不动点定理与Picard迭代数列的收敛性——不动点方法在大学生数学竞赛试题解题中的应用

许绍元，程素玉

（1.韩山师范学院 数学与统计学院，广东 潮州 521041；2.韩山师范学院 图书馆，广东 潮州 521041）

数列极限与函数极限是高等数学和数学分析［1］最基本最重要的两个概念，其他重要概念如连续、导数、微分、积分、级数的收敛等本质上都是极限概念的延伸或应用.

函数极限与数列极限可以通过海涅（Hein）定理（也称归结原则）相互转化.由于数列极限是函数极限的基础，本文仅讨论数列极限，主要讨论Picard迭代数列收敛性与函数的不动点之间的关系.

近年来，各级各类的大学生数学竞赛的试卷中经常出现有关数列极限的题目，这些题目有不少涉及迭代数列，特别是Picard迭代数列的极限问题.对有关问题的探讨已经引起学者的关注［2-4］.下题来自2013年举行的第五届中国大学生数学竞赛预赛（数学类）试卷的第三题.

题1［5］（第五届中国大学生数学竞赛预赛（数学类）试题第三题，15分）笔者曾参加某省赛区的竞赛阅卷工作，当时官方提供的参考答案与评分标准中给出该题的第（1）小题的答案如下［5］：

这里需要说明的是，上述证明出现瑕疵是使用了条件“x>0 时f(x)

本文的目的是将上述题1的第（1）小题推广为一类连续函数的不动点定理，研究Picard迭代的收敛性，并且探讨有关连续函数的不动点定理在全国大学生数学竞赛试题解题中的应用.

1 连续函数的不动点定理

注1 定理1中要求函数f(x)在文献［a,b］上连续，并且满足0

命题1 下列不等式成立：

（1）∀x>0,sinx

（2）∀x>0,ln(1+x)

注2 根据定理1和命题1，可以得到相应的Picard迭代数列的收敛性，见下文的例2和例3.

故f是压缩映射，由定理2（压缩映像原理）可知，结论成立.

注1 上面有关连续函数的不动点定理及其证明方法是近些年来数学竞赛和考研答题过程中经常使用的技巧和方法，下面通过典型例子说明这些技巧和方法的应用.

2 应用

下面举例说明上述连续函数的不动点定理及其证明方法在大学生数学竞赛试题解题中的应用.

例1［5］（第五届中国大学生数学竞赛预赛（数学类）试题第三题（1）小题）