多齿分度台倾斜对一测回水平方向标准偏差影响分析

张伟 张丰 刘芳芳 马建敏/上海市计量测试技术研究院

0 引言

一测回水平方向标准偏差是反映经纬仪、全站仪等仪器水平角测量准确度的主要技术指标，也是划分上述仪器准确度等级的依据。一测回水平方向标准偏差的检定常用多齿分度台法。在检定过程中，需要对多齿分度台进行升降，或者因为多齿分度台经常使用会造成工作面倾斜，此时需要将多齿分度台调整至水平。JJG 100- 2003《全站型电子速测仪》检定规程[1][2]中只要求应精细调平被检仪器，并使其旋转轴与多齿分度台旋转中心同轴，其差值小于0.1 mm，并没有对多齿分度台水平度做定量要求，检定员通常根据经验将台面水平度控制在一定范围内。本文从该点出发，通过理论分析找出多齿分度台倾斜与一测回水平方向标准偏差之间的关系，并给出在不同倾斜角度下的影响量。

1 多齿分度台法

多齿分度台法是由安置在多齿分度台上端面并与其同轴的被检仪器测得的角度值与多齿分度台产生的标准角度值进行比较，经计算得出标准偏差。测量时，将被检仪器安置在多齿分度台上，精细调平，并将多齿分度台置于零位，转动仪器照准部照准平行光管目标，使仪器的水平度盘置零，读取水平角度值；再转动多齿分度台到第2检定位置，仪器的望远镜照准平行光管目标，读取水平角度值。以同样的方法，将仪器的照准部顺时针方向旋转一周，按预先布点检定第3，4，…，n检定位置，最后回到零位。将仪器望远镜翻转180°，以逆时针方向将仪器的照准部旋转一周，依次照准平行光管目标1，n，n-1，…，1并分别读取示值，往返测量一次为一个测回。重复上述步骤完成其余测回的测量。通过式（3）计算被检仪器一测回水平方向标准偏差。

首先按式（1）求得零起分度误差Ψi：

式中：αi——受检点被检仪器示值；

α标——受检点齿盘标准角度值

零起分度误差最大值与最小值的差值为测角示值误差：

一测回水平方向标准偏差按式（3）求得：

m——测回数；

n——受检点数

2 倾斜投影理论

在一测回水平方向标准偏差测量中，因为多齿分度台无法达到较高的水平度，此时多齿分度台就会与水平面形成一个交角，设该角度为θ，以水平面为投影面，将多齿分度台平面投影至水平面，可看作是圆垂直投影到投影面上。假设圆所在平面P，圆心O，P面上经过圆心O的直线OA，即为直角坐标X轴，通过圆心O并与X轴垂直的直线OB为Y轴。投影面为P′，在投影的过程中，首先将投影面P′垂直移动到圆心O处，再通过垂直投影把圆投影到投影面P′上，此时，圆在P′上的投影就是在投影面上的投影，如图1所示[3]。

图1 投影关系

P面上X轴，即直线OA，经垂直投影，在P′面上为 O′A′，即 X′轴。设 OA 和 O′A′的夹角为 θ1，因为 O′A′/OA=cosθ1，通过垂直投影，在 X 轴上的圆上任意点N，即x值垂直投影到投影面P′上为x′，则投影长度比为

同理，P面上直角坐标Y轴，即经过圆心O的直线OB，垂直投影到投影面P′上为O′B′即Y′，设OB 和 O′B′的夹角为 θ2，因为 O′B′/OB=cosθ2，那么在Y轴上的圆上任意点N，即 y值垂直投影到投影面P′上为y′，则投影长度比为

因为N点所在圆的方程为

把式（5）（6）代入式（7）中，垂直投影到投影面 上 的坐标方程为

对于特殊情况，如果N点在以P平面和P′平面相交线为X轴建立的直角坐标系内，则垂直投影到投影面P′上的N′的直角坐标方程为

其中θ是P平面和P′平面的交角，该方程即为以O为原点的椭圆方程。根据一测回水平方向标准偏差测量过程，由式（9）可推导出投影后的角度值，即被测仪器示值α

3 多齿分度台倾斜对一测回水平方向标准偏差影响仿真

全站仪或者电子经纬仪按照测角补偿方式划分，可以划分为具有水平补偿功能和无水平补偿功能两种，由于多齿分度台倾斜对两种补偿方式的仪器的影响过程不同，因此，本文将分两种情况分别讨论分析[4][5]。

1）对于不具有水平补偿功能的被测仪器，测量前，仪器需精细调平，使仪器水平度盘处于水平位置。由于多齿分度台与水平面的倾斜角度为θ，则多齿分度台与仪器水平度盘交角也为θ。在测量过程中，水平度盘随着多齿分度台的转动将偏离水平位置，但与多齿分度台的交角及相对位置不变。根据倾斜投影理论，多齿分度台在水平面的投影为一个变形椭圆，因为本文只研究多齿分度台倾斜对水平角一测回水平方向标准偏差测量的影响，为了消除仪器本身带来的影响，假设仪器水平度盘无度盘偏心，并且分度值刻划准确。按照一测回水平方向标准偏差测量方法，望远镜依次瞄准平行光管目标，由式（10）得出仪器测量值 α1，α2，α3，…，αn-1，αn，α′1，α′2，α′3，…，α′n-1，α′n，再由式（3）计算可得到一测回水平方向标准偏差。假设多齿分度台依次倾斜 1′，2′，3′，…，5′，6′，7′，此时可得到不同倾斜角度对一测回水平方向标准偏差的影响量，结果如表1所示。

表1 无水平补偿功能被测仪器影响量

以多齿分度台倾斜量作为X轴，对一测回水平方向标准偏差的影响量作为Y轴，绘制无水平补偿功能被测仪器影响量曲线，如图2所示。

图2 无水平补偿功能被测仪器影响量曲线

2）对于具有水平补偿功能的被测仪器，根据补偿器工作原理可知，仪器在补偿器补偿范围内工作时，水平度盘平面可视为始终与水平面平行。因此，对于倾斜一定角度的多齿分度台，测量过程中仪器虽然跟随多齿分度台一同转动，但仪器水平度盘依然能够保持水平状态。

假设多齿分度台与水平面的倾斜角度为γ，并且多齿分度台倾斜量在仪器补偿器补偿范围之内，则多齿分度台与仪器水平度盘交角也为γ。在多齿分度台转动过程中，虽然与仪器水平度盘交角不变，但是两者的相对位置却在变化，因此，影响量大小与多齿分度台倾斜方向和测量的起始位置相关。根据倾斜投影理论，选取最不利情况分析，为了消除仪器本身带来的影响，仍然假设仪器水平度盘无度盘偏心，并且分度值刻划准确。根据一测回水平方向标准偏差测量方法，由式（10）得出仪器测量值β1，β2，β3，…，βn-1，βn，β′1，β′2，β′3，…，β′n-1，β′n，将测量值代入式（3）计算得到一测回水平方向标准偏差。在仪器补偿器补偿范围内，多齿分度台分别倾斜1′，2′，…，7′，得到一测回水平方向标准偏差的影响量，如表2所示。

表2 具有水平补偿功能被测仪器影响量

以多齿分度台倾斜量作为X轴，对一测回水平方向标准偏差的影响量作为Y轴，绘制具有水平补偿功能被测仪器影响量曲线，如图3所示。

图3 具有水平补偿功能被测仪器影响量曲线

由表1及图2可知，对于无水平角补偿功能的全站仪和电子经纬仪，当多齿分度台倾斜量小于等于1′时，其对一测回水平方向标准偏差测量结果的影响量不大于0.01"。随着倾斜量的增大，影响量不断增大。

由表2及图3可知，对于具有水平角补偿功能的全站仪和电子经纬仪，当多齿分度台倾斜量小于等于1′时，其对一测回水平方向标准偏差测量结果的影响量不大于0.03"。随着倾斜量的增大，影响量不断增大，且增长较快。

4 结语

一测回水平方向标准偏差的测量结果不但与多齿分度台倾斜量大小有关，而且与被测仪器是否具有水平补偿功能以及倾斜方向和测量的起始位置有关。因此，在一测回水平方向标准偏差测量结果的不确定度评定中，以上因素应作为不确定度分量分别加以考虑[6]。