乳胶气球浮力变化分析与垂直运动轨迹模拟

朱华健，李凡珠，谌志鹏，何 红，肖迪娥，张立群

（1.北京化工大学 有机无机复合材料国家重点实验室，北京 100029；2.北京化工大学 机电工程学院，北京 100029；3.中国化工株洲橡胶研究设计院有限公司 临近空间探空气球材料与技术湖南省重点实验室，湖南 株洲 412000）

临近空间通常是指离地面20～100 km范围的空域，其下是传统航空器的活动空间，其上是航天器的运行范围。临近空间浮空器是一种主要依靠浮力对重力进行平衡，能够长时间滞空并执行任务的飞行平台，主要包括高空气球和平流层飞艇两大类[1]。其中高空气球不需要推进装置，具有飞行高度大、成本低、准备时间短、使用灵活等特点。目前广泛应用的高空气球主要有零压气球、超压气球和乳胶气球[2]。

零压气球的底部设有排气管道，当达到最大体积后，产生自由升力的浮升气体从排气管道排出，气球高度随之保持稳定。但是由于浮升气体的密度随大气的昼夜温度差而变化，零压气球内的浮升气体不可逆地排出，导致浮力减小，滞空时间有限。超压气球采用封闭结构，蒙皮为高强度塑料，升空过程中可以承受浮升气体与大气之间的压力差而使气球体积不变，因此浮力基本稳定，可以实现超长时间滞空，但其成本昂贵（超过数万美元[2-3]）。乳胶气球是以天然胶乳为主要原料，再配合适量助剂加工而成，其拉断伸长率极高。乳胶气球在升空过程中不断膨胀，直至球皮的拉伸强度超过极限，气球破裂，探测结束。乳胶气球具有成本低廉、施放方便、使用灵活的特点，探测高度在30 km左右，如中国化工株洲橡胶研究设计院有限公司2010年研制开发的750Ⅱ型气象乳胶气球的平均升空高度在29 km以上。本研究正是基于此型号乳胶气球而展开[4]。

世界很多科研机构在研究高空气球，如美国国家航空航天局（NASA）、法国国家空间研究中心、日本宇宙科学研究所、中国科学院光电研究院气球飞行器研究中心等。其中NASA在1989年就开始对长时滞空气球进行研究。1989—1994年，NASA进行了长时气球（LDB）[5]工程，旨在开发能在南极和中纬度地区飞行的长时零压气球。1994年，NASA开始了长时气球飞行器（LDBV）[6]的研究计划，对气球蒙皮材料和超压技术进行研究，大大减小了昼夜浮升气体温度差导致的超压气球飞行高度变化。1997年，NASA开展超长时气球（ULDB）[7]的研发，通过采用新型的材料和结构设计，提高了超压气球的超压承受能力和延长了飞行时间。

尽管零压气球和超压气球具有更长的滞空时间和更大的负荷能力，但是成本远远高于乳胶气球。因此仍然有研究团队在对乳胶气球进行开发和改进，目前国内的气象台站也基本采用乳胶气球作为探空仪器的载体进行高空探测。

斯坦福大学的Sushko等开发了一种乳胶气球（ValBal），通过控制ValBal向外排气和向下抛重物，使其在10～25 km范围内任意高度保持稳定，并大大延长了滞空时间。在2016年11月的试验中，其飞行时间达到79 h，从美国加州飞至加拿大的魁北克，飞行里程达到5 633 km（3 500英里）[2]。2017年，该团队通过对ValBal的机械结构和控制系统进行改进，于12月创下了121 h的最长飞行时间记录。至此，该团队已先后5次打破乳胶气球飞行时间的世界纪录。ValBal的成本在1 000美元以下，远低于同等性能的零压气球和超压气球[8]。而目前国内对乳胶气球的研究仍然不够。

本课题组联合临近空间探空气球材料与技术湖南省重点实验室对乳胶气球进行研究，基于理想气体状态方程对乳胶气球浮力进行推导计算，分析乳胶气球内外气压差以及昼夜浮升气体温度差对其浮力及运动产生的影响；通过对中性浮力的推导和计算，得到中性浮力高度与浮重比的关系，确立乳胶气球在特定高度水平漂浮的原理和条件；在合理假设的基础上，建立乳胶气球的几何模型、大气模型以及动力学模型，利用开发的算法，结合施放试验数据，对乳胶气球的垂直运动轨迹进行模拟预测，分析阻力系数对模拟结果的影响，从而为乳胶气球的进一步研究和实际施放提供参考。

1 乳胶气球浮力变化分析

对于乳胶气球浮力变化的分析，从最基本的理想气体状态方程开始：

式中：P，V，n和T分别表示气体的压力、体积、物质的量和温度；R为理想气体常数，取值8.314 J·（mol·K）-1。

1.1 乳胶气球内外气压差对浮力的影响

图1所示为试验测得的10 km海拔高度范围内乳胶气球内外气压差与海拔高度的关系曲线。从图1可知，在10 km海拔高度范围内气球内外气压差在0～150 Pa之间，这与A.Sushko等[2]的研究中乳胶气球内外气压差保持在150 Pa范围内的要求吻合。故将气球的内外气压差设为150 Pa，并求出气球内外气差与大气压的比值。

图1 乳胶气球内外气压差与海拔高度的关系曲线Fig.1 Relationship curve of gas pressure difference inside and outside latax balloon and altitude

图2所示为乳胶气球内外气压差、大气压以及两者的比值。

从图2可以看出，气球内外气压差在25 km高度范围内比大气压小1个数量级以上，故可忽略。则根据式（4），乳胶气球浮力几乎不受内外气压差的影响，保持恒定。

图2 乳胶气球内外气压差与大气压的比值Fig.2 Ratio of gas pressure difference inside and outside latex ballon to atmospheric pressure

1.2 昼夜浮升气体温度差对乳胶气球浮力的影响

温度也是影响乳胶气球运动的重要因素。在忽略气球内外气压差的条件下，结合理想气体状态方程，气球浮力可以表示为：

式中，T0和T分别表示变化前后的温度，FB0和FB分别表示温度变化前后的气球浮力。

图3所示为乳胶气球内浮升气体（氢气）昼夜温度的测试值。由图3可知，高空中夜晚的氢气温度明显低于白天的氢气温度，这主要由白天的太阳辐射导致。由式（6）可知，氢气温度的变化将导致乳胶气球的浮力产生同等比例的变化。因此若乳胶气球在高空中漂浮，昼夜交替产生的氢气温度差会导致气球运动状态发生改变。对于普通的乳胶气球，难以实现在高空滞留过夜。因此，若要使乳胶气球实现长达数天的滞空，需要加装排气和抛下配重装置：夜晚温度降低导致浮力减小，适量抛下配重进行平衡；白天温度升高，则需排出一定量的浮升气体，以减小浮力。

图3 乳胶气球浮升气体昼夜温度的测试值Fig.3 Day and night temperature test data of lifting gas of latex balloon

1.3 乳胶气球中性浮力

结合经典的美国标准大气1976年模型[1，9]，对乳胶气球达到中性浮力的具体高度进行计算。试验中采用氢气作为浮升气体。

不考虑气球内外温度差，设气球内外气压差为150 Pa。根据大气模型，利用Matlab软件编写程序，对式（10）进行求解，得到实现中性浮力的海拔高度为44 377 m。而普通乳胶气球的最大飞行高度约为30 km，在达到中性浮力前气球即发生了破裂。

当浮重比等于0时，乳胶气球在地面即达到中性浮力。取不同的浮重比，即改变净举力，得到中性浮力高度与浮重比的关系曲线，如图4所示。

图4 乳胶气球中性浮力高度与浮重比的关系曲线Fig.4 Relationship curve of equilibration hight and buoyancy to weight ratio of latex balloon

对于乳胶气球的中性浮力高度，图4的结果与A.Sushko等[8]的研究结果呈现一致性。由图4即可根据实现中性浮力的目标高度得到所需的氢气充气量，如若要使乳胶气球在30 km高度处达到中性浮力，则地面的浮重比约为0.13，即需要控制FL为0.19 kg。而乳胶气球若要在更大的高度实现平衡，则需要进一步提高球皮材料的拉断伸长率，保证其在达到中性浮力前不发生破裂。

通过理论推导，分析气球内外气压差和昼夜浮升气体温度差对乳胶气球浮力的影响，讨论了乳胶气球运动的特点以及难以长时间滞空和过夜的原因；再通过对中性浮力的计算，得到中性浮力高度与浮重比的关系，这对乳胶气球的施放工艺具有指导意义。以上研究均基于理论推导，只能对乳胶气球在某一特定条件下的状态进行表征，而不能直观地预测其运动轨迹。下面通过建立算法模型对乳胶气球升空过程中的垂直运动轨迹进行模拟预测。

2 算法模型的建立

为了实现对乳胶气球垂直运动轨迹进行模拟预测，在如下假设的基础上，建立了几何模型、大气模型和动力学模型。

（1）乳胶气球的形状始终为球形。

（2）乳胶气球内外温度和气压均相等，Pgas＝Pair，Tgas＝Tair。

（3）浮升气体采用纯氢气，且上升过程中不存在漏气。

（4）不考虑大气湿度、风等其他因素的影响。

2.1 几何模型

根据地面处的受力分析，乳胶气球初始体积为：

2.2 大气模型

本算法采用施放试验中实际测得的大气温度与大气压数据（如图5和6所示）。大气温度随海拔高度呈现出先降低后升高的趋势，最低温度低于－70 ℃。当海拔高度在0～16 km范围内，每升高1 km，大气温度下降约5.7 ℃；当海拔高度在16～27 km范围内，每升高1 km，大气温度升高约2.2 ℃。

图5 大气温度与海拔高度的关系曲线Fig.5 Relationship curve of atmospheric temperature and altitude

图6 大气压与海拔高度的关系曲线Fig.6 Relationship curve of atmospheric pressure andaltitude

根据理想气体状态方程，即可由大气温度与压力得到大气密度为：

2.3 动力学模型

高空乳胶气球的浮力由浮升气体与周围大气的密度差产生，以帮助探测系统克服重力和阻力升空并驻留。系统在垂直方向上的运动微分方程为[10-11]：

阻力系数为气球系统形状以及雷诺数（Re）的函数；虚拟质量系数由气球的尺寸和形状决定，取值范围为0.25～0.5。本算法参考I.V.Dosselaer[12]的研究，取值为0.37。

3 模拟结果分析

基于上述模型，采用Matlab软件开发的算法可对乳胶气球垂直运动轨迹进行模拟预测，同样采用乳胶气球高空探测数据。

阻力系数为算法模型中重要的影响因素，存在多种取值方法。将气球形状简化为球形后，阻

除了以上根据雷诺数进行阻力系数的取值方法外，也有部分研究阻力系数取定值，如ACHAB算法[16-17]和SINBAD算法[18]中阻力系数取值为0.45，BADS算法[12]中阻力系数取值为0.55。

根据雷诺数（102～106）对阻力系数进行取值的方法如图7所示。根据A.Gallice等[19]的研究，对于地面半径约为1 m的探空气球，在其升空过程中，雷诺数从地面的8×105～9×105逐渐减小至30 km处的6×104～9×104。

图7 根据雷诺数对阻力系数进行取值的方法Fig.7 Methods to determine values of drag coefficient based on Reynolds number

将动力学模型中的阻力系数分别按以上方法取值，基于本算法，得到的乳胶气球垂直运动轨迹如图8所示。

图8 不同阻力系数取值对应的乳胶气球垂直运动轨迹模拟结果Fig.8 Simulation results of vertical trajectory of latex balloon corresponding to different drag coefficients

分别计算以上各阻力系数取值方法得到的结果与试验结果的相对平方误差（E），计算公式如下：

式中，N为数据点数量，Hsimulation为模拟得到的高度，Htest为试验测得的高度。

Carlson模型、Morris模型、Conner模型、阻力系数为0.45和阻力系数为0.55的E分别为34.80，76.44，1 785.82，12.35和72.15。

根据误差计算结果，当阻力系数为0.45时，模拟得到的乳胶气球垂直运动轨迹与试验数据最为吻合。从图8可以看出，与试验结果相比，模拟结果具有较高的精确度，说明建立的模型可以用于对乳胶气球垂直运动轨迹的模拟预测。当阻力系数为0.45时，程序运行得到的乳胶气球状态（浮力、阻力、速度、加速度）变化如图9和10所示。

图9 乳胶气球升空过程中浮力和阻力的变化Fig.9 Changes of buoyancy and drag force of latex balloon during lift-off process

图10 乳胶气球升空过程中速度和加速度的变化Fig.10 Changes of velocity and acceleration of latex balloon during lift-off process

对浮力、阻力和加速度的均值进行求解，并计算其方差，以衡量离散程度，计算结果如下：浮力、阻力和加速度的均值分别为26.83 N，13.64 N和0.002 8 m·s-2；均值方差分别为0.011 8 N2，0.035 1 N2和0.005 2 m2·s-4。

综上可以看出，乳胶气球升空过程中，其浮力和阻力基本保持不变，与1.1节中理论推导的结果一致。乳胶气球升空过程中的加速度同样几乎恒定，速度随高度增大而增大。

4 结论

（1）在25 km高度范围内，当温度恒定，乳胶气球内外气压差对浮力的影响可以忽略，浮力几乎恒定。

（2）由昼夜浮升气体温度差导致乳胶气球浮力变化，这是普通乳胶气球难以在高空滞留过夜的原因，可以通过控制气球排气和抛重物延长滞空时间。

（3）乳胶气球在未破裂的前提下，必定在某一高度达到中性浮力，从而实现水平漂浮。可以通过控制乳胶气球净举力与系统总质量的比值来控制这一高度。

（4）将乳胶气球形状简化为球形，忽略气球内外温度差和气压差，在不考虑气体纯度、漏气、大气湿度、风速等因素的前提下建立的算法模型，可以较好地模拟预测乳胶气球的垂直运动轨迹，且阻力系数为0.45时得到的模拟结果精确度最高。乳胶气球升空过程中的浮力、阻力和加速度几乎不变，速度增大。

（5）通过理论推导分析了乳胶气球浮力的变化，为深入探讨乳胶气球运动的特点提供了借鉴。通过建立算法模型，对乳胶气球升空过程中的垂直轨迹进行了模拟，可以直观地预测其运动状态，从而指导实际施放工艺。但是本研究在理论推导和模型建立过程中进行了一系列假设和简化，包括乳胶气球形状、气球内外气压差和温度差、大气中其他要素的影响等，这些因素对试验结果的影响仍然有待分析和研究。