切换状态下随机SIQR模型

田竺艳，张树文，魏春金

(集美大学理学院，福建 厦门 361021)

0 引言

传染病一直以来是威胁人类生命的第一杀手，它是医学界普遍关注的重要问题之一。宏观上，制定高效的控制措施是阻止传染病在人群中传播的首要战略选择。微观上，研制杀死细菌、病毒的药物和对疾病有免疫效果的疫苗是控制传染病的根本手段。近年来，越来越多的学者专注于传染病动力学的研究，而疾病传播模型是理论流行病学里最常用的一种数学模型，其中最经典的是SIS模型与SIR模型，后来许多学者在此基础上建立了更复杂但也更符合实际的模型[1-4]。通过建模，分析传染病控制措施和各种政策、措施的控制效果，研究其传播规律，为传染病控制提供可靠的控制策略。目前，隔离仍然是人类战胜突发传染病的主流手段[5]。因此，考虑对传染病人进行隔离控制具有重要意义。

文献[6]提出如下有隔离控制的随机SIQR流行病模型：

(1)

1 预备知识

(3)

令(x(t)，r(t))表示由下列方程所描述的扩散过程

(4)

2 主要结果

定理1 对任意给定的初值(S(0)，I(0),Q(0),R(0)，r(0))∈Γ*×S，系统(2)在t≥0中存在唯一解(S(t)，I(t),Q(t),R(t)，r(t))∈Γ*×S，并且该解以概率1存在于Γ*×S中，即对所有t≥0，(S(t)，I(t),Q(t),R(t)，r(t))∈Γ*×S,a.s.。

证明显然，系统(2)满足局部Lipschitz条件，因此，对给定的初值(S(0)，I(0),Q(0),R(0)，r(0)) ∈Γ*×S，在t∈[0，τe)时，系统存在唯一解(S(t)，I(t),Q(t),R(t)，r(t))∈Γ*×S，τe是爆破时间。因此通过It计算可得，系统(2)的唯一解是正解。

为了证明这个解是全局的，只需证明τe=+∞。

若τ∞→/∞，则存在常数T≥0，ε∈(0，1)和一个整数k1≥k0，有P{τk≤T}≥ε，∀k≥k1。

定义一个C2-函数V：(S(t)，I(t),Q(t),R(t)，r(t))∈Γ*×S→R+，V(S，I，Q,R)=S-1-lnS+I-1-lnI+Q-1-lnQ+R-1-lnR。由It公式可得,dV(S，I，Q,R，r)=(1-1/S)[(A(r(t))-μ(r(t))S-(β(r(t))SI)/(1+α(r(t))S))dt-(σ(r(t))SI)/(1+α(r(t))S)dB(t)]+(σ2(r(t))I2)/(2(1+α(r(t))S)2)dt+(1-1/I)[(β(r(t))SI)/(1+α(r(t))S)-(γ(r(t))+δ(r(t))+μ(r(t))+μ1(r(t)))Idt+(σ(r(t))SI)/(1+α(r(t))S)dB(t)]+(σ2(r(t))S2)/[2(1+α(r(t))S)2]dt+(1-1/Q)[δ(r(t))I-(θ(r(t))+μ(r(t))+μ2(r(t)))Q]dt+(1-1/R)[γ(r(t))I+θ(r(t))Q-μ(r(t))R]dt=LVdt+(σ(r(t))I)/(1+α(r(t))S)dB(t)-(σ(r(t))S)/(1+α(r(t))S)dB(t),其中LV：Γ*×S→R+。定义为:LV(S，I，Q,R，k)因此，可得dV(S，I，Q,R，r)=Kdt+[σ(r(t))I/(1+α(r(t))S)-(σ(r(t))S)/(1+α(r(t))S)]dB(t)。将上式两边从0到τk∧T进行积分取期望可得,

设Ωk={τk≤T}。当k≥k1时，由P{τk≤T}≥ε，∀k≥k1，有P(Ωk)≥ε。由停时的定义，把k和1/k代入V(S(t)，I(t),Q(t),R(t)，r(t))，易得：V[S(τk∧T)，I(τk∧T),Q(τk∧T),R(τk∧T)，r(τk∧T)]≥min{k-1-lnk，1/k-1+lnk}=Q。则V(S(0)，I(0),Q(0),R(0)，r(0))+KT≥E[V(S(τk∧T)，I(τk∧T),Q(τk∧T),R(τk∧T)，r(τk∧T))]≥εQ。当k→∞时，可得∞>V(S(0)，I(0),Q(0),R(0)，r(0))+KT=∞，与假设矛盾,即τ∞=∞,a.s.。证毕。

证明由It公式可得,d lnI=[β(r(t))S/(1+α(r(t))S)-(γ(r(t))+δ(r(t))+μ(r(t))+μ1(r(t)))-σ2(r(t))S2/(2(1+α(r(t))S)2)]dt+σ(r(t))S/[1+α(r(t))S]dB(t)=φ[S/(1+α(r(t))S)]dt+[σ(r(t))S/(1+α(r(t))S)]dB(t),其中φ(x)=β(k)x-(γ(k)+δ(k)+μ(k)+μ1(k))-(σ2(k)x2/2)。

A2(r(s))σ2(r(s))/(2(μ(r(s))+A(r(s))α(r(s)))2)]ds。

(5)

下面将证明对任何Γ*Dε，LV(S，I，Q,R)≤-1，即验证在这6个区域中,LV(S，I，Q,R)≤-1。

3 数值模拟

为了验证结果的正确性，采用Milstein高阶方法[10]对随机系统(2)进行数值模拟。

选择两组参数:A(1)=0.8，β(1)=0.6，α(1)=0.5，γ(1)=0.3，θ(1)=0.3，δ(1)=0.3，μ(1)=0.1，μ1(1)=0.2，μ2(1)=0.15;A(2)=0.9，β(2)=0.9，α(2)=0.4，γ(2)=0.2，θ(2)=0.2，δ(2)=0.2，μ(2)=0.2，μ1(2) =0.3，μ2(1)=0.25。

见图1。

见图2。

图1～图3给出了不同随机扰动强度下系统(2)的动力学行为。由图1和图2可知，随着噪声强度σ(1)、σ(2)的减小，系统(2)的平均灭绝时间在变长，噪声越强，疾病的灭绝时间越短；而从图1～图3可知，当σ(1)、σ(2)强度减小时，疾病从灭绝到平均持久。

4 结论