隔离开关电弧流体数学模型研究与应用

郝 莎 徐建源 林 莘

（沈阳工业大学电气工程学院 沈阳 110870）

0 引言

隔离开关分合空载短母线时，触头间会产生电弧，且电弧能量较小，不能维持其稳定燃烧。现有的电弧模型通常采用指数电阻模型，缺乏电弧放电物理过程的研究，无差别地将电弧时间常数定义为一个常数，忽略了开关气室结构、间隙距离、机械特性等因素[1-3]。国家电网公司经过大量实验发现，同一实验回路，不同结构特征和操作特性的隔离开关操作产生的快速暂态过电压（Very Fast Transient Overvoltage, VFTO）幅频特性差别较大[4-5]。隔离开关分合闸操作中，放电间隙距离由几毫米到几厘米，气室结构的电场不均匀系数分布较广，稍不均匀电场与极不均匀电场的工况均有涵盖[6]。研究表明，隔离开关合闸首次击穿和分闸末次击穿时，VFTO幅值可达到3(pu)，频率高达百MHz，为电力系统安全运行带来极大隐患[7]。因此，有必要对cm级间隙下考虑气室结构和放电工况的电弧放电模型进行研究，建立基于隔离开关结构特性和操作特性的电弧等效模型。

电弧放电模型中，以A. J. Davies等[8]提出的流体模型最为代表，它基于微观粒子运动特性，通过耦合求解粒子连续性方程及Poisson方程计算放电过程中各粒子随时间、空间的分布规律，可以获得流注放电电流、空间电场等较难测得的物理量。20世纪末期，S. K. Dhail等[9]通过建立柱坐标下的二维流体模型，较好地解释了放电过程的三维空间现象；A. A. Kulikovsky等[10]在此基础上引入三维光致电离模型，对空气/N2的正流注放电特性进行模拟，分析了光致电离对流注发展的影响。在流体模型的应用中，如何准确地对粒子连续性方程及不规则区域上Poisson方程进行耦合求解是仿真的关键。为此，有限差分法（Finite Difference Method, FDM）、有限单元法（Finite Element Method, FEM）和有限体积法（Finite Volume Method, FVM），耦合通量校正传输（Flux Corrected Transport, FCT）法的混合算法被广泛应用，实现流注发展过程的求解。但FDM不能直接处理复杂的几何结构及非结构化网格，计算精度也不高；FEM虽然完善了网格划分技术，但其本质是中心差分格式，无法像有限差分的迎风格式一样保证解的正定性，极易出现负粒子密度；FVM在非结构化网格中，对于梯度算子的离散较难实现。为此，文献[11]为提高计算速度，引入自适应网格技术，实现了FEM-FCT用于流注仿真的求解；清华大学在FEM-FCT的基础上，提出加权不连续有限元并行计算针-板电极下空气间隙流注放电过程[12]；湖南大学采用Euler-Taylor-Galerkin格式离散粒子输运方程，结合FCT对短间隙均匀电场流注电晕放电过程进行模拟[13]。文献[14]结合玻耳兹曼法与流注理论对SF6及其混合气体的电击穿特性以及放电实验开展相关研究，从空间电荷影响放电过程的角度解释气体极性效应形成机理。文献[15]针对新型环保气体中的流注产生机理和发展过程进行研究，仿真得到针板模型中的一次流注到二次流注放电过程，拟合得到一次流注传播过程中光通量的变化函数。文献[16]对低气压下5～20cm棒板间隙中正负极性下直流放电过程进行实验研究，对流注放电通道外部特征以及低气压电压极性效应进行研究。此外，T. Rylander[17]、B. R. Barron等[18]还提出将FEM与FDM混合的思想，分别发挥两种算法的优势，保证FEM网格数量不会随着仿真域的增大而呈现指数增长，缩短计算时间，同时将物理量与数值量分离，保证其解的正定性。文献[19]对cm级间隙下空气中电子输运过程的简化模型进行分析，通过插值函数建立FDM与FEM间的映射函数，将物理量与数值量进行分离，在保证计算精度的基础上大大缩短了计算时间。

高压电气设备绝缘结构大多为cm级间隙下的不均匀电场，本文在文献[19]提出的FDM-FEM-FCT方法的基础上进行改进，一方面，考虑SF6吸附性较强，负离子数密度较大，影响空间电场的畸变作用，粒子连续性方程中增加正负离子的相关反应方程；另一方面，不均匀电场下，电场强度径向分量较大，考虑电子在径向上的漂移扩散作用，流注半径随时间和空间变化。搭建隔离开关电弧放电实验回路，结合电弧能量平衡理论，对其恢复过程进行分析，并对比实验与仿真的电弧暂态特性。

1 流体电弧数学模型的建立

隔离开关电弧模型实质为SF6气体的击穿以及击穿后高频振荡过电压下的气体介质恢复过程。本文首先对触头间隙击穿时微观粒子的动态发展过程进行建模。

1.1 高频暂态阶段电弧的击穿

隔离开关分合闸操作不存在气吹，以电子的为例，其输运过程可以表示为

式中，ne为电子的数密度（m-3）；Γe为电子密度的通量（m-2·s-1）；Ge为电子数密度的源项（m-3）；t为时间（s）。考虑触头间隙击穿过程中，电子发生电离、吸附、复合等变化，则

式中，kion和kabs分别为平均电子能量的电离速度和 吸附速度（m3·s-1）；kep为电子与正离子之间的复合系数（m3·s-1）；N、np分别为中性粒子、正离子的数密度（m-3）；Sph为光电离源项（m-3）。

同理可得，正、负离子的输运方程为

式中，nn为负离子的数密度（m-3）；knp为正、负离子之间的复合系数（m3·s-1）；Γp、Γn分别为正、负离子的数密度通量（m-2·s-1）。由于离子的扩散速 度远小于电子，相对于电子的扩散可以完全忽略，故电子、正、负离子数密度通量分别为

式中，E为电场强度（V/m）；μe、μp和μn分别为电子、正、负离子的迁移率（m2·V-1·s-1）；De为电子的扩散系数（m2·s-1）。

空间任意一点m处吸收光子所产生的光电离源项Sph为

式中，k1、k2分别为气体分子对99～103.5mm光波的最小和最大吸收系数，k1=2.62×10-4cm-1P a-1，k2=0.016cm-1P a-1；Pq为激发态衰减压强，且Pq= 3997Pa；p为气体压强（Pa）；ne′、ve′分别为与m处相距处的电子数密度（m-3）和电子漂移 速度（m3·s-1）；w1为碰撞电离辐射光子的概率。气体输运参量与光电离项根据文献[20-22]计算得出。

放电过程的推进由空间电场的分布特性决定，同时考虑放电过程中空间电荷分布对背景电场存在畸变作用，合成电场应满足

式中，e为电子电荷，e= 1.6× 10-19C；εr为相对介 电常数，在SF6气体中，εr= 1.002；ε0为空气中的介电常数，ε0= 8.854× 10-12F/m。

触头间隙气体击穿电弧等离子体形成时刻，导电通道内存在大量带电粒子，在极间电场的作用下，这些带电粒子定向运动，形成电流。结合经典Spitzer等离子体电导率计算公式可得

式中，J为电流密度（C·m-2·s-1）。由于重粒子质量远大于电子质量，电子迁移率远大于重粒子迁移率，计算中认为J≈eneve。

1.2 电弧击穿数值求解方法

流注仿真研究中，不仅要保证不均匀电场的求解精度，还要防止长间隙下网格数量与计算时间指数增长，以及其引起的局部电场数值奇异与发散。

考虑空间粒子分布对间隙电场的畸变作用，每个时间步耦合电场求解，计算流程如图1所示。分别采用FEM和FDM对输运过程的空间和时间进行离散，得到有限元（Finite Element, FE）网格和有限差分（Finite Difference, FD）网格，并建立二者的映射关系。重点考察带电粒子在轴线上的输运过程，根据各粒子的径向漂移扩散速度建立轴线之外区域与轴线上变量的数值关系。

图1 程序流程Fig.1 Computational flow chart

假设各粒子径向分布满足麦克斯韦分布，流注半径可表示为

式中，r为流注半径（m）；d为放电间隙距离（m）。

隔离开关触头间隙击穿过程仅为几十ns，放电通道未完全形成时，放电边界上电位受外电路电压特性影响较小，可视为恒值。采用FEM将空间离散为若干个三角单元，设定每个单元内部的电势在每个时间步下是一个常数，且

式中，Ni、Nj、Nk，φi、φj、φk分别为三角形单元3个节点i、j、k处的插值函数及电势。

结合格林公式使用Galerkin法，令加权余量为0，则

化简，可得空间内任意单元电势φ满足

其中

式中，Ke为单元的刚度矩阵；A为单元面积。

将式（10）第二项的积分项用形函数表示，并采用欧拉积分公式进行逐项展开后，化简可得

其中

式中，nnet为净电荷量；Me为单元的质量矩阵。

为防止计算粒子输运过程中产生数值振荡问题，采用FCT引入反扩散通量对结果进行修正。有限差分的一般格式可以写为

其中

（4）对抗扩散通量进行限制

其中

（5）计算最终解为

在求解中，对于二维网格，时间步长 Δt满足

式中，Δx为单元长度；v为单元速度。

1.3 高频暂态阶段电弧的恢复过程

流注击穿过程通常为几十个ns，外施电压可视为恒值。随后，间隙击穿形成贯通的放电通道，间隙电压在几个ns内降至一个较小值，并发生高频振荡，外施电压主频一般为几十MHz[23]，电弧电位边界条件满足

式中，l为电弧长度（m）；ul(t)与us(t)分别为隔离开、关动静触头处的线路电压（V）。

隔离开关电弧电流峰值较大，但维持时间短，电弧积累能量小，弧柱的熄灭主要依靠外电路的暂态特性，且弧柱能量始终遵循能量平衡理论，电弧电阻R满足

式中，P0、N0分别为单位长度电弧输入功率和散热功率（J·s-1）；τ为电弧时间常数，且满足

式中，rarc为电弧半径（m）；q0为表示电弧特性的电弧能量常数，且

式中，ue为气体游离电位，本文取17.5V；T0为电弧周围空间热力学温度（K）；p为气体压强（Pa）；K为常数，且K= 6.05×1 0-5。

隔离开关中不存在气吹，电子能量耗散方式主要包括传导Ncond和辐射Nrad。假设熄弧过程中，电弧通道半径不变，单位长度电弧的传导散热功率为

式中，λ为气体热导率（ W· m-1· K-1），取值参照文献[24]；T为电弧热力学温度（K）。电弧击穿后，可近似认为电弧温度等于重粒子温度[25]，径向温度遵从麦克斯韦分布。

根据玻耳兹曼定律，电弧弧柱热辐射散热功率与电弧温度有关，单位面积的辐射功率为

式中，εf为弧柱发射率，εf= 1；ξ为辐射常数，ξ= 5.67×10-8W/(m2· K4)[26]。

2 隔离开关电弧模型仿真分析

为进一步开展隔离开关电弧机理的实验研究，本文设计了隔离开关放电实验罐体，如图2a所示。电极结构采用材料为Al的半球头棒板电极，如图2b所示，其中，棒电极曲率半径为1cm，板电极为圆盘形平板，且半径为5cm，边缘进行倒圆角以防止产生电场边缘效应。

图2 隔离开关实验罐体及触头结构Fig.2 Body and contact structure of disconnector

结合实验条件，设置间隙距离为1cm，当SF6气体压强为0.2MPa时，设置棒电极加载107kV正极性电压，板电极接地。仿真得到放电过程中间隙电场与粒子数密度的变化曲线，其中，0～2ns内触头间隙电场强度与电子数密度在轴线上的变化曲线，如图3和图4所示。

图3 0～2ns轴线上电场强度变化曲线Fig.3 Curves of electric field intensity on axi during 0～2ns

图4 0～2ns轴线上电子数密度变化曲线Fig.4 Curves of electron number density on axis during 0～2ns

由仿真结果可以看出，0～1ns内，放电间隙电场分布情况几乎不变，电子崩中电子数密度急剧增加，正负粒子团的等效中心重合。此时，空间净电荷的数目相对较少，背景电场的畸变较小。1.5ns 时，空间电荷对间隙电场影响逐渐增加，此时空间电子数密度为 2.1× 1 011m-3。1.5～2ns之间，空间电 场分布畸变增强，正负粒子团的等效中心逐渐分离，空间电子数密度由 1.1× 1 014m-3上升至 3.7×1 015m-3，流注开始沿z轴向前发展。电子崩在轴向发展过程中，由于电子的扩散作用，电子崩半径逐渐增大，产生大量空间电荷，崩头前大量电子堆积，加剧了崩头处的电场，同时也削弱了崩头内正负电荷之间的电场，空间电子数密度增长速度变缓，图5和图6分别给出了2～8ns内电场强度与空间电子数密度 在轴线上的变化曲线。当t= 10.89ns 时，触头间隙完 全击穿，通道内电子数密度上升至 5.14× 1 017m-3。

图5 2～8ns轴线上电场强度变化曲线Fig.5 Curves of electric field intensity on axi during 2～8ns

图6 2～8ns轴线上电子数密度变化曲线Fig.6 Curves of electron number intensity on axi during 2～8ns

对通道内电弧电导率进行积分，得到触头间电弧电阻变化曲线，如图7所示。可以看出，0～1.7ns之间，空间电子数密度急剧增加，放电间隙电弧电阻值下降斜率较大，此时正负粒子团的等效中心重合，粒子团内粒子数密度及半径不断增加，接近t=1.7ns时，正负粒子团的等效中心逐渐分离，电弧电阻下降速度逐渐减缓。当t=1.7ns时，电弧电阻R=2 232Ω。随后，在流注沿z轴向板电极行进的过程中，空间电场畸变使得电弧电阻的下降坡度大大减小，直至t=10.89ns时，放电通道完全贯通，电弧电阻减少至0.02Ω。

图7 电弧电阻变化曲线Fig.7 Arc resistance curve during the breakdown

3 隔离开关电弧实验特性及仿真结果与实验数据对比分析

3.1 隔离开关电弧实验特性

为了验证仿真实验的准确性，本文设计搭建了隔离开关电弧实验回路，选用阻容分压器和罗氏线圈分别测量电弧电压与电流波形，其实验电路如图8所示。考虑触头间隙电弧击穿过程在μs级时间内完成，外施电源可选用冲击电压发生器，回路设置一定容性负载和放电间隙，模拟隔离开关空载开断下的电弧放电特性。其中，冲击电压发生器标称电压为±2 400kV，标称能量为240kJ，利用12级球隙采用倍压整流方式得到1.2/50μs的标准雷电波形，其原理接线和实物如图9所示。

图8 电弧特性实验电路Fig.8 Experimental circuit on arc characteristics

图9 高压电源Fig.9 High voltage power supply

实验回路负载电容及线路电感数值与振荡回路的主频f满足

式中，δ(Req)为线路损耗引起的频率变化；Leq、Ceq分别为线路的等效电感和电容。

冲击电压发生器自身冲击电容为0.083 3μF，等效电感为44.4μH。采用SGB-150C型阻容分压器对实验罐体上的击穿电压进行测量，阻容分压器的电压比为1 000∶1。实验罐体充以0.2MPa SF6气体，触头间隙距离为1cm，启动冲击电源发生系统，得到阻容分压器上的电压与电流波形如图10所示。

图10 实验测得电压与电流波形Fig.10 Experimental current and voltage waveforms

由图10可看出，t=0时启动冲击电源发生器，向线路提供最大幅值为120kV的1.2μs/50μs标准雷 电冲击电压波。考虑设备杂散电容及操作响应时间等因素，约t=1.2μs时，电压波上升至116kV，此时放电罐体发生击穿，击穿后线路电流瞬间上升至1.08kA，线路产生高频振荡电压，且电压最大值为243.5kV。约t=4.16μs时，线路振荡电压和电流逐渐趋于平稳，此时电压幅值约为97.34kV，电流幅值约为0.03kA。

3.2 触头间隙介质恢复过程的求解

根据实验工况，当触头间距为1cm时，对实验线路进行电磁暂态计算，采用EMTP/ATP中的MODEL自编程模块对电弧变化过程进行实时控制，计算得到阻容分压器处的电压波形与线路电流变化曲线如图11所示。

图11 仿真电压与电流波形Fig.11 Simulation voltage and current waveforms

由图11可以看出，当t=1.2μs时，隔离开关电弧击穿，线路电流上升至1.11kA，随后线路产生振荡电压，其最大幅值约为254.47kV。当t=4.42μs时，仿真电压与电流振荡过程基本消失，此时，电压幅值约为106.11kV，电流幅值约为0.02kA。进一步对比分析仿真电压波形与实测结果的频率分布特性，其幅频对比如图12所示。

图12 仿真结果与实验数据的幅频特性对比Fig.12 Frequency comparison of simulation results and experimental datas

由图12可以看出，实验波形主要频率为3.5MHz，4.5MHz，6.5MHz，8.4MHz，10.1MHz，19.2MHz，27MHz，46.6MHz。仿真波形主要频率有10.2MHz，27.1MHz，35MHz，46.6MHz。其中，0.1～8.4MHz的电压分量实验数值大于仿真结果。分析认为，电压分量主要与线路分布参数和电源电压特性有关，尤其是在触头间隙击穿前，电源电压存在一定波动，冲击电压波波头上升率发生畸变。提取波形分解计算得到，电源电压波动引起的畸变波形主要频率为3.5MHz、4.6MHz和6.5MHz。对于10MHz以上电压分量，实验与仿真波形主频分布较为接近，其主要由电弧击穿产生的电压陡波在线路中折反射形成。但由于实验回路热损耗较大，其电压幅值整体小于仿真数值。滤除系统电压频率的影响，提取实验与仿真波形的特征参数，并计算二者的误差，见表1。

表1 仿真与实测波形参数Tab.1 Waveform parameters with different arc models

根据以上分析可以看出，仿真波形基本参数特点与实测波形基本一致，但仿真波形具有更高的陡度和幅值。分析认为，一方面，实验测量元件存在一定的响应误差；另一方面，实验回路发热、电源电压波动及隔离开关触头材料粗糙程度等引起能量损耗较大，实验数据整体比仿真数值较小，其误差值在2%～10%之间。

综上可以发现，流体电弧数学模型可以充分考虑放电间隙结构特征，针对其流注发展过程，研究间隙电子在特定工况下的动力学特性，科学并准确地分析高频电压下的电弧电导率变化特性，为隔离开关的设计需求提供依据。

4 结论

本文从气体击穿微观粒子发展过程入手，在流注理论的基础上，建立了隔离开关触头间隙电弧流体模型。搭建电弧实验回路，测量并分析了电弧电压暂态特性，并与仿真结果进行对比，结果表明：

1）放电过程中，电弧电阻下降率受空间电场的畸变作用影响。放电初期0～1.7ns内，电子崩正负离子团中心重合，空间电场畸变较小，空间电子数密度增长速度较快，电弧电阻率下降率较大。随后，正负离子团中心逐渐分离，空间电场畸变增大，电子数密度增长速度变缓，电弧电阻下降率减小。当t=10.89ns时，放电通道完全导通，电弧电阻减少至0.02Ω，电子数密度为 5.14×1 017m-3。

2）隔离开关电弧击穿后，测得线路电流最大幅值为1.08kA，电压最大值为243.56kV。相比仿真结果，实测数据具有较高的幅值与较短的持续时间。仿真电流最大幅值为1.11kA，电压为254.47kV。

3）滤除系统电压频率的影响，仿真数值具有更高的陡度和幅值，二者全波形特征参数基本一致，误差范围为2%～10%。