定积分应用中微元分析法探讨

李继猛

(邵阳学院 理学院，湖南 邵阳 422004)

积分学是微积分学的重要组成部分，在几何、微分方程、物理、力学、电学、机械工程、自动控制等方面有着广泛的应用。如何将实际问题转化为定积分问题或用定积分来解决实际问题，微元分析法为解决这类问题提供了一个非常好的方法。当然，能用定积分来解决的问题必须满足一个先决条件就是：所求量（或总量）是一个与某区间或区域有关的量并对区间或区域具有可加性。下面我们通过一些实例来进行具体分析。

1 微元分析法的基本思想

定积分的本质就是一类特定和式的极限，即：

其中F(x)为f(x)的一个原函数，上述公式就是著名的“牛顿-莱布尼兹公式”。这个公式把定积分的计算变成了求原函数的运算，揭示了微分与积分是互为逆运算重要关系，提高了定积分理论定位，推广了定积分的实用范围，更加突显出微积分在解决工程技术领域问题的价值。在实际应用中如何把一个具体问题变成定积分问题或得到该问题的定积分表达式呢？一般来说这个问题要具有如下两个特点：

(1)所求量U（总量）是一个不规则量，但它分布在有限范围内；

(2)当把总量U 所在范围分割成若干个小区域时，总量U 也

第三步：总量U 就是个小区间上部分量之和，此处无限累加就是积分

上述求总量U 的积分表达式的关键是第二步，这一步得到的表达式就是被积表达式，实质上就是“变与不变”的对立统一规律在具体问题中的应用。也就是说宏观上在变的量，微观上看是不变的量，如做变速直线运动的物体，在很短的时间段内可以看成是匀速运动等，通常把用这种观点来处理问题的思想称为微积分思想。在数学教学中就是要培养学生具有这种辩证的逻辑思维，并利用这种思维去解决实际问题。

2 微分元素法的实际应用举例

图2

注意：此处微功dW 必须分水中dW1和水外dW2分别进行计算。

例3.某建筑工地用人工挖桩，要将井深为20 米重约500 公斤的泥土从井中一次取出，装泥土的载具自重40 公斤，缆绳2kg/m重。若将泥土以2m/s 的速度上升，在拉升过程中泥土碎块又以3kg/s 的速度自载具中掉落，试问将泥土提至井口做多少功？

解：在泥土的提升过程中由于泥土的掉落和缆绳的缩短，使得整个系统的重量在减少，因而克服重力所做的功在时刻发生变化，下面用微元分析法来计算。

取井底位置为坐标原点，铅直向上为x 轴建立坐标系，为了解决问题的方便，可以将总功W 分为三个部分：

此题关键之处要把对不同对象所做的功分开处理，然后再用微元分析法处理。

3 微元分析法应用总结

微元分析法在处理几何、物理、力学等方面的一些应用问题时显得非常方便、实用，它的中心思想就是“变与不变”的辩证统一，宏观上看起来在变的量，从微观上可以看成是不变的量。因此，正确理解和掌握好微元分析法，对加深微积分学的理解，提高数学建模能力具有重要意义。