巧用对比 加深感悟

刘兆伟

小学数学教学不应当只关注显性的知识与技能，还应当关注知识技能背后的数学思想。如何将隐含的数学思想凸显出来，对比感悟是个好方法。下面以数形结合思想为例，谈谈笔者的实践与思考。

一、在抽象与直观的对比中，感悟数形结合思想

数学概念是数学知识体系的基石，正确、深入地理解数学概念对于后续的数学学习有着十分重要的作用。数学概念是抽象的，而小学生的思维以形象思维为主，数学概念的抽象性与学生思维的形象性形成了一个矛盾，数形结合思想就是解决这个矛盾的有效方法。在教学抽象的数学概念时，教师可以借助图形让学生感悟数学概念的本质内涵，同时通过图形的直观性与数学概念的抽象性的对比，让学生感悟数形结合思想。

如教学苏教版数学教材五年级下册“质数和合数”一课时，教材中对于质数和合数是这样描述的：“2、3、5这几个数只有1和它本身两个因数，像这样的数叫作质数（或素数）。”“6、8、9这几个数除了1和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数。”这样的描述是抽象的，不利于学生理解质数和合数的本质内涵。在教学这一内容时，笔者在研究得到20以内的质数后，让学生思考用质数个同样的小正方形拼长方形或大正方形有几种不同的拼法，学生通过画图与观察，发现都只有一种拼法。接着让学生用合数个同样的小正方形拼长方形或大正方形，学生通过画图与观察，发现都不止一种拼法（如图1）。

随后，笔者让学生思考为什么用质数个小正方形拼长方形或大正方形只有一种拼法，而合数个小正方形拼长方形或大正方形不止一种拼法。通过思考学生发现，表示质数的乘法算式只有一个，即1与这个质数相乘，所以拼成的长方形只有一种。而表示合数的乘法算式却有两个或两个以上，所以拼成的长方形或大正方形不止一种。这样，质数和合数的概念就与相应图形联系起来了，它们在学生头脑中就不再是抽象的文字，而是变成了可以感知、可以想象的图形，原本抽象枯燥的数学概念就变得形象生动了。

二、在复杂与简单的对比中，感悟数形结合思想

计算是小学数学的重要内容，一般的算式只要按照运算顺序和法则就能够算出得数，而有些存在规律的算式，如果按照常规运算顺序进行计算，过程可能会非常复杂，而如果能通过数形结合找到其中的规律，计算就会变得很简单。在复杂与简单的对比中，让学生感悟数形结合思想及其价值。

如教学苏教版数学教材五年级下册“解决问题的策略”例2，教材中先让学生计算[12+14+18+116]，然后借助图形让学生发现这道算式可以转化成[1-116]来计算（如图2）。

笔者为了让学生对数形结合思想产生强烈的感觉，将“练一练”中的[12+14+18+116+132+164+1128]調整为例题来教学。首先，让学生尝试计算这道算式，有的学生按照运算顺序依次计算，还有的学生先将所有分数通分成同分母分数再计算。不管用哪种方法计算，过程都非常复杂。此时有些学生产生了寻求更简单的算法的需要。随后，笔者引导学生观察算式中加数的特点，学生通过观察发现前一个分数是后一个分数的两倍。接着，引导学生像教材例题中那样，用一个正方形表示1，并在这个正方形中表示[12+14]，然后引导学生依据图形发现[12+14]与[1-14]的计算结果相等，接着让学生继续结合图形发现，[12+14+18]与[1-18]的计算结果相等，[12+14+18+116]与[1-116]的计算结果相等。最后，学生根据算式中加数的特点归纳出，这些算式都可以用1减去最后一个加数来计算。按照这样的规律加下去，“练一练”中的算式可以用[1-1128]来计算，并且按照这样的规律继续加下去，仍然可以用这样的方法来计算。

三、在困难与容易的对比中，感悟数形结合思想

在解决问题教学中，常用画线段图的方法帮助学生分析与理解题意。线段图能够直观地表示出文字叙述的条件和问题，使原本抽象的数学问题变得易于理解。在教学中，很多教师先要求学生画线段图表示题目中的条件和问题，然后让学生根据线段图思考解决问题的路径。虽然学生根据线段图能够很容易想到解题思路，但由于画线段图是按照老师的要求做的，所以学生无法感受到数形结合思想的价值。教学时，我们不妨先让学生独立尝试解决问题，在学生探寻解题思路遇到困难时，再让他们用画线段图的方法来帮助思考，找到解决问题的思路或突破口，从而在困难与容易的对比中，让学生感悟数形结合思想及其价值。

如教学苏教版数学教材四年级下册“解决问题的策略”时，教材中例1：小宁和小春共有72枚邮票，小春比小宁多12枚。两人各有邮票多少枚？笔者在出示例题后，让学生解决这个问题。有的学生想到“去多法”，即先把小春比小宁多的12枚去掉，此时两人的邮票枚数就同样多了，邮票总枚数就变成了72-12=60（枚），再用60÷2=30（枚），得到小宁的邮票枚数，最后用30+12=42（枚），得到小春的邮票枚数。还有的学生想到“补少法”，即先给小宁补上12枚邮票，此时两人的邮票枚数也变得同样多，邮票总枚数就变成了72+12=84（枚），再用84÷2=42（枚），得到小春的邮票枚数，最后用42-12=30（枚），得到小宁的邮票枚数。此时，笔者让想出这两种方法的学生讲解自己的解题思路，有不少学生难以解释自己的解题思路，说明这些学生对解题思路的认识是模糊的。

于是，笔者让学生画线段图表示题目中的条件和问题，当有了线段图后，原本不能解释自己解题思路的学生能够清晰地解释自己的想法，原本没有解题思路的学生很容易理解了上述两种解题思路，但仍有少部分学生还不能明白这两种解题思路。此时，笔者用课件分别将线段图与两种解题步骤中的每一道算式同步动态演示。演示完后，有不少学生能根据两种解题思路中的共同点（都是先将小宁和小春的邮票枚数变得同样多）想到了“均分法”（如图3）。

四、在模糊与精确的对比中，感悟数形结合思想

数形结合思想在数学中的应用主要有两类，分别是“以形助数”和“以数解形”。在小学数学教学中，在解决很多与图形相关的问题时，如果仅依据对图形的观察，凭直觉去判断，有时是不够准确的，甚至会出现错误，而如果赋予图形恰当的数值，通过具体数值的精确计算能够帮助学生深入地理解图形问题，做出准确的判断。从而让学生在模糊与精确的对比中，感悟数形结合思想及其价值。

如教学苏教版数学教材五年级下册“整理与复习”中的一道习题时（如图4），为了让学生感悟数形结合思想，在教学此题时，笔者先呈现三幅图形，并将此题改为：“将三块一样大的正方形铁皮，分别按右图剪下不同规格的圆片，剩下的铁皮面积相等吗？”由于将原题中“边长都是12厘米”去掉了，解决此问题时，学生只能根据直觉进行判断，大部分学生认为第一张铁皮剩下的面积最大，最后一张铁皮剩下的面积最小;还有些学生认为剩下的铁皮面积相等。由于这两类学生的判断都是依据模糊的直觉，所以都不能说服对方。有部分学生开始想到用假设法来进行解释，即假设正方形的边长是4厘米、8厘米、12厘米……并通过计算发现，不管正方形的边长是多少厘米，剪掉的圆的总面积都相等，所以剩下的铁皮面积也相等。并且还有学生想到，按照这样的方式在这张正方形铁皮中剪去9个、25个、36个同样大小的圆片，剩下的铁皮面积也是一样的。

（作者单位：江苏省高邮实验小学）