探究绝对值不等式中的“易错问题”

欧科学

《不等式选讲》在高考中主要围绕绝对值不等式的解法及简单不等式的证明展开，凸显不等式的工具性和应用性，本文针对绝对值不等式中的“易错问题”进行全方位的剖析。

一、求解绝对值不等式的解集时易忽略对参数的分类讨论

例/（2021年福建高三（理）模拟节选）已知函数f（x）=|ax+1|，aER。若关于x的不等式f（x）《3的解集为{x|-2《x《1}，求实数a的值。

错解：由f（x）《3得|ax+1|《3，即

剖析：求解中注意到不等式与对应方程之间的关系，但在解不等式组-4《ac《2时忽略了对参数的讨论，误认为a》0，凑巧求对结果。

正解2：由f（x）《3得|ax+1|《3，平方可得a'x？+2ax-8=0。

又f（x）《3的解集为{x|-2《x《1}，则当a=0时，不符合题意;当a0时，由二次不等式与二次方程的对应关系知，

反思：由绝对值不等式的解集求待定参数的问题，关键是用“定义法或平方法”去掉绝对值，正解1转化为一次不等式组的解集，正解2转化为二次不等式的解集，利用不等式与函数方程之间的一对应关系构建方程组求解，探究过程中应依据参数和零的大小关系合理进行分类。

二、证明绝对值不等式时易忽略二元变量的几何意义和绝对值不等式的性质

例2（2021年陕西西安模拟节选）已知函数f（x）=|2x-1|，xER。若对于任意

人求证，致使取值范围扩大，造成错误。

正解：利用待定系数法和绝对值不等式的性质进行解题。设2x-1=m（x-y-1）+n（2y+l）=mx+（2n-m）y+n-m，则

反思：二元变量的一次不等式组，实质为平面直角坐标系下的平面区域，由不等式组不能单独求，y的范围，否则会扩大范围，必须整体代换，用待定系数法沟通所求變量与已知变量的关系，借助绝对值不等式的性质放缩求解。形如y=|.xa|+|xb|的函数只有最小值;形如y=|.xal-|.xb|的函数既有最大值，又有最小值。

三、求含绝对值函数的最值时易忽略整体思维凑定值一次用均值不等式

例了（2021年广东高三二模（理）已知函数f（x）=|x|-|x-m|的最大值为3。若

剖析：错解中挖掘隐含条件去掉绝对值符号，注意到凑定值两次使用均值不等式，但忽略两次取等号的条件是否一致，凑巧求得最小值。

正解：以上过程同错解，得到0《x《3，

反思：以绝对值函数为背景，利用绝对值三角不等式可以求出一元变量的绝对值和的最小值或绝对值差的最大值，关键在于凑出和或差为定值;用均值不等式求最值时常常应用“1”的整体代人展开凑积为定值一次用不等式，试回味本题中f（x）=|x|-|x-

四、证明绝对值不等式时易忽略基本的思维方法“比较法、分析法及平方法”

例4（2021年宁夏银川一中高三）已知f（x）=|x-1|+|x-2|，使得函数f（x）》2的的取值集合为M。求证：对任意实数a，b（a≠0），当ECM时，|a+b|+|a-bl》|a|f（x）恒成立。

所以所证命题成立。

剖析：错解中运用了分析法和综合法，但忽略了对f（x）》2的解集为

反思：证明含有绝对值的不等式的思路：一是恰当地运用绝对值三角不等式||a|-|6||《|a+b|《|a1+|6|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件;二是把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法、分析法、放缩法等进行证明。

（责任编辑王福华）