等[7]在3-(RRR)RR并联机构上添加耦合分支，得到了一类三移动自由度空间多环耦合机构。SHEN等[8]对并联机构的分支进行拆分组合，设计了一类多环耦合六自由度机构。

在众多少自由度机构中，动平台输出两转动两移动运动(2R2T)的机构一直被广泛关注。这类机构在加工机械[9-10]、农业机械[11]、医疗手术器械[12]等领域具有潜在的应用前景。YE等[13]设计了一类具有对称分支结构的2R2T并联机构。WANG等[14]采用铰接动平台设计了一类大转动工作空间的2R2T并联机构，并进行了性能分析。张彦斌等[15]基于螺旋理论设计了一类具有运动解耦特点的2R2T并联机构。GAN等[16]对一种2R2T并联机构进行了无奇异优化设计。范彩霞等[17]基于构型演变和李群理论进行了2R2T并联机构构型综合。

目前，已有较多含耦合分支的广义并联机构以及2R2T并联机构的相关研究成果。但含耦合分支的2R2T并联机构尚未见相关研究报道。本文提出一种具有耦合分支的2R2T并联机构，基于李群理论进行自由度分析，然后进行运动学建模、刚度分析与优化设计，为机构的实际应用奠定理论基础。

1 机构描述与自由度分析

图1、2为本文提出的一种具有耦合分支的并联机构。该机构动平台和基座间有3条分支。分支1和分支2是RPU分支，其中R表示转动副、P表示移动副、U表示虎克铰。分支3是SPS分支，其中S代表球副。在分支1和分支2之间横向连接了1条结构为RPR的耦合分支4。分支1、2、4中所有的转动副轴线与虎克铰的第1条转轴平行，且与这些分支中移动副的轴线垂直。分支1和2内2个虎克铰的第2条转轴共线。

用A1和A2分别表示分支1和分支2与基座相连转动副的中心，A3表示分支3与基座相连球副的中心。类似地，用B1和B2分别表示分支1和分支2与动平台相连虎克铰的中心，B3表示分支3与动平台相连球副的中心。C1和C2分别表示耦合分支4与分支1和分支2相连转动副的中心。点A1、A2、A3位于同一平面内，且构成一个等腰三角形。线段A1A3与A2A3等长，A1A2长度等于2a，A3与A1A2的垂直距离等于a。动平台B1B2B3同样设计为等腰三角形，线段B1B3与B2B3等长，B1B2长度等于2b，B3与B1B2的垂直距离等于b。线段B1C1与B2C2等长，长度均为c。在基座上建立定坐标系oxyz，原点o位于线段A1A2中点，x轴沿oA2方向，y轴沿oA3方向，z轴遵从右手法则。同样，在动平台上建立动坐标系puvw，原点p位于线段B1B2中点，u轴沿oB2方向，v轴沿oB3方向，w轴遵从右手法则。

采用李群理论[18]对机构进行自由度分析。注意到C1和C2分别是分支1和分支2上的点，由于分支1和分支2结构的限制，这两个点始终位于xoz平面内，它们的相对自由度为平面内的两个移动和一个转动。耦合分支4为RPR结构，构成三维位移子群{G(y)}，允许xoz平面内的所有3个自由度。因此，耦合分支4的引入对点C1和C2的相对自由度没有影响，也就意味着对整体机构的自由度没有影响。

根据以上分析，可将耦合分支4移除，再分析动平台的自由度特性。分支1位移流形L1可表示为

L1={R(A1,y)}{T(a1b1)}{R(B1,y)}{R(B1,u)}={G(y)}{R(B1,u)}

(1)

式中 {R(A1,y)}——轴线平行于y轴且通过点A1的转动位移子群

{T(a1b1)}——沿向量a1b1方向的移动位移子群

a1b1——沿分支1内移动副方向的单位向量

{G(y)}——垂直于y轴的平面位移子群

其余符号含义类同。

分支2和分支1结构相同，且由于点B1和点B2均位于u轴上，分支2位移流形L2可以表示为

L2={G(y)}{R(B2,u)}={G(y)}{R(B1,u)}

(2)

分支3为SPS分支，有6个自由度，其位移流形L3是六维李群，记为

L3={D}

(3)

可得动平台位移流形{M}为

{M}=L1∩L2∩L3={G(y)}{R(B1,u)}∩{G(y)}{R(B1,u)}∩{D}={G(y)}{R(B1,u)}

(4)

由式(4)可知，该机构动平台有4个自由度，包括xoz平面内2个移动自由度、绕y轴的转动自由度、绕u轴的转动自由度。由于位移子群和子流形表示连续运动，机构的4个自由度也是连续自由度。

为了使机构具有确定的运动，需要选取4个关节作为主动关节。选取机构内4个移动副作为主动关节。如果锁住所有的主动关节后，机构的自由度为0，说明驱动选取合适。观察机构的结构，可发现动平台绕u轴的转动自由度完全由分支3控制，与分支1、2、4无关。而分支1、2、4与动平台实际构成一个平面子机构，图3为锁住主动关节后的该平面子机构。此时，构件数为4，低副数目为6，机构的自由度F=3×4-2×6=0，表明分支1、2、4中的主动关节能完全控制线段B1B2在空间的位姿。

当B1B2的位姿确定后(即可视为与基座相连)，锁定分支3内主动关节后，动平台与分支3构成的局部子机构如图4所示，其中，构件数为2，转动副数目为1，球副数目为2，连接两个球副的连杆存在1个局部自由度，机构的自由度F=6×2-5-2×3-1=0，表明分支3的主动关节能完全控制动平台绕u轴的转动自由度。

综合以上分析可知，分支1、2、3、4内的4个移动副能完全控制动平台的4个自由度，驱动选取合适。

2 位置分析

位置分析的目的在于建立主动关节输入参数和动平台输出位姿参数间的映射关系。分析的机构中4个移动副为主动关节，对应的长度为d1、d2、d3、d4，是输入参数。动平台的位置可由动坐标系原点p在定坐标系中的位置矢量p=(x，0，z)T表示，姿态可由旋转变换矩阵R表示

R=R(y,α)R(u,β)=

(5)

式中R(y,α)——绕y轴转动角α的旋转矩阵

R(u,β)——绕u轴转动角β的旋转矩阵

R(y,α)、R(u,β)分别对应机构的2个转动自由度。因此，动平台的位姿可由x、z、α、β4个参数表示。

在定坐标系中，点Ai(i=1,2,3)的位置矢量可表示为

(6)

在动坐标系中，点Bi(i=1,2,3)的位置矢量可表示为

(7)

其中，右上标p表示参考的是动坐标系。

可通过坐标变换将点Bi(i=1,2,3)在定坐标系下的位置矢量求得。变换公式为

(8)

将式(5)、(7)代入式(8)中，可得

(9)

根据A1、A2、B1、B2的位置矢量，可以求得点C1、C2的位置矢量为

(10)

根据分支的结构，可以建立4个约束方程

(11)

将各点位置矢量代入式(11)，可得到4个方程为

(12)

(13)

(14)

(15)

位置逆解是已知动平台输出参数x、z、α、β，求解输入参数di(i=1,2,3,4)。可很容易地通过式(12)～(15)求得，注意di(i=1,2,3,4)为移动副长度，应取正值。位置正解是已知输入参数di(i=1,2,3,4)，求解x、z、α、β，属于方程求解问题。

3 奇异分析

并联机构的工作空间内可能存在奇异位形，会导致机构刚度退化、失去控制等不良后果，应对奇异位形进行分析。奇异分析一般在速度雅可比矩阵的基础上开展，将方程(12)～(15)对时间求导，得到速度方程，可整理为

(16)

其中

可以得到机构的雅可比矩阵J为

(17)

并联机构的奇异位形可分为3类[19]：逆奇异、正奇异和混合奇异。

当矩阵JA的行列式值等于0，但矩阵JB的行列式值不为0时，机构处于逆奇异位形。根据矩阵JA的表达式可知，只有当某个移动副长度di=0时，JA的行列式值为0。但考虑到实际情况，这种条件无法满足。因此，机构不存在逆奇异。

当矩阵JB的行列式值等于0，但矩阵JA的行列式值不为0时，机构处于正奇异位形。通过分析可以发现，机构有2种正奇异位形。

第1种正奇异位形发生在线段A3B3穿过线段B1B2时，如图5所示。此时，动平台绕u轴转动自由度失去控制。

第2种正奇异位形是当d4取最大值，即到达峰顶。此时，d4变化可能会使得机构向两个不同的方向运动(峰顶的两侧)，机构不具有确定的运动。

为直观地展示机构奇异位形，设定机构的尺度参数如下：a=170 mm，b=66 mm，c=80 mm，令z=-220 mm，det(JB)=0，可得到机构的正奇异位形曲面如图6所示。可以发现，机构的正奇异位形包含两个曲面，分别对应两种正奇异情况。

图7为当β=0时，工作空间内d4分布情况。黑色曲线代表第2种正奇异位形。可以发现，黑色曲线与d4长度的峰值吻合，证实了奇异位形分析的正确性。

当矩阵JA和JB的行列式值都等于0时，机构发生混合奇异。由于JA的行列式值不可能为0，机构没有混合奇异。

4 性能分析

4.1 刚度分析

当在并联机构的动平台上施加载荷后，由于机构的柔性，动平台会偏离预定的位置，从而影响操作精度。刚度反映机构受力时抵抗弹性变形的能力，是评价并联机构的一种重要性能指标。

本文考虑驱动的柔性，对机构进行刚度分析。根据虚功原理[20]，建立并联机构平衡方程为

τTδq-FTδx=0

(18)

式中τ——驱动关节的力或力矩

δq——驱动关节对应的虚位移

F——动平台受的力或力矩

δx——动平台虚位移

驱动关节的虚位移与动平台的虚位移满足

δq=Jδx

(19)

将式(19)代入式(18)可得

F=JTτ

(20)

驱动关节力或力矩和虚位移间满足

τ=χδq

(21)

式中χ——对角矩阵

其对角线上元素代表驱动关节的刚度。

将式(19)代入式(21)，将结果代入式(20)，可得

F=JTχJδx

(22)

因此，得到并联机构的刚度矩阵为

K=JTχJ

(23)

考虑到雅可比矩阵含有动平台的位姿参数，可知并联机构的刚度会随位姿变化。衡量刚度的指标包括刚度矩阵的条件数、特征值、对角线元素等[21]。在设计时通常希望机构的最小刚度大于一定的值以确保机构的精度[22]，因此选取刚度矩阵的最小特征值作为刚度评价指标。

由于本文机构具有移动和转动混合自由度，雅可比矩阵J存在量纲不统一的问题，从而导致刚度矩阵缺乏物理意义。为解决这个问题，采用特征长度的方法[23-24]，在对应角速度的雅可比矩阵后两列除以一个表示机构尺度的特征长度L来实现量纲的统一。选取点A1和A2间距离为特征长度。注意，刚度矩阵K中所用的J即是量纲统一后的雅可比矩阵。不失一般性，将所有驱动的刚度系数均设置为1×106N/mm，可以得到机构工作空间内刚度。图8为x=0，z=-220 mm 时工作空间内机构的刚度指标K的分布情况。

由图8可知，机构在α=0°时，刚度退化为零。对比图6可以发现，此时机构处于奇异位形(图8中的黑色虚线即代表奇异位形)，在锁住所有的驱动后，动平台仍有瞬时自由度。刚度分析与奇异分析结果吻合。

为消除工作空间内部奇异，提高机构的刚度性能，可以在机构中添加冗余驱动分支[25-26]。图9为在原机构上添加了RPU结构的分支5，形成的冗余驱动并联机构。注意，分支5和分支1共用末端的虎克铰。由于分支5和分支1的位移流形相同，由李群理论可知，机构自由度没有改变。

设计分支1和分支5中与基座相连转动副的中心距离为440 mm，采用非冗余机构类似的分析方法，可以得到同样条件下冗余驱动机构工作空间内刚度指标分布情况。图10为x=0，z=-220 mm时冗余驱动机构的刚度指标分布情况。

对比图8和图10可以发现，在添加一个冗余驱动的分支后，机构工作空间中心区域的刚度性能得到了大幅提升，这是由于添加的冗余驱动分支消除了第2种正奇异位形。

4.2 工作空间分析

机构工作空间也是一项重要性能指标。冗余驱动机构由于增加了额外分支，其工作空间相较于非冗余机构势必会减小。考虑机构的结构特点，设定分支1、2、3、5中移动副伸缩范围为200～300 mm，而分支4中移动副伸缩范围为150～250 mm，当z=-220 mm时，非冗余机构和冗余驱动机构的三维工作空间分别如图11、12所示。

由图11、12可以发现，添加冗余驱动分支后，机构的工作空间变小。对工作空间分层分析，令x=-40 mm，x=-20 mm，x=0，x=20 mm，x=40 mm，分别绘制非冗余机构和冗余驱动机构的二维工作空间，如图13所示。可以发现在远离x=0的区域，非冗余机构的转动工作空间大于冗余驱动机构。在x=0附近的中心区域，冗余驱动机构和非冗余机构的转动工作空间基本一致。

分析冗余驱动机构构型可知，当动平台姿态保持水平时，随着动平台位置参数x从0开始负增长，分支1和分支5的长度变短，此时，如果动平台饶y轴顺时针转动，分支5的长度将进一步压缩，导致分支5中移动副行程更容易达到下限，限制了动平台绕y轴顺时针转动的角度。另一方面，如果动平台位置参数x从0开始正增长，分支1和分支5的长度变长，此时，动平台绕y轴的逆时针转动会使得分支5的长度进一步增加，导致分支5中移动副行程更容易达到上限，限制了动平台绕y轴逆时针转动的角度。当x=0时，由于对称性，分支5对工作空间的约束与分支1相同，故此时冗余驱动机构的工作空间与非冗余机构一致。由图13可知，相对于非冗余机构，当x小于0时，冗余驱动机构的工作空间在α的负方向变小；而当x大于0时，工作空间在α的正方向变小；当x=0时，工作空间没有变化，这种变化规律与机构的构型特点吻合。

并联机构的奇异位形会将工作空间分割为多个割裂的区域。图13中白色虚线代表奇异位形，可以发现，在x=0附近，冗余驱动机构的非奇异工作空间比非冗余驱动机构更大。

5 尺度优化设计

图16为尺度优化后(b=78 mm，c=80 mm)机构的刚度指标分布。对比图10可以发现，经过优化设计，冗余驱动机构的刚度性能得到了明显提升。

6 结论

(1)提出了一种具有耦合分支的新型并联机构，其动平台能输出两个转动运动和两个移动运动。该机构配合一个移动工作台可作为五轴机床的本体。

(2)基于雅可比矩阵分析了机构的奇异位形。该机构具有2种正奇异情况，会导致刚度退化，通过添加冗余驱动分支可有效提升机构的刚度性能。

(3)冗余驱动机构的性能与尺度相关，通过尺度优化设计可进一步提升机构工作空间内的刚度性能。