运開几何意义破解绝对值不等式问题

丁红星

含绝对值不等式的常用解法有：

（1）基本性质法：对aER，I|《a台a《x《a;|lxl》ar《-a或》a。

（2）平方法：两边平方去掉绝对值符号。（3）零点分区间法（或叫定义法）：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解。

（4）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解。

（5）数形结合法：在平面直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解。

下面我们重点讲解如何运用几何意义，解答绝对值不等式问题。

问题一、利用几何意义解两项绝对值不等式

代数法与几何意义解决绝对值不等式问题的对比。

例1在实数范围内，求不等式|2x1|+|2x+1|《6的解集。

解法一：代数法解决绝对值不等式。分类讨论去掉绝对值符号解不等式。

评注：代数法解决绝对值不等式问题时，要根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合思想解决问题，这是常用的思维方法。利用零点分类讨论法解决绝对值不等式问题时，注意分类讨论要不重不漏。利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想;利用零点分段法求解，体现了分类讨论的思想。

问题二、利用几何意义解三项绝对值不等式

例2

解不等式|x-1|+|x-2|《

|x+1|。

解析：所求不等式的几何意义是在数轴上找出到点ξ=1与点2=2的距离之和不大于到点=一1的距离的所有流动点x。

结合图1进行判断，在?与之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到?与2的距离和正好是1，而到的距离是2+（x-1）=1+x（1

现在让流动点x由点向左移动，这样它到点的距离变小，而到点?与的距离增大，显然，合乎要求的点只能是介于=一1与=1之间的某一个点x。

由（1-x）+（2-x）《x-（-1），可得2再让流动点x由点2向右移动，虽然这种点到与的距离和与到的距离都在增加，但两相比较，到ε与的距离和增加的要快。因此，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点x而止。

由（xz-1）+（xz-2）《xz-（-1），可得《4。从而不等式的解集为3<.x<4。

评注：从以上解答过程中可以看到，解答该题的关键是把问题转化为“在数轴上观察动点x与几个零点间的关系”，从而获得所求不等式的解集。

问题三、利用几何意义或绝对值不等式的解集求参数的取值范围

例3若不等式|x+1|-|x-2|》k的解集为R，求实数k的取值范围。

解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，-1，2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于|PA|-|PB|》k恒成立。因为|AB|=3，即+1|-|x-2|≥-3，故当k《-3时，原不等式恒成立。

要使|x+1|-|-2|》k恒成立，从图像中可以看出，只要k《一3即可，故k《-3满足题意。

评注：解法一是利用数轴通过零点间的相互关系，找出使不等式恒成立时的参数k的取值范围;解法二是先把|x+1|-|x-2|构造为函数y=|xc+1|-|x-2|，再畫出分段函数的完整图像，对比两个函数y=|x+1|-|x-2|与y=k的图像，使得函数y=|x+1|-|x-2|的最小值恒大于k，从而求得k的取值范围。

（责任编辑王福华）