动静转换中的“供求关系”

刘建蓉　陈秋雄

摩擦力相关的动静转换问题，是高中力学的学习难点，也是高考考查的重点。当多个相互接触的物体之间存在相对运动的趋势，由于场景可能性多，学生很难判断物体动静状态的转换。通过研究动静转换过程的“供求关系”，推演出一些辅助判断的二级结论，能够高学生解决此类问题的效率。

两个物体是否发生相对运动，可以依靠动静转换中的“供求关系”进行判断。需求方是维持相对静止需要的静摩擦力，供给方为接触面能够提供的最大静摩擦力，其大小通常由滑动摩擦力大小替代。当作驱动物体运动的外力小于最大静摩擦力，即供大于求，两物体保持相对静止。反之，当供不应求，两者发生相对运动。从“供求关系”入手，可以推演出一些实用的二级结论，提升解决问题的效率。

一、 用μ=tanθ判断物体能否与停在斜面上

静止在斜面上的物体，因重力作用，物体有下滑的趋势，需要静摩擦力f=mgsinθ才能保持静止。另一方面，物体与斜面间能提供的最大静摩擦力为fm=μmgcosθ。当μmgcosθ>mgsinθ，即μ>tanθ，供大于求，物体能够停在斜面上。反之，当μ

用μ=tanθ也可以判断物体能否与传送带保持相对静止。例如，传送带与水平面夹角θ = 37°，皮带以v = 10m/s的速率运动，皮带轮沿顺时针方向转动，如图所示。今在传送带上端A处无初速地放上一个质量为m = 0.5kg的小物块，它与传送带间的动摩擦因数为μ=0.5，若传送带A到B的长度为L = 16m，g取10m/s2，则物体从A运动到B的时间为多少？

解决问题的关键在于确定物体从A运动到B的运动场景，分析可发现，物块在1s后与传送带达到共速。之后物块可能与传送带相对静止，也可能相对传送带运动，继续加速到B点。應用“供求关系”分析，保持物块相对传送带静止的需求方为tan37°=0.5，大于供给方μ=0.5，即供不应求，物块无法与传送带保持相对静止，由此可判断物块继续加速到B点。

二、用μg=ω2r判断物块能否随圆盘匀速转动

为保持物块随圆盘匀速转动，需要静摩擦力为f = mω2r，而转盘与物块间的最大静摩擦力为fm = μmg。当供求大于求μmg>mω2r，即μg>ω2r，物体能够随圆盘匀速转动。反之，当μg<ω2r时，则供不应求，物体无法随圆盘匀速转动。μg是描述斜面粗糙程度的物理量，代表供给方，ω2r描述转速和物块距中心的位置，代表需求方。当μg=ω2r时，供需刚好达到平衡，物体恰好随圆盘匀速转动。

三、用μ=μ2判断物体是否能够随长木板一起减速

设物块与长木板间的动摩擦因数为μ1，长木板与地面间的动摩擦因数为μ2。为保证物块能够停在长木板上，随长木板沿粗糙水平面减速运动，需要的静摩擦力为f = ma = μ2mg，而物块与长木板的间的最大静摩擦力为fm= μ1mg。当供求大于求μ1mg>μ2mg，即μ1>μ2，满足相对静止的条件，物体能够随木板一起减速。反之，当μ1<μ2时，则供不应求，物体无法随木板一起减速，两者会发生相对运动。发在相对运动时，长木板在上下两个摩擦力共同作用下减速，减速的加速度大，速度减的比较快，首先停止运动。物块加速度相对较小，速度减的比较慢，能够跑的更远一些。在这个场景中，μ1代表着供给方，μ2代表着需求方。当μ1=μ2时，供需刚好达到平衡，物体恰好能够随木板一起减速。

四、根据动静转换的“供求关系”，继续推演二级结论

课后学生在解题过程中，发现用μ2与tanθ-μ1的大小关系，可以判读物体是否能够沿斜面一起加速。学生遇到了如图所示场景，质量为m的物块叠放在长木板上，物块与长木板间的滑动摩擦因数为μ1，长木板与斜面之间的摩擦因数为μ2，长木板沿斜面下滑。若物块能够停在长木板上，物块与长木板整体的加速度为a=gsinθ-μ2mgcosθ。为保证物块能够停在长木板上，需要的静摩擦力为f = ma = gsinθ-μ2mgcosθ。而物块与长木板的间的最大静摩擦力为fm = μ1mgcosθ。当供求大于求μ2mgcosθ>mgsinθ-μ1mgcosθ，即μ2>tanθ-μ1，满足相对静止的条件，物体能够随木板一起减速。反之，当μ2

用“供求关系”来进行动静转换的判断，首先要假设两者能够相对静止，然后同时分析维持相对静止需要的力，和接触面能够提供的最大摩擦力，最后进行对比，得到结果。在教学中引入学生熟知的“供求关系”，有效突破了动静转换的教学难点，揭开了自然学科和社会科学内在的共通性。