基于改进Kalman 滤波l1 模加速算法的语音信号重构

马 春，汪 庆，李 亚，李芳芳

（安徽中医药大学医药信息工程学院，安徽 合肥 230012）

现实中经常需要从噪声和抽样不足的数据中重建高维离散信号，从而求解欠定噪声方程组。为了实现精确重构，信号必须是稀疏的或高度可压缩的。在离散情况下，稀疏信号可能比环境维度还要少[1,2]。稀疏信号重构的优化方法主要有l1最小化[3−7]、基追踪[8]（BP）、匹配追踪算法[9]以及贝叶斯算法[10]等。压缩感知（compressed sensing，CS）是一种计算信号处理方式[11−13]，可以从很少的样本中准确地重构稀疏信号。CS 通过线性规划求解l1最小化问题来实现重构欠定方程组的稀疏向量。CS 已成功地集成到光学成像（如单像素相机）、磁共振成像（MRI）、计算机断层扫描（CT）和合成孔径雷达（SAR）等应用[1−2,13]中。

使用Kalman 滤波器可以保证从有噪声的测量中得到最优的重构效果[14−18]。文献[19−21]提出了利用Kalman 滤波器结构进行CS 稀疏信号重构的方法，这些方法保持了状态向量的维数与真实维数一致，因此，其重构迭代时间长、效率低。实际上，信号所在的子空间的维数可以很低。为此，本文提出利用l1最小化的方法构造信号维数的最佳表示。即采用Aitken 的delta-squared 过程外推法对Kalman 滤波的l1最小化（KML1）进行改进，提出了一种改进的基于Kalman 滤波的l1最小化加速算法（以下简称“加速算法”），以提高算法的精确度，缩短重构时间，并将加速算法应用于语音信号的重构。最后，本文比较了不同迭代次数、不同重构算法之间的区别。

1 压缩感知（CS）

且m＜＜n。令为s-稀疏信号。式（1）的目标是求解一个欠定线性方程组。

式中：A∈Cm×n为 感知或观测矩阵；∈Cm为含噪观测向量；R∈Cm×m为观测噪声协方差矩阵，且假设该矩阵服从零均值循环对称高斯分布；λ为拉格朗日乘子。

对于l1的重建，通过引入零空间属性（null space property，NSP）来验证l0最小化问题和l1最小化问题之间的等价性。NSP 保证了A的零空间中的所有向量都不会过于稀疏。矩阵的零空间被定义为由它投影到0 的向量集，即 N (A)=。令集合 [N]:={1,···,n}的 子集S，SC=:[N]S表示互补集。m×n矩阵A具 有s阶的零空间性质，如果对所有索引集|S|≤s满足则重构精确稀疏向量所需的最小测量次数[22]为

2 基于Kalman 滤波的l1最小化（KML1算法）

对于线性传感模型，Kalman 滤波器可以提供时变状态的最佳估计，同时，KML1 的时变状态也会根据线性模型更新。l1范数可以理解为稀疏状态向量的度量，并使用迭代扩展线性化Kalman 滤波器（iterative extension linearization Kalman filter,EKF）以递归方式逼近估计值[23−25]。

对观测矩阵A进行LQ 分解，即将矩阵A分解成A=LQ的形式，其中L是下三角阵，Q是酉(正交)阵。将L转化为单位下三角矩阵EN(A)，即A的零空间生成基，这里A的零空间是 Cn的n-m维子空间。

用k表示迭代次数。在每一次迭代中，通过零空间基上的系数来计算要添加到解中的差分向量。非线性测量模型为

KML1 算法并不总是收敛于解l1的范数。对于维数较小的A，如n=64，可以观察到其收敛性；而对于大维数，如n=120，则不能精确地收敛于最小l1，如果 γ(k)(k→∞)逼 近1，则l1范数不再减小，这并不能保证此时已经达到最小l1标准。因此，在这种情况下，不能精确地重构。KML1 算法流程如图1 所示。

图1 KML1 算法流程

3 改进的 l1模加速算法

3.1 Aitken delta-squared 过程分析

Aitken 的Δ2-基本过程是迭代交错解过程的可靠、高效的加速收敛方法[27]。它是一种典型的加速过程。如果所考虑的序列与几何序列足够相似，则该过程将导致收敛加速。Steffensen 方法就是将Aitken 方法的收敛速度迭代加速到二阶。

令uk为收敛于u的序列，如果式（8）成立，则序列收敛更快[27]。

3.2 基于Aitken 的delta-squared 过程外推法

使用外推过程从收敛序列uk构造出新的序列比 原始序列uk收敛更快。2 种外推方案如下。

Aitken 的delta-squared 过程外推法是在Aitken的Δ2-基本过程的基础上的改进，其具体流程如图2所示。

图2 基于Aitken 的delta-squared 过程外推法算法流程

3.3 改进的KML1 加速算法（加速算法）

扩展卡尔曼滤波EKF 包含了对附加测量噪声过程的假设，对于EKF 的实现来说，这个假设并不是必要条件。如果测量噪声v不是叠加噪声，则测 。测量量函数h(·)具 有的形式为值会随着函数状态和测量噪声而变化，因此得到的雅可比矩阵为。

加速算法具体流程如图3 所示。加速算法从KML1 的初始化开始，初始化变量r。根据3.1 节采用的Steffensen 方法，在KML1 中定义的变量，在每次迭代中都会更改，因此，在第2 步的迭代中，根据Aitken 的delta-squared 过程，使用改进的外推法式（11）的松弛参数ω来确定减少的测量值，即在图3 中执行当K=2时的图右侧分支的流程。

图3 改进KML1 加速算法流程

在第3 步迭代中，采用Steffensen 方法计算减少的测量值。从第3 步迭代开始，用Steffensen 方法在收敛序列上求得系数r，即在图3 中执行K≥3时 的图左侧分支的流程。此外，当k→∞时，Steffensen 方法使r(k) 趋于0，y˜值收敛于一个不等于0 的极限值，→x的估计值收敛到一个固定点。

4 语音信号实验及结果分析

本文实验采集了30 个实时语音信号，并将它们在小波域上进行稀疏化、归一化处理。采用Gauss 随机矩阵作为测量矩阵，分别对比在不同矩阵大小、稀疏度和迭代次数下的KML1 算法和加速算法的实验结果。实验通过l1范数恢复的最终值和均方误差（MSE）来比较2 种算法的优劣。

4.1 对比KML1 算法和加速算法的 l1范数重建语音信号的结果

本文在高维情况（n=128）下进行实验。实验分别取每个语音信号的128 个采样点，测量矩阵的大小为128×256，稀疏度s=30，迭代次数设置为1000。图4 示出KML1 算法、加速算法的实验结果与应该达到的真实l1范数的对比情况。由图可知：KML1 算法和加速算法的l1范数基本都会随着迭代次数的增加而减小；KML1 算法在280 次迭代左右的偏差最大，在迭代次数达到500 次后趋于平稳，收敛于5 左右，接近真实值；加速算法在迭代100 次之后收敛于4.88，达到与真实值4.82 接近的水平，并一直保持在这个状态。

图4 采样数n=128，l1模值的对比

由图4 还可以看出：KML1 算法的l1范数不能收敛到真实的l1范数；红线表示的通过加速算法获得的l1范数，经过100 次迭代后，不仅达到了真正的l1范数，并且均方误差MSE 值达到了2.1×10−4。

此外，本文还在低维情况（采样数n=64）下进行了实验。实验分别取每个语音信号的64 个采样点，迭代1 000 次，其结果如图5 所示。2 种算法的实验结果与真实值都比较接近，其中KML1 算法在迭代650 次左右达到准确值，迭代1 000 次的平均值为4.72，加速算法在迭代500 次达到准确值，迭代1 000 次的平均值为4.82，加速算法重构的效果更为精确。

图5 采样数n=64，l1 模值的对比

综合实验结果，表明加速算法比KML1 算法更精确地重构了。KML1 并不能一直收敛于解的真实l1范 数，因此无法获得精确的解。使用加速算法重建语音信号，不仅收敛速度更快，而且可以收敛到最接近原始信号的解。

4.2 重构算法对比

对采集到的语音信号，选取长度n=500，并在小波域进行稀疏化后，随机生成一个s-稀疏信号∈Cn，每个非零复数的实部和虚部都是从零均值和单位方差的i.i.d.（独立同分布）正态分布中提取的，然后对所得的进行l2归一化处理。测量矩阵采用随机Toeplitz 矩阵。实验分别采用KML1 算法、加速算法以及传统的正交匹配追踪（OMP）算法对稀疏归一化之后的信号进行重构，其结果如图6 所示。从图中可以看出，加速算法与原始信号的相似度最高。

图6 3 种重构算法对选取的语音信号重构的对比

本文通过对信号进行1000 次和3000 次迭代的重构误差评估来衡量不同重构算法的性能。重构误差的评估采用平均均方误差MSE 的值来衡量，如图7 所示，具体的MSE 对比值如表1 所示。重构时间的评估结果如图8 所示。

图7 3 种重构算法的均方误差对比

表1 3 种重构算法迭代1 000 次和3 000 次的均方误差和重构时间对比

图8 3 种重构算法的时间对比

从图7 可以看出：红色线表示的加速算法重构的均方误差最低；绿色线表示的KML1 算法略高；蓝色线表示的OMP 算法的均方误差值相对最高。迭代3000 次的均方误差和重构时间的具体对比数据如表1 所示。

由表1 可以看出：3000 次迭代之后，加速算法在时间上的优势非常明显，OMP 算法的重构时间比加速算法高近20 倍，并且MSE 的值也比加速算法多近2.5 倍；通过1000 次和3000 次的迭代结果发现，迭代次数越多，KML1 算法和加速算法的MSE 值越低，重构信号的准确率越高，而OMP 算法的MSE 跟迭代次数的关系并不很明显。

由图7 和表1 可知，在1000 次和3000 次迭代的情况下，采用KML1 算法和加速算法对信号进行重构的恢复误差变化并不是特别明显，变化值分别为0.1×10−4和1.4×10−4，基本可以忽略不计。

实验还分别对比了稀疏度从5 到90 不同情况下3 种重构算法的误差率，即真实信号与重构信号的误差，如图9 所示。在迭代次数均为100 次、稀疏度s＜35 时，KLM1 算法和加速算法重构信号的误差接近0，但随着稀疏度的增加，加速算法的稳定性较KML1 算法更好。加速算法的均方误差为0.002 5，KML1 算法的均方误差为0.002 8，OMP 算法的误差率最大。

图9 不同稀疏度下3 种重构算法的误差率对比

综合实验结果，表明加速算法是一种稳定的算法，改变稀疏度s或测量数量m，对恢复误差的影响很小。

5 结论

本文通过Kalman 滤波器来实现线性约束l1最小化，提出了改进的KML1 加速算法，保证了在稀疏度s未知的情况下对语音信号的精确重建。实验分别对传统OMP 算法、KML1 算法以及加速算法进行了对比，其结果表明：本文的加速算法对语音信号恢复的精确度更高，恢复的时间也缩短很多，与OMP 算法相比，具有更稳定的恢复效果；在信号维数非常低的情况下，KML1 算法和加速算法的结果并没有显著差异，随着维数的增加，加速算法的收敛速度更快，并且可以收敛到优化问题的精确解。