基于FWA-Logistic方法的概率积分动态参数预测

魏 鹏，江克贵

(1.山西晋城无烟煤矿业集团有限责任公司 资源环境管理局，山西 晋城 048006；2.安徽理工大学 空间信息与测绘工程学院，安徽 淮南 232001)

煤炭作为主体能源担负着国家能源安全和经济持续发展重任[1]。大规模、高强度的煤炭资源开发会引发一系列矿山地质灾害和生态问题，如地面塌陷、山体滑坡、地面不均匀沉降、地下水疏干、破坏性矿震，已经对铁路与公路建设、水利与电力工程设施、工业与民用建筑、生态与水文环境及人民生命财产带来了直接危害[2，3]。为了最大限度地减少矿山开采沉陷的危害，地表移动变形预测至关重要；而在预测模型选定的情况下，地表开采沉陷预测精度主要取决于预计参数的可靠性，求取精准可靠的预计参数是开采沉陷预测重要的环节。因此，文献[4]建立了概率积分稳健求参数学模型，结果表明构建模型可降低异常值或粗差的干扰，克服了最小二乘法拟合发散的问题；文献[5]将三次指数平滑法应用于概率积分动态参数求取中，实验预计结果与实测一致；文献[6]引入Broyden算法，建立了迭代模型，通过分析算法求参的精度、计算量和收敛性，验证了改进后算法的优越性；文献[7]运用灰色关联分析法找出概率积分参数的影响因素，进而利用BP神经网络预计参数。综上，大量学者提出形式各异的概率积分参数预测模型，参数预测精度不断提高；其共同点是分析预计参数随时间和空间变化的形态特征和影响因素，构建符合其变化规律的非线性预测模型，通过已知的预计参数变化量，拟合出非线性模型的模型参数，进而实现后续或其间的未知概率积分参数的预测。

在非线性模型广泛应用于预测参数的背景下，本文引入一种Logistic模型[8-10]，研究表明，Logistic模型拟合曲线的形态特征呈S型，符合概率积分参数变化规律(尤其下沉系数q)，理论上，Logistic模型可适用于概率积分动态参数预测，但该非线性模型具有3个模型参数，常规模型参数的求解方法是非线性最小二乘法，而模型参数初值选取对非线性最小二乘法影响较大，以及非线性最小二乘法随训练数据的变化波动较大；因此，引入FWA算法对模型参数进行精确求取，构建了一种基于FWA-Logistic模型的概率积分动态参数预测方法。

1 FWA-Logistic方法

1.1 Logistic模型

Logistic方程由比利时数学家威赫尔斯特在1838年首次提出，其描述了生物繁殖及人口变化特征，刻画了因变量随时间变动的趋势，在农业、医学、变形预测等领域得到了广泛应用。美国Edwin Mansfield提出的Logistic模型微分方程为：

式中，b为常数；F为t时刻概率积分参数值y(t)与其最大值m的比值，即F=y(t)/m。

利用分离变量法求解式得：

式中，a，b为常数。

Logistic模型的模型参数包括(m，a，b)，由于Logistic模型的高度非线性特征，通常的模型参数求取方法主要是非线性最小二乘法，其中NLS准则要求残差平方和最小化，其目标函数为：

其中，Y(t)为各时期的实测参数值；y(t)为各时期的预测结果，当E(m，a，b)取最小值时，可求得模型参数最优解。

研究表明[11]，基于非线性最小二乘法，模型参数m的求解值随数据点数的变化而波动较大(m估值的不稳定性)，进而导致预测结果与实际相差较大；另外，不合理的初值选取会导致求参结果发散。为此，本文引入一种烟花算法。

1.2 FWA原理

烟花算法是近几年被提出的新型智能优化算法[12-15]，通过模仿烟花爆炸过程，该算法能够高效搜索最优解，此外，算法寻优的过程中也加入随机因素和选择策略以形成一种并行搜索模式；如何基于实测数据得到高度非线性问题的最优解，烟花算法原理简要介绍如下：

烟花算法主要由以下4部分组成：①爆炸算子，烟花爆炸产生爆炸火花的操作；②变异算子，烟花高斯变异产生变异火花的操作；③映射算子，将超出边界的火花映射到可行域区间内的操作；④选择算子，在当前种群个体中优化选择下一代的操作。

1.2.1 爆炸算子

爆炸算子是烟花算法的核心组成部分，由爆炸火花数目、爆炸半径和位移操作组成；以烟花xi为例，过程是，首先根据烟花xi相对于其他烟花的适应度大小，计算烟花xi的爆炸火花数目和爆炸半径，见式(4)、式(5)；然后，为了防止适应度较好的烟花处产生过多的火花，而适应度较差的烟花处产生过少的火花，对爆炸火花数目进行限制；最后，利用位移操作可得到烟花xi爆炸产生的火花。

式中，Ti为第i个烟花的爆炸火花数目；K为常数，用来控制爆炸火花数目的大小；f(xi)是第i个烟花的适应度值；ymax=max[f(xi)](i=1，2，…，n)是当前种群的最大适应度值；ξ是机器最小量。

式中，Ai为第i个烟花的爆炸半径；A为常数，用来控制爆炸半径的大小；ymin=min[f(xi)](i=1，2，…，n)是当前种群的最小适应度值。

1.2.2 变异算子

为了增加种群的多样性，烟花算法引入变异算子用于产生高斯变异火花；对于烟花xi某一维度k执行高斯变异操作为：

式中，e～N(1，1)，N(1，1)表示均值为1，方差为1的高斯分布。

1.2.3 映射算子

爆炸算子和变异算子产生的火花可能会超出可行域边界，当火花xi的第k维超出边界，可通过式(7)将火花映射到可行域内的新位置。

式中，xUB，k、xLB，k为解空间在维度k的上边界和下边界。

1.2.4 选择算子

为了使烟花种群中优秀的信息传递到下一代，在烟花、爆炸火花和高斯变异火花组成的候选者集合中选择一定数量的个体作为下一代烟花。假设当前候选者种群数目为KA，烟花迭代种群大小为N；其中，候选者中适应度最小的烟花会被确定性的选择到下一代中，剩下的后代烟花采用轮盘赌法在候选者中进行选择。对于候选者xi，其被选中的概率为：

式中，R(xi)为当前个体xi与其他个体的距离之和；d(xi，yi)表示任意两个个体xi和yi之间的欧氏距离；xj∈KA是指第j个位置属于集合KA。

1.3 方法构建

为了求取精准可靠的概率积分动态参数，综合FWA算法原理和Logistic模型，结合概率积分参数变化规律，提出了一种融合FWA和Logistic模型的概率积分动态参数预测方法(FWA-Logistic方法)，方法构建过程如下：

1)数据准备。收集实验矿区的前期概率积分参数实测数据(实验样本)，选定合适的FWA参数，确保实验过程的高效性和结果的可靠性。利用FWA参数生成初始状态下的烟花种群。

2)适应度评价。设烟花种群大小为N，实测有M个时段的概率积分动态参数样本数据，假设实测第t个时段的参数为Pat；而利用Logistic模型求取的第i个烟花、第t个时段的样本预测值假设为Pt，以此构建的适应度函数见式(10)，进而对种群中全部个体的适应度进行评价。

(i=1，2，…，N；t=1，2，…M)

(10)

3)迭代求参。根据烟花适应度计算烟花的爆炸火花数目和爆炸半径，生成爆炸火花；然后，在烟花中选择一定数量的烟花执行变异算子操作，以此生成高斯变异火花；接着，利用映射算子把超出边界的火花映射到可行域边界内；最后利用选择算子选择优秀候选者作为下一代烟花种群。循环执行该项操作，直到满足迭代终止条件，输出模型参数最优解。

4)概率积分动态参数预测。根据步骤3)求取的模型参数最优解，代入Logistic模型，然后输入需要预测的时段，输出概率积分动态参数预测成果，FWA-Logistic方法技术路线如图1所示。

图1 FWA-Logistic方法技术路线图

2 工程实例

2.1 数据获取

试验矿区位于淮南顾桥煤矿14141工作面，在工作面采动期间地表移动观测站共进行了12期有效观测，根据变形观测数据对概率积分动态参数进行了求取，共得到12期不等时间序列样本数据，由于概率积分动态参数繁多，且数据处理过程一致，本文选择参数q、tanβ、θ进行详细阐述；基于时间序列插值方法，样本参数q、tanβ、θ分别作插值处理，插值结果见表1(共得到16期数据)；为了充分研究构建方法在不同时段预计结果的准确性，选择4期等间隔时段(分别为4时段、8时段、12时段、16时段)作为预测检验数据，其余12期的参数实测值作为起算数据。

表1 概率积分参数实测值

2.2 模型参数的求解及拟合

基于获取的起算数据，利用FWA-Logistic方法对分别对3组Logistic模型参数进行求解，求解结果见表2，拟合样本数据中误差分别为0.028，0.100和0.023°；各样本参数拟合结果分别如图2—图4所示。

表2 模型参数求解结果

图2 下沉系数q样本拟合效果

图3 主要影响角正切tanβ样本拟合效果

图4 开采影响传播角θ样本拟合效果

2.3 参数预计及精度分析

为了验证模型求参的准确性，对4时段、8时段、12时段、16时段的q、tanβ、θ进行预测，并将预测结果与实测值进行比较，比较结果见表3。

表3 未来值预测实验结果

从表3中可以看出，预测的概率积分动态参数与实测结果一致，求取参数q、tanβ、θ的平均相对误差(ARE)分别为2.87%、2.02%、0.03%；求参的最大相对误差约为4.39%，在参数tanβ处取得；实验结果表明，FWA-Logistic方法可以较好的应用于概率积分动态参数预测。

2.4 变形预计

为验证预测参数的实用性，基于2.3节预测的4期的概率积分动态参数，以及已知的实际矿区工作面地质采矿条件和时间参数，代入动态概率积分模型(概率积分法模型+Knothe时间函数)对矿区地表变形进行预计，结合地表移动观测站坐标，预计了沿走向和倾向主断面的下沉，如图5所示，与实测相比，预计下沉误差在-343～208mm之间，中误差分别为47.66mm、113.60mm、86.67mm、89.23mm。此外，以第16期为例，地表三维下沉预计结果如图6所示。

图5 预计和实测的走向和倾向主断面下沉对比

图6 第16期预计地表三维下沉

3 结 论

在非线性模型广泛应用于预测参数的背景下，本文引入一种Logistic模型，顾及非线性最小二乘法求取Logistic模型参数的不稳定性，选取非线性求参能力较强的FWA算法。综合FWA算法原理和Logistic模型，结合概率积分参数变化规律，提出了一种FWA-Logistic方法。试验结果表明拟合样本参数效果较好，预测参数精度较高，并通过试验验证了预测参数在矿区开采沉陷预计中的实用性。