基于牛顿运动定律和伯努利方程的撒克逊碗下沉研究

王澳 史晨曦 王建达

DOI：10.16660/j.cnki.1674-098x.2011-5640-9607

摘  要：撒克逊碗是指底部有洞的碗，其构成的撒克逊碗计时系统是一种古老的计时系统，但对该系统的研究甚少。本文通过牛顿运动定律和伯努利方程进行模型的建立，并通过求解微分方程，得到了撒克逊碗完全下沉时间与洞面积成反比、下沉时间与高度满足三次多项式的结论。对该系统的理论研究能应用于船舶的下沉，对研究影响船舶下沉时间的因素具有引导意义。

关键词：撒克逊碗  牛顿运动定律  伯努利方程  微分方程

中图分类号：G647.38                         文献标识码：A                    文章编号：1674-098X（2021）01（c）-0078-04

Research on Saxon Bowl Sinking Based on Newton's Law of Motion and Bernoulli Equation

WANG Ao  SHI Chengxi  WANG Jianda

（School of Aeronautics and Astronautics， Shenyang Aerospace University， Shenyang，  Liaoning Province， 110000  China）

Abstract： The Saxon bowl refers to a bowl with a hole in the bottom. The Saxon bowl timing system it constitutes is an ancient timing system， but there is little research on this system. In this paper， the model is established by Newton's law of motion and Bernoulli equation， and by solving the differential equations， the conclusion that the complete sinking time of the Saxon bowl is inversely proportional to the hole area， and that the sinking time and height satisfy the third-order polynomial. The theoretical study of this system can be applied to the sinking of ships， which has guiding significance for the study of factors affecting the sinking time of ships.

Key Words： Saxon bowl; Newton's Law of Motion; Bernoulli equation; Differential equation

一个底部有洞的碗放在水中会下沉，撒克逊人用它来计时，称之为撒克逊碗[1]。撒克逊碗计时系统包括三个部分：底部有洞的碗、提供浮力的液体和较大的容器。对撒克逊碗下沉时间的研究能应用于因底板破损而下沉的船舶上，因此理论研究十分重要。本文就其完全下沉时间与洞的面积的关系、下沉时间与高度的关系展开研究。

1  系统简化

由于碗的形状多样，且不规则，研究时，我们将其简化为圆柱体，底部洞的形状也为圆柱体。这样简化，非常接近实际，并且能为后续的计算带来方便。

2  模型建立

基于系统简化后的结果，我们建立以下的模型，并对其受力分析：假设碗在下沉中没有倾斜，碗内液面高，碗外液面高。、均为时间的函数，并满足。其在下沉过程中受到重力、浮力、由于速度产生的压差阻力[2]。

其他参数如表1。

3  模型求解

3.1 碗完全下沉时间与洞的面积的关系

对洞口的水分析，设其位置为y，质量为m，密度为p，加速度为a，碗底面两侧压强差为。

由压强公式[3]和牛顿运动定律[4]得到其压力F：

固定其他参数的值使得只有洞的面积S1为变量，研究碗完全下沉时间与S1的关系。其他参数的值如下表2。

将表2中参数的值代入（11），由MATLAB绘制出拟合后的图线如图3。

计算得到拟合后的和t的相关系数为0.9971，拟合效果很好。

3.2 碗下沉时间与下沉高度的关系

设水流进入洞的初始速度，之后的速度为。假设机械能守恒，由伯努利方程[7]：

此微分方程组暂无法求出解析解，通过Matlab求出数值解[8]并绘出图线如下：

对此图线利用Matlab进行多项式拟合，得到拟合后图线的如下：

拟合曲线方程为：

其中：P1=-0.3913，P2=6.77，P3=-3.331，P4=1.402

3.3 結果分析

3.3.1 碗完全下沉时间与洞的面积的关系

由图3可知，当其他参数固定时，完全下沉时间 和 近似成直线关系，所以可以得到：碗完全下沉时间与洞面积近似成反比。

3.3.2 碗下沉时间与下沉高度的关系

由图6可知，下沉时间 与下沉高度 满足三次多项式关系。

4  结语

本文利用牛顿运动定律和伯努利方程，对撒克逊碗计时系统建模并求解，得到了撒克逊碗完全下沉时间与底部洞面积的关系、碗下沉时间与高度的关系。本文的研究在一定程度上为船舶下沉研究提供了理论依据。

参考文献

[1] Allan Greer， Eric Kincanon. An experiment with Saxon bowls[J]. The Physics Teacher，2000，38（2）.

[2] 李佳川.高温球体入水多相流动及水下减阻特性研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2019.

[3] 范茂，李世芸.基于流固耦合的四通管力学及振动特性研究[J].软件，2020，41（07）：274-280.

[4] 王秀娥.大学物理（上册）[M].山东：中国石油大学出版社，2011：26-28.

[5] 何雅宁.基于连续微分方程对高压油管压力控制的研究[J].齐鲁工业大学学报，2019，33（6）：74-80.

[6] 师向云，周学勇.基于Matlab的常微分方程辅助教学设计[J].四川职业技术学院学报，2020，30（05）：111-115.

[7] 刘沛清，赵芸可.伯努利方程对流体力学理论建立的历史贡献[J].力学与实践，2020，42（02）：258-264.

[8] 孙亚辉，杨勇歌.MATLAB在常微分方程教学中的应用[J].教育教学论坛，2020（42）：239-240.