舞台机械紧凑型卷筒轴强度计算与对比分析＊

田海弘 刘 榛

浙江大丰实业股份有限公司 余姚 315400

0 引言

为了适应和满足文化的发展和需求，近些年来，在国内出现了大量的剧场、秀场、多功能厅、音乐厅和基层文化综合体等文化演出场所。直接或间接为舞台表演活动服务的舞台机械设备提出了各种满足特定应用场所的要求，在多功能或基层文化综合体中，往往要求在有限的空间结构中能够容纳尽可能多的结构，使机械设备满足紧凑外形的情况下能够实现尽量多的功能，其传动机构的小型化成为一个重要技术指标。

设计时，在满足安全和性能要求的前提下，选用的减速器体积应尽可能小，不仅可以实现传动设备的紧凑化，而且还能降低设备的成本。如图1所示，为了有紧凑的结构，在舞台机械中，卷扬机卷筒轴与减速电机之间常采用直接套装的结构，但采用这种结构需解决卷筒轴与减速器空心轴之间的匹配问题，目前常见的问题是标准减速器的额定传递力矩通常较大，而同等直径的卷筒轴根据相关计算其强度无法满足要求，在这种情况下，设计者不得不选择更大型号的减速器才能实现上述结构，这不仅使传动机构体积变大，还增加了设备的成本。针对上述问题对舞台机械设备中轴的强度计算进行深入研究，根据舞台机械设备在安全性能方面的要求，进行了有针对性的分析和归纳。

图1 卷扬机卷筒轴的典型安装示意图

1 卷筒轴的强度计算方法分析

以卷扬机卷筒轴为例，对舞台机械设备中类似轴进行强度计算和对比分析[1]，轴的强度计算分三种情况按扭转强度计算、按弯扭合成强度计算和精确强度校核计算进行讨论。

1.1 按扭转强度计算

按扭转强度计算适用于只传递扭矩不承受弯矩的计算，对于如图1所示的卷筒轴，在传递扭矩的过程中，还需承受电机减速器的重力所产生的弯矩，由于该弯矩不大，根据机械设计手册[2]的推荐，它可采用降低许用应力的办法按照扭转强度式（1）进行轴径估算。

式中：d为轴端直径，T为传递转矩，A为键槽增大系数（舞台机械设备中通常采用单键形式，取A=1.05），τp为许用扭转切应力，表1给出了卷筒轴常用材料的τp值，考虑了弯曲影响而降低的许用扭转切应力值。

表1 卷筒轴常用材料的τp值 MPa

在舞台机械设备的设计中，目前比较普遍采用式（1），利用降低的许用扭转切应力τp值对轴进行计算校核，若计算发现轴径不能满足要求，可通过放大轴的直径和改变轴的材料来解决。但在表1中可以发现，即使采用性能最佳的合金钢，τp最大也只能取到55 MPa，在此情况下，似乎只有通过加大轴径来解决问题，而这又导致其与选好的减速器空心轴产生不匹配，不得不加大减速器的型号，违背了舞台机械设备紧凑化的设计意图。在此情况下，往往会认为是强度计算的规定[3]限制了轴的选择，实际上，利用式（1）和表1的计算，只有当轴上的弯矩不大时，仅作为对轴强度的估算，进一步可采用按弯扭合成的强度计算和精确强度校核计算的方法。

1.2 按弯扭合成强度的计算

当轴上的载荷和轴的结构已经确定时，可按弯扭合成的方法对卷筒轴的强度进行计算，其计算结果是偏于安全的，具体计算为

式中：d为轴端直径，A为键槽增大系数，M为轴所受弯矩，T为轴所受转矩，ψ为校正系数，由扭转切应力变化来确定，σ+1p、σ0p、σ-1p分别为材料在静应力、脉动循环应力和对称循环应力状态下的许用弯曲应力。

式（2）中，除参数ψ与扭转切应力的变化形式有关外，其他参数与卷筒轴材料和结构有关。针对舞台机械设备的卷筒轴的强度计算，关于参数ψ的选择具体分析和讨论如下：

1）对于舞台机械设备的卷筒轴，其扭应力均会随着机械的启动和停止产生变化，不存在扭转切应力不变化的状况。

2）对于水平运动的舞台机械设备，在运动的过程主要是利用驱动力去克服摩擦阻力，而摩擦阻力的方向与车台的运动方向和运动趋势相关，若该水平运行的设备是用卷扬机作为驱动机构，则施加在卷筒轴上的作用力方向会随着设备运行方向的变动而产生变化，从理论上讲，在两个相反的运动方向需要的驱动力大小相等、方向相反，因此卷筒轴上扭转切应力的变化属于对称循环的范畴，即ψ=σ-1p/σ-1p≈ 1。

3）对于带有平衡重的舞台机械升降设备，若其平衡重与承载件和负载基本平衡，作用在卷筒轴上的力主要是由于摩擦阻力和惯性力，其作用力的方向会随着设备的升降而产生变化，所以其扭转切应力的变化属于对称循环的范畴，即 ψ = σ-1p/σ-1p≈ 1。

4）对于不带平衡重的舞台机械升降设备，其运动的过程主要是利用驱动力去克服承载件的重力和负载，无论设备上升或下降，重力和负载的方向始终是垂直向下的，施加在卷筒轴上的作用力方向不会随着设备运行方向的改变而变化，同时考虑到舞台机械升降设备在一定周期内的启停动作产生的摩擦力和惯性力的变化，以及在不同演出场景条件下负载的不同，使轴上的扭力的大小呈现出一定的周期性变化，故卷筒轴上扭应力的变化属于脉动循环的范畴，即ψ=σ-1p/σ0p≈0.6。

1.3 精确强度校核计算

轴采用安全系数进行校核计算。舞台机械设备中的卷筒轴应属于设备中关键零件，同时，在舞台机械相关标准中规定：所有驱动系统的零部件应能承受2倍特征载荷（在正常运行情况下，作用于舞台机械设备上的最大载荷，包括额定工作载荷、运动承载件自重、正常运行情况下的动态作用力），这里隐含了安全系数的概念，故精确强度校核计算的方法适合舞台机械设备中卷筒轴的强度计算。精确强度校核计算包括疲劳强度[4]安全系数校核和静强度[5]安全系数校核两个方面的内容。

1.3.1 疲劳强度安全系数校核

疲劳强度安全系数校核的计算为

式中：Sp为许用安全系数，对于舞台机械设备，由于其载荷确定精确，应力计算准确，在机械设计手册中提供的许用安全系数为Sp=1.3～1.5，又考虑到舞台机械设备较大安全性的要求，可以适当加大，推荐取Sp=1.6为宜；Sσ为只考虑弯矩作用时的安全系数；Sτ为考虑扭矩作用时的安全系数；σ-1、τ-1为对称循环应力下的材料弯曲和扭转疲劳极限；Kσ、Kτ为弯曲和扭转时的有效应力集中系数；β为表面质量系数；εσ、ετ为弯曲和扭转时的尺寸影响系数；ψσ、ψτ为材料拉伸和扭转的平均应力折算系数；σa、σm为弯曲应力幅和平均应力；τa、τm为扭转应力幅和平均应力，对于舞台机械设备卷筒轴的精确强度校核计算，参数σa、τa、σm、τm的选择为：

1）如图1所示，对于卷筒轴的弯曲应力，其主要是由减速器的重力作用而产生，在卷筒轴转动过程中，对于轴上某个确定的点，它所承受的弯矩是周期性变化的，轴旋转1圈是其变化周期，且在该周期内其两个峰值弯矩的方向是相反的，属于对称循环，故有

式中：Z为轴危险截面上的抗弯截面系数，M为轴所承受的弯矩。

2）对于卷筒轴的扭转应力，其主要是由承载件的自重和负载作用而产生，它属于不带平衡重的舞台机械升降设备，属于脉动循环，故有

式中：Zp为轴险截面上的抗扭截面系数；T为轴所承受的扭矩，根据舞台机械相关标准中规定，在校核计算时，参数T（轴所承受的扭矩）应选取为2倍的特征载荷。

与弯扭合成强度计算式（2）相比，在疲劳强度安全系数校核中，引入了更多的轴相关的系数，如有效应力集中系数（Kσ、Kτ）、表面质量系数（β）和弯曲和扭转时的尺寸影响系数（εσ、ετ）等，显然，其计算的结果会更加精确客观。从式（4）～式（7）中各参数的含义分析可知，增大轴的安全系数，可以通过增大轴的直径去实现，还可以通过改进轴的结构、降低应力集中、提高轴的表面质量、采用热处理或改用较高强度的材质去实现。

1.3.2 静强度安全系数校核

静强度安全系数校核的目的是为了校验轴对塑性变形的抵抗能力，即校核危险截面的静强度安全系数。轴的静强度计算是根据轴上作用的最大瞬时载荷（包括动载荷和冲击载荷）进行的。静强度安全系数校核为

式中：SSP为静强度的许用安全系数，如果选用轴材料为 40Cr（σs/σb=550/750=0.73），同时考虑到舞台机械设备安全要求的特殊性，取机械设计手册推荐的最大值SSp=2.2；SSσ为只考虑弯矩作用时的安全系数；SSτ为只考虑弯矩作用时的安全系数；Z、ZP为轴的抗弯和抗扭截面系数；σs、τs为材料的拉抻和扭转屈服点；Mmax、Tmax为轴的最大弯矩和扭矩。

如图1所示，卷筒轴端所承受最大弯矩Mmax主要由减速电机的重力产生，它是一个固定不变的值；对于卷筒轴的最大扭矩Tmax，在计算时，应将2倍的特征载荷作为其计算输入值。

2 卷筒轴的强度计算的举例分析

为了便于对卷筒轴的计算有更加直观的理解，列举卷筒轴强度计算实例，并对计算结果进行相应的分析。计算用原始参数及载荷计算如表2所示。

表2 设计计算原始参数

2.1 按照扭转强度公式计算

根据扭转强度式（1），有

计算结果大于图1所示的减速器空心轴的直径70 mm，且许用扭转切应力τp选取了表1相关取值范围的最大值，说明用式（1）校核轴的直径偏小，只有增加卷筒轴的直径才能满足扭矩的传递，但这需要选取更大的减速器，无法满足设备紧凑化的要求，而且还会使设备的成本增加。

2.2 按弯扭合成强度计算

根据弯扭合成强度式（2），有

计算结果大于减速器空心轴的直径70 mm，且其脉动循环许用弯曲应力选取了上限值：σ-1p=90 MPa，说明用式（2）校核轴的直径偏小，但从具体计算的数值可以看出，用弯扭合成方法计算得到的结果要好于按照扭转强度公式估算的结果，但随着弯矩的增大，用按弯扭合成强度计算的轴径也随之增大，经过验算得到，当弯矩M=2 492 Nm时，用式（2）计算获得的轴径与式（1）计算的轴径相等均为78.4 mm，此时轴的弯矩与扭矩的比值为0.55。在机械设计手册中提到，当弯矩不大时，可以采用式（1）进行轴径估算，但其没有给出具体的弯扭占比值，从上述计算结果可以看出：当弯矩小于扭矩的一半时，采用扭转强度式（1）进行估算的轴径不会小于按弯扭合成强度式（2）计算的轴径。

2.3 精确强度校核计算

精确强度计算过程中用到的各参数值汇总如表3所示，参数的选择均按照机械设计手册的相关表格和要求获得。

表3 精确强度计算各参数取值

1）疲劳强度安全系数校核计算：

根据式（4）和式（5），以及表3的相关参数计算得到

根据式（4）计算得到

计算得到的疲劳强度安全系数大于许用安全系数Sp=1.6，满足设计安全要求。

2）静强度安全系数校核计算

根据式（9）和式（10），以及表3的相关参数计算得到

根据式（8）计算得到

计算得到的静强度安全系数大于许用安全系数SSp=2.2，满足设计安全要求。

在上述疲劳强度安全系数校核和静强度安全系数校核计算的过程中，同样是根据舞台机械设备的相关要求，选用2倍特征载荷产生的扭矩代入核算，但从计算结果看，卷扬机卷筒轴径70 mm满足设计安全要求，原选择的减速器与之匹配，产生该结果的原因是由于在精确强度校核计算的过程中，引入了更多轴的相关系数，使得计算结果不仅更加精确且更加接近实际工况。

3 结论

1）对于轴的强度校核计算，其计算结果的精确度依次按照扭转强度公式估算、弯扭合成强度公式计算、精确强度校核计算的顺序提高。当轴的弯矩不大时，可按降低许用扭应力采用扭转强度式（1）进行计算，但其仅作为对轴强度的一种估算，若其估算结果不能满足要求，可进一步用弯扭合成强度公式和精确强度校核进行计算去判断其最终是否满足强度要求。

2）当弯矩小于扭矩的一半时，可以采用降低许用应力的办法按照扭转强度式（1）进行轴径估算，其计算所得的轴径不会小于按弯扭合成强度式（2）计算的轴径，当弯矩超过扭矩的一半时，式（1）相对不适合对轴径进行估算，无法保证其计算结果的安全性。

3）在如图1所示的类似设备中，对于卷筒轴的弯曲应力，主要是由减速器的重力作用而产生，它所承受的弯应力呈周期性变化，属于对称循环。对于卷筒轴上的扭应力，其不同的变化形式对应着不同的强度计算结果，水平运动设备和带有平衡重（平衡重与承载件和负载基本平衡）的升降设备，其卷筒轴上扭转切应力的变化属于对称循环的范畴；不带平衡重的升降设备，卷筒轴上扭转切应力的变化属于脉动循环的范畴。

4）舞台机械相关标准[6]中规定了所有驱动系统的零部件应能承受2倍特征载荷，这里隐含了安全系数的概念，舞台机械设备中的卷筒轴适合采用精确强度校核计算的方法，且其计算结果更加客观准确。

5）在轴的强度计算和校核中，需注意设备可能产生较大的峰值载荷，峰值载荷通常发生在故障情况，如控制系统断电、卡阻停车和0类急停等，应将2倍的特征载荷与峰值载荷产生的扭矩进行对比，选取大者作为轴强度计算校核的输入值。

6）增加轴的强度不仅可以通过增大轴的直径达到，还可以通过改进轴的结构、降低应力集中、提高轴的表面质量、采用热处理或改用较高强度的材质实现。在舞台机械设备中，还有很多是类似于紧凑型卷筒轴的零件，其强度的计算校核同样可参考本文。