一类具多变时滞的高阶微分方程的Philos型准则

张 萍，杨甲山

(1.邵阳学院理学院，湖南 邵阳 422004； 2.梧州学院大数据与软件工程学院，广西 梧州 543002)

0 引言

振动性是微分方程有关理论的重要分支之一，它在自然科学和工程技术中有着广泛的应用，同时它也获得了学者们的广泛关注，并取得了许多研究成果[1-16].但关于同时具有阻尼项、正负系数、多变时滞及非线性中立项的n阶微分系统的研究却很少.考虑如下偶数阶微分方程的振动性：

(1)

(H1) 函数A，Pk，b，Qi，Rj∈C([t0，+∞)，[0，+∞))，k=1，2，…，h；i=1，2，…，m；j=1，2，…，l(下同，略).Bk，fi，gj∈C(R，R)并且uBk(u)>0(u≠0)，ufi(u)>0(u≠0)，ugj(u)>0(u≠0).

关于方程(1)的解及其振动性的定义，可参见文献[1-7，9-10，16].本文只讨论方程(1)的非平凡解.方程(1)包括了许多类型的微分方程，典型的如二阶Emden-Fowler型微分方程：

[A(t)|x′(t)|γ-1x′(t)]′+Q(t)|x(t)|γ-1x(t)=0，

(2)

{A(t)|[x(t)+p(t)x(τ(t))]′|β-1[x(t)+p(t)x(τ(t))]′}′+q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0.

(3)

以及具有正负系数的二阶延迟微分方程：

{A(t)[x(t)+P(t)x(t-τ0)]′}′+Q(t)f(x(t-σ0))-R(t)g(x(t-δ0))=0，

(4)

(5)

则方程(2)是振动的.

黄记洲等[3]则研究了二阶Emden-Fowler型微分方程(3)的振动性，并得到了该方程振动的Hille型如下振动准则：

则方程(3)是振动的.

仉志余等[4]研究了具有正负系数的二阶微分方程(4)的振动性，主要结果如下：

定理C[4]设0≤P(t)<1，Q(t)≥0且R(t)最终为负.进一步，如果

则方程(4)是振动的.

杨甲山等[5]则研究了较一般的具有正负系数的二阶微分方程(5)的振动性，进一步推广并改进了文献[4]的结果.而关于具有多变时滞和正负系数的n(n≥3)阶微分方程的振动性结果，目前还很少.本文将研究同时具有非线性中立项、阻尼项、正负系数及多变时滞的非线性偶数阶方程(1)的振动性，进一步改进、推广并拓展了现有文献中的研究成果.

1 几个引理

记

(6)

引理1[6]设u在[t0，+∞)上是正的n次可微函数，u(n)(t)最终定号，则存在t*≥t0和整数l(0≤l≤n)，当u(n)(t)≥0时n+l为偶数，当u(n)(t)≤0时n+l为奇数，使得：当l>0时有u(k)(t)>0，t≥t*，k=0，1，…，l-1；当l≤n-1时有(-1)l+ku(k)(t)>0，t≥t*，k=l，l+1，…，n-1.

引理2[6]设u满足引理1的条件，且u(n-1)(t)u(n)(t)≤0(t≥t*)，则对任何θ∈(0，1)，存在常数M>0，使得对一切充分大的t有u′(θt)≥Mtn-2u(n-1)(t).

引理5 设条件(H1)—(H6)成立，x(t)是方程(1)的最终正解，则

z(t)>0，z′(t)>0，z(n-1)(t)>0，z(n)(t)≤0.

(7)

(8)

由(6)式知ω′(t)=ω(t)b(t)/A(t)，所以

[ω(t)A(t)φ(z(n-1)(t))]′=ω(t){[A(t)φ(z(n-1)(t))]′+b(t)φ(z(n-1)(t))}<0.

(9)

因此ω(t)A(t)φ(z(n-1)(t))当t≥T时是严格递减的，且z(n-1)(t)最终定号.于是断言

z(n-1)(t)>0，t≥T.

(10)

若不然，即z(n-1)(t)<0，t≥T.由(9)式，得

ω(t)A(t)φ(z(n-1)(t))≤ω(T)A(T)φ(z(n-1)(T))=-C，

这里C=ω(T)A(T)[-φ(z(n-1)(T))]=ω(T)A(T)|z(n-1)(T)|γ-1[-z(n-1)(T)]>0是常数.于是由上式容易推得

两边积分，得

由(8)式，知

0≥[A(t)φ(z(n-1)(t))]′={A(t)[z(n-1)(t)]γ}′=A′(t)[z(n-1)(t)]γ+γA(t)[z(n-1)(t)]γ-1z(n)(t)，

由此可导出z(n)(t)≤0(t≥T).由于n是偶数，因此由引理1知l为奇数，所以z′(t)>0(t≥T).引理5证毕.

2 主要结果及证明

记D={(t，s)|t≥s≥t0}，D0={(t，s)|t>s≥t0}，称二元函数H(t，s)属于函数类Θ，记为H∈Θ，如果二元函数H(t，s)∈C(D，R)，且满足条件：

(ⅰ) 当t≥t0时H(t，t)=0，当(t，s)∈D0时H(t，s)>0；

定理1 设条件(H1)—(H6)成立.若有函数φ∈C1([t0，+∞)，(0，+∞))及H∈Θ，使得

(11)

(12)

则方程(1)振动.

证明若不然，则方程(1)存在非振动解x(t)，不失一般性，设x(t)>0，x(τk(t))>0，x(σ(t))>0，t≥T≥t0(若x(t)是最终负解时类似可证).由(7)式及引理2知，对任意0<θ<1，存在M>0，使得

z′(θσ(t))≥Mσn-2(t)z(n-1)(σ(t))≥Mσn-2(t)z(n-1)(t).

(13)

根据函数z(t)的定义，知x(t)≤z(t)，因此

即

(14)

定义如下Riccati变换：

(15)

显然有V(t)>0(t≥T)，应用(8)，(13)和(14)式，由(15)式可推出

注意到(12)式中关于函数Φ(s)的定义，当t≥T时，由上式可得

(16)

将上式中的t改为s，再两边同乘以H(t，s)后积分，并注意到函数h(t，s)的定义，则可得到

(17)

将引理4中的不等式应用于上式，并注意到函数ψ(s)的定义，则由(17)式进一步可得

(18)

因此

(19)

从而

故

注1 如果方程(1)中的n=2，m=1，Pk(t)≡0，b(t)≡0，Rj(t)≡0，f(u)=u，σ(t)=t，并在定理1中取φ(t)=1，H(t，s)=(t-s)k，则由定理1可得定理A；如果方程(1)中m=1，Pk(t)≡0，Rj(t)≡0，fi(u)=u，则定理1即为文献[10]中的定理3；若取H(t，s)=(t-s)k，则进一步可得文献[10]中的定理1；如果方程(1)中n=2，h=m=l=1，b(t)≡0，γ=1，B(u)=u，τ(t)=t-τ0，σ(t)=t-σ0，δ(t)=t-δ0，则定理1即为方程(5)的振动准则，但定理1中放弃了文献[4]的条件“R(t)最终为负”.关于方程(1)的特殊情形的其他振动准则，可参考文献[6-9，11-16].

当定理1中的条件(11)不成立时，则有

定理2 设条件(H1)—(H6)成立.若有函数φ∈C1([t0，+∞)，(0，+∞))，H∈Θ及ζ∈L2([t0，+∞)，R)，使得

(20)

(21)

对一切u≥T≥t0成立，并且函数ζ满足

(22)

其中函数Φ(s)，ψ(s)及h(t，s)的定义如定理1，则方程(1)振动.

证明同定理1的证明，得到(17)，(19)两式.由(19)式知，当t≥u≥T≥t0时，有

综合上式和(21)式，可得

(23)

根据(17)式，有

利用(23)式，由上式可推得

(24)

其中常数C0=-ζ(T)+V(T).由此可导出

(25)

(26)

这样，由(24)式可推出

(27)

综合(24)，(26)—(27)式知，存在充分大的自然数N，使得当n≥N时，有

于是，对正数0<ε<1，当n≥N时，容易导出

(28)

利用引理3(即Hölder不等式)，并注意到函数ψ(s)的定义，可推得

整理上式，并注意到(28)式及条件(20)，则有

即

这与(27)式矛盾!这就证明了(25)式成立.利用(23)式的第1个式子及(25)式，可得

这与条件(22)矛盾!定理2证毕.

例1 考虑具有正负系数的4阶变时滞微分方程

(29)

且当t→+∞时，有

所以条件(H1)—(H6)成立.现取φ(t)=1，H(t，s)=t-s，则当t→+∞时，有

于是由定理1知方程(29)振动.

显然，由于方程(29)的复杂性且是高阶(4阶)的，文献[1-16]中的定理均不能用于方程(29)的振动性判别.