选修4-4、4-5试题精选

胡彬

1.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M（po，0）（p》0）在曲线C：p=4cos0上，直线l过点A（4，5）且与OM垂直，垂足为P。

（1）当0，=兀-时，求在直角坐标系下点M的坐标和直线l的方程;

（2）当点M在曲线C上运动且点P在线段OM上时，求点P在极坐标系下的轨迹方程。

2.在平面直角坐标系xOy中，直线l的

（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;

（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，试求A，B两点间的距离。

3.已知曲线C的极坐标方程是p=1，以极点为坐标原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C经过伸缩变换

（1）设曲线C上任意一点为M（x，y），求x一3y的最小值;

（2）求曲线E的直角坐标方程，以及直线l被曲线E截得的弦AB的长。

4.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的

坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

（1）写出曲线C的普通方程和极坐标方程;

（2）M，N为曲線C上两点，若OM上ON，求|MN|的最小值。

5.在平面直角坐标系xOy中，直线l的

坐标原点0为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（1，0），曲线

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;

（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的取值范围。

6.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2sin0+2acos0（a》0）;直线l的参数方程为交于M，N两点。

（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;

（2）若点P的极坐标为（2，兀），|PM|+|PN|=52，求a的值。

7.在平面直角坐标系xOy中，曲线C

标原点0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=

（1）写出曲线C的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;

（2）若点P的直角坐标为（0，-1），曲线C与曲线C，交于A，B两点，求|PAI+|PB|的值。

8.在直角坐标系xOy中，曲线C的参x=/3+3cosa（a为参数）。以数方程为y=1+3sina

坐标原点0为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为0。cosl0兀＼）=1。

（1）写出曲线C的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;

（2）设曲线C与曲线C2交于M，N两点，P为曲线C上的动点，当点P到曲线Cz的距离最大时，求△PMN的面积。

9.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数x=3cosq-4sinq，

方程为

y=5cos9+：5sinP

以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为posin（0+3）=/3。

（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;

（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，M（2，0），求|MP1+|MQ|的值。

10.已知函数f（x）=|x-3+|x-1|。（1）求不等式f（x）《6的解集;

（2）设f（x）的最小值为M，正数a，b满足a'+46'=M，证明：a+2b》4ab。

11.已知函数f（x）=|x+al+|x-2|。（1）当a=1时，求不等式f（x）》7的解集;（2）若f（x）《lx-4|+|x+2a|的解集包含【0，2】，求实数a的取值范围。

12.已知函数f（x）=|2x-3|+|x+a|（a>0）。

（1）若a=1，求不等式f（x）》3的解集;

（2）若f（x）》a'-a+2-恒成立，求实数a的取值范围。

13.已知函数f（x）=|ax+1|+|.x-1|。（1）若a=2，解关于x的不等式f（x）《9;

（1）解不等式f（x）》-3x+4;

（2）若函数f（x）的最小值为a，且m的最小值。n=a（m》0，n》0），求

（1）求n的值;

（2）若三个正实数a，b，c满足a+b+

（1）解不等式f（x）《2x+3;

（2）若方程F（x）=a有三个解，求实数a的取值范围。

17.已知a》0，6》0，且a+6=1。

（1）若对于任意的正数a，b，不等式|2.x-11<1+六恒成立，求实数的取值范围;

（2）证明：（&+）（a*+6*）》1。

18.已知函数f（x）=|2x-a1+|x-a+1|。

（1）当a=4时，解不等式f（x）》8;（2）已知关于x的不等式f（x）》a

2在R

上恒成立，求实数a的取值范围。

参考答案：

1.（1）因为点M（po，0）在曲线C上，当0。=兀

兀=2/3，则点M的极坐

-时，po=4coso6

标为（2/3，）），化成直角坐标为M（3，3），/3

则kom=-，所以k，=一/3。

3

又因为点A的直角坐标为（0，4），则直线l的方程为y-4=-/3x，即/3x+y-4=0。

（2）设点P的极坐标为（p，0），因为点P在OM上日AP垂直于OM，点A（4，），所

以o=OP=0Asinl0AP=4sin0。

因为点P在线段OM上，且APLOM，曲线C：p=4cos0可转化为（x-2）*+y'=4，所以当点P与原点O重合时，0=0;当点P与点

2.（1）消去参数t得直线l：3x-4y+1=0，即3ocos0-4psin0+1l=0。

将直线l的参数方程转化成标准形式为

（2）点P的直角坐标为（-2，0），则点P在直线l上。

将直线l的参数方程化成标准形式为

直角坐标方程，整理得'-（32+2a）t'+4a+4=0。

因为直线l与曲线C交于M，N两点，所以0=（32+/2a）2-4（4a+4）》0，即

设M，N两点对应的参数分别为l'，I2'，由韦达定理得'+l'=3/2+/2at|'t，'=4a+4。

因为a》0，所以t'+l'》0，i，'l，'》0，所以l'》0，l'》0。

因为点P在直线l上，所以|PM|+|PN|=lt'l+|tz'l=i|'+t2'=3/2+/2a=52，解得a=2。

7.（1）由參数方程可得曲线C的普通方程为x-y-1=0。

（2）f（x）=lx+3l+|x-1l3|x-3-x+1|=2，M=2。因为a》0，6》0，所以要证a+2b≥4ab，需证（a+26）'》16ab*，即证a*+46*+4ab》16a*6。因为a+46'=2，所以需证2+4ab》16a'6*，即证8（ab）？-2ab-1《0，即证（4ab+1）（2ab-1）《0。因为4ab+1》0，所以需证ab《寸。因为2=a'+4b'》4ab，所以ab《寸成立，所以a+2b>4ab。

当x《-1时，由f（x）》7，得-2x+1》7，解得x《-3;

当-1《x《2时，f（x）≥7无解;

当x》2时，由f（x）》7，得2x-1》7，解得x》4。

所以当a=1时，不等f（x）》7的解集为（-，-3】U（4，+o）。

（2）f（x）《|x-4|+|x+2a|的解集包含【0，2】等价于|x+al-|x+2a|《lx-4|-|x-2|在【0，2】上恒成立。

当x∈【o，2】时，x+al-lx+2al《|x-4|-|.x-2|=2等价于（|.x+al-|x+2a|）mx《2恒成立，而x+a|-|x+2a|《|（x+a）-（x+2a）l=|a|，所以|a《2。

故满足条件的a的取值范围为【-2，2】。

作出函数F（xc）的图像，如图1所示，当直线y=a与函数y=F（x）的图像有三个公共点时，方程F（x）=a有三个解，由图可知1《a《3。

所以实数a的取值范围为（1，3）。

综上可得，实数a的取值范围为【-2，1】。

（责任编辑王福华）