多边形面积坐标约束条件的构造方法

储理才，吴端恭

(集美大学理学院，福建 厦门 361021)

0 引言

在构造三角形单元时，三角形面积坐标的应用取得了成功。采用三角形面积坐标有如下优点：1)面积坐标是自然坐标，具有不变性；2)单元边线方程易于表述；3)直角坐标与面积坐标之间互为线性关系；4)采用面积坐标时，易于求得三角形单元刚度矩阵的积分显式。另一方面，采用等参坐标构造四边形单元时，最主要的问题是等参坐标与直角坐标之间不是线性变换关系。因此，文献[1-4]将三角形面积坐标理论推广到四边形情形，并应用于构造四边形单元。面积坐标既有等参坐标的优点，也弥补了等参坐标的不足，用面积坐标构造的四边形单元普遍表现出精度高、抗网格畸变性能好的优点[5-13]。

龙驭球等提出的四边形面积坐标[2]采用与三角形面积坐标相类似的定义方式，每个点都具有4个坐标分量，其中只有两个分量相互独立，这种四边形面积坐标称为QAC-Ⅰ。文献[14-15]提出了只含两个分量的四边形面积坐标，方法是取四边形对边的中点并连线，计算单元内的点与这两条连线形成的两个三角形的面积与整个四边形面积的比值，这两个比值组成该点的面积坐标，这种四边形面积坐标称为QAC-Ⅱ。龙驭球等[16]提出了另外一种形式的也只含两个分量的四边形面积坐标，方法是将文献[14]中两组对边中点的连线换成两条对角线，称这种四边形面积坐标为QAC-Ⅲ。综合运用这3种面积坐标构造的四边形单元具有诸多优点，如对网格畸变不敏感、推导过程简洁等[17-19]。

3种四边形面积坐标各有优势和不足：QAC-Ⅰ含有4个分量，其中只有2个分量是独立的，4个分量遵守某种约束条件，而QAC-Ⅱ和QAC-Ⅲ只含2个独立分量，与平面上点的自由度是一致的。QAC-Ⅰ是三角形面积坐标的自然推广，此种定义方式可以很容易推广到任意多边形情形，而后两种四边形面积坐标定义则很难推广到一般多边形上。

沿着QAC-Ⅰ的思路，将三角形面积坐标推广到多边形面积坐标，则坐标分量个数与多边形的边数相等。首先要解决的问题是坐标分量间的约束问题。设在平面上给定一个凸n边形，平面上的点的面积坐标是一个n元有序数组；反之，给定一个n元有序数组，它就不一定是平面上某个点的面积坐标。以三角形情形为例，三角形面积坐标有一个约束条件，即三分量之和必为1，如果一个三元有序数组不满足这个约束条件，它就不是平面上某个点的面积坐标。对于一般多边形面积坐标，分量之和为1是必然要满足的约束条件，本文研究了除此之外的约束条件以及如何建立这些约束条件。

1 多边形面积坐标约束条件的建立

本节讨论一般多边形面积坐标约束条件的构造方法。首先将三角形面积坐标的定义推广到一般多边形的面积坐标。

1.1 多边形面积坐标定义

如图1，给定平面上凸n边形A1A2A3…An，对平面上任意一点P，连接PA1，PA2，…，PAn。设S表示n边形A1A2…An的面积，S1，S2,…,Sn分别表示△PA1A2，△PA2A3，…，△PAnA1的有向面积。令μi=Si/S,i=1,…,n,则称n元有序数组(μ1,μ2,…,μn)为点P的面积坐标，多边形的边AiAi+1称为坐标分量μi所对应的边。

由多边形面积坐标的定义可知，各坐标分量一定满足如下的约束条件

μ1+μ2+…+μn=1。

(1)

1.2 面积坐标中的独立分量

平面上点的自由度为2，由此可知，面积坐标(μ1,μ2,…,μn)的n个分量中，只有两个分量是独立的，其他分量受这两个分量约束，并不是任意两个分量都可选作独立分量。如图2所示，假设四边形的边A2A3平行于对边A4A1，当点P沿着与这两条边平行的方向(图中虚线)变化时，μ2、μ4恒为常数，而μ1、μ3却在变化，显然μ2、μ4不能表示μ1、μ3；与之相反，考虑分量μ1、μ3，如果A1A2与对边A3A4不平行，则不存在这样的方向，当平面上的点P沿该方向变化时，μ1、μ3恒为常数，因此μ1、μ3是相互独立的。

据此，本文提出如下的独立分量选取原则：

1)独立分量选取原则 面积坐标分量中，只要面积坐标的两个分量所对应的多边形的边不平行，则这两个分量是独立变化的。

2)据此原则 相邻两个分量(例如：μ1、μ2)一定可以作为独立分量，不失一般性，下文中皆选定μ1、μ2作为独立分量。

1.3 面积坐标中非独立分量的线性函数表示形式

(2)

其中,ai,bi,ci(i=3,4,…,n)为表示系数，这样一组表示式就构成了多边形面积坐标的约束条件。

1.4 表示系数的确定

如节1.3所述，选定多边形面积坐标中两个独立变化的分量，其余分量必可表示成两个独立分量的线性函数形式，这些线性函数一旦确定，即构成了多边形面积坐标的一组完整约束条件。确定这些线性函数的方法是：根据多边形的具体情况，适当选定一组形状特征参数，用特征参数表示出至少3个互异点的面积坐标；然后根据这3个点的面积坐标，代入式(2)，建立线性方程组。该线性方程组必有唯一解，求其解，便得到表示系数。一组完整的非独立分量的表示式即构成了一组完整的多边形面积坐标约束条件。

下面就四边形、五边形情形给出具体的面积坐标约束条件，以此检验此方法的有效性。

2 四边形面积坐标的约束条件

2.1 面积特征参数法

特征参数的取法同文献[2]，如图2所示，平面上给定四边形A1A2A3A4，S表示四边形A1A2A3A4的面积，S1、S2分别表示△A1A2A4、△A1A2A3的有向面积，用g1=S1/S、g2=S2/S定义四边形A1A2A3A4的特征参数，称这种参数为面积特征参数。则四边形的4个顶点的面积坐标可以由面积特征参数表示为：A1(0,g2,1-g2,0),A2(0,0,1-g1,g1),A3(g2,0,0,1-g2),A4(g1,1-g1,0,0)。

从4个顶点中任选3个，代入式(2)，可得

(3)

即四边形面积坐标的一组约束条件。

2.2 对角线比例特征参数法

设基四边形如图2所示，P是对角线A1A3与A2A4的交点，设

k1=A1P/PA3,k2=A2P/PA4,

(4)

称k1,k2为四边形的对角线比例特征参数。

由初等几何知识，四边形的4个顶点的面积坐标可以由对角线比例特征参数表示为A1(0,k2/(1+k2),1/(1+k2),0),A2(0,0,1/(1+k1),k1/(1+k1)),A3(k2/(1+k2),0,0,1/(1+k2)),A4(k1/(1+k1),1/(1+k1),0,0)。从4个顶点中任选3个，代入式(2)，可得另外一组等价的约束条件

(5)

式(3)或式(5)中的两个等式相加，都可导出

μ1+μ2+μ3+μ4=1。

(6)

因此，用式(6)替换式(3)或式(5)中任意一个等式，又可得到不同的等价约束条件。

3 五边形面积坐标的约束条件

3.1 五边形的特征参数的选取

如图3，给定平面上凸五边形ABCDE，S表示五边形ABCDE的面积，S1、S2、S3、S4、S5分别表示△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、△EAB的有向面积，用式(7)定义五边形ABCDE的特征参数

gi=Si/S,i=1,…,5。

(7)

3.2 五边形顶点的面积坐标的特征参数表示

给定五边形ABCDE，则各顶点的面积坐标可由特征参数表示如下：A(0,g1,1-g1-g4,g4,0),B(0,0,g2,1-g2-g5,g5),C(g1,0,0,g3,1-g3-g1),D(1-g4-g2,g2,0,0,g4),E(g5,1-g5-g3,g3,0,0)。

3.3 非独立分量的表示公式

从五边形顶点中任意选择3个，将其面积坐标代入式(2)，可以解得具体的表示系数，从而得到面积坐标非独立分量用独立分量表示的公式。

选取的点不同，表示形式也会不同。例如：选择顶点A，B，C，得到如下形式的五边形面积坐标的约束条件

μ3=-μ1g2/g1+μ2(1-g1-g2-g4)/g1+g2,

(8)

μ4=μ1(g2+g3+g5-1)/g1+μ2(g2+g4+g5-1)/g1+1-g2-g5,

(9)

μ5=μ1(1-g1-g3-g5)/g1-μ2g5/g1+g5。

(10)

选择顶点A，B，D，则得到另外一组不同的约束条件

μ3=-μ1g2/g1+μ2(1-g1-g2-g4)/g1+g2,

(11)

μ4=μ1[g1(1-g2-g5)+g2(g2+g4+g5-1)]/[g1(g2+g4-1)]+

μ2(g2+g4+g5-1)/g1+1-g2-g5,

(12)

μ5=μ1(g1g5-g2g5-g1g4)/[g1(g2+g4-1)]-μ2g5/g1+g5。

(13)

比较两组约束条件，式(8)与式(11)完全相同，式(9)与式(12)、式(10)与式(13)都只有μ1的系数不同。根据上面的分析，这两组约束条件是等价的，因此，对应项系数必然相等，(g2+g3+g5-1)/g1=[g1(1-g2-g5)+g2(g2+g4+g5-1)]/g1(g2+g4-1),(1-g1-g3-g5)/g1=

(g1g5-g2g5-g1g4)/[g1(g2+g4-1)]，这两个等式都导出了同一个恒等式，如式(14)所示：

g1+g2+g3+g4+g5-g1g2-g2g3-g3g4-g4g5-g5g1=1。

(14)

定理1 给定平面上任意凸五边形ABCDE，特征参数g1,g2,g3,g4,g5如式(6)定义，则特征参数必满足式(14)的恒等式。

上面得出这个恒等式的过程即可视为这个恒等式的证明，这里再给出这个恒等式的一个初等几何证明。

如图4，设对角线BD、CE交于点P，CE、DA交于点R，DA，EB交于点T。将式(14)改写为(1-g1)(1-g2-g5)=g3(1-g2-g4)+g4(1-g5)。由特征参数的几何意义，结合图4，即需证明S□ACDE·S△BDE=S△CDE·S△ABD+S△DEA·S□BCDE。将上式改写为：

S△CDE/S□BCDE·S△ABD/S□ACDE=S△BDE/S□BCDE-S△DEA/S□ACDE。

(15)

在四边形BCDE中，S△CDE/S□BCDE=DP/DB。类似地，可知S△ABD/S□ACDE=BT/BE·S□ABDE/S□ACDE=BT/BE·S□ABDE/S△ADE·S△ADE/S□ACDE=BT/BE·BE/TE·RE/CE=BT/TE·RE/CE。又S△BDE/S□BCDE-S△DEA/S□ACDE=PE/CE-RE/CE=PR/CE,于是式(15)变为DP/DB·BT/TE·RE/CE=PR/CE，即：为证明定理1，只需证明

DP/DB·BT/TE·RE/PR=1。

(16)

为证明式(16)，在图4中，过点P作PS平行于AD交对角线BE于点S，则DP/DB=TS/BT,RE/PR=TE/TS，代入式(16)左边，则知式(16)成立。至此，定理1证毕。

4 分量相等的面积坐标对应的点的存在性

熟知，分量相等的三角形面积坐标为(1/3,1/3,1/3)，它所表示的点是三角形的重心。那么n边形面积坐标是(1/n,…,1/n)的点是否存在？当基多边形是正多边形时，这样的点显然是存在的，就是正多边形的中心。如果基多边形不是正多边形呢？这类问题可以根据面积坐标的约束条件得到解答。关于四边形情形，有定理2。

定理2 当基四边形的两对角线交点至少平分其中一条对角线时，则存在面积坐标为(1/4,1/4,1/4,1/4)的点，反之亦然。

证明四边形对角线比例特征k1,k2如式(4)定义，当基四边形的两对角线交点至少平分其中一条对角线时，则k1=1或k2=1。

1)如果k1=1且k2=1，即四边形两对角线互相平分，则此四边形为平行四边形，两对角线的交点的面积坐标为(1/4,1/4,1/4,1/4)。

2)如果k1、k2只有一个为1，不妨设k1=1,k2≠1,此时对角线的交点P是A1A3的中点，而不是A2A4的中点。取A2A4的中点O，容易证明O点的面积坐标恰为(1/4,1/4,1/4,1/4)。反之，设某点的面积坐标为(1/4,1/4,1/4,1/4)，在对角线比例特征参数表示的约束条件式(5)中任取一个等式，将μ1=μ2=μ3=μ4=1/4代入，例如代入(5)中第一个等式，得1/4=-(1+k1)/(1+k2)/4-(1-k1k2)/(1+k2)/4+1/(1+k2)，化简得(1-k1)(1-k2)=0，此式即表明基四边形的两对角线交点至少平分其中一条对角线。

5 结论

本文将三角形面积坐标定义自然推广到任意多边形情形，提出了建立多边形面积坐标分量间的约束条件的一般方法，并就四边形和五边形情形，使用该方法建立了多组等价的约束条件。结果表明，该方法是有效的。