“化繁为简”在数学中的价值分析与教学思考

袁晓萍

【摘 要】本文基于三个年级同做一题的调查启示，提出需要为学生构建“化繁为简”的学习路径，基于广泛而深入的课堂教学实践，优化了搭建进退有序的思考路线、实施进退有节的教学干预等一系列“化繁为简”的导学技术，以期在教学中使教师和学生能够高效率、高质量地领会和体验“以简驭繁”的数学价值和思考魅力。

【关键词】化繁为简 价值分析 范式建构 策略探究

“化繁为简”是数学教材中隐藏着的重要的数学思想：无论多复杂的数学问题，肯定都是从简单的知识起步，只要学生能找到这个问题的原点，那问题也就迎刃而解。本文所要叙述的，就是数学教学中如何基于教材，丰富过程，将教材教薄，让每一个学生在活动中体验“化繁为简”的精简、清爽的数学特性。

一、范式构建：搭建“化繁为简”的学习路径

“退”是解决问题的一种策略和方法，要“退”到事物的最起点换一个角度思考，“退”是为了更好地“进”。 虽然“化繁为简”作为一种隐性方法，会因高度个性化而难以形式化，但是，教师仍可以结合实际教学，引领学生经历“融化—感应—碰撞—挖掘”的过程。

1.思有“起点”： 让学生遇到复杂问题产生“退”的需要

通过创设一些难度适当的问题情境，有意识地制造一个个悬疑，当学生面对这些纷繁复杂的题目毫无头绪、束手无策时，自然产生知“难”而退的需要，变被动思考为主动应用。

明显的新旧关联可以启动思考。数学的系统性决定了数学知识与方法间是相互联系的，将“新知”与需要用到的“旧法”关联呈现，引导学生产生对原有思考模型进一步拓展与延伸的需求。例如，学生学习了三年级的《数学广角——组合问题》，教师可以并列构建以下新旧关联的三个问题，启发学生思考。

题1：六年级四个班进行拔河比赛，每两个班赛一场，一共要赛多少场？

题2：图中各有多少个长方形？

题3：图中各有多少个角？

以题组对比的形式，启发学生进一步检索、提炼方法，在新知问题的运用中进一步清晰化，产生有序的数学思考。

强烈的认知冲突可以启动思考。通过呈现与学生原有知识、经验相矛盾的现象，设置悬念;或提供几个相互矛盾的方案、解答，由外在的情境冲突，引发认知的不平衡，从而激起学生“退”的需求。例如，在《用计算器探索规律》一课学习中，教师可以将原有的规律探索改为极大算式：你能通过计算器计算出的结果吗？当学生知道计算器上数位有限、不能直接解决这个问题时，自然会想到要从简单的情况或从小一点的数入手，由易到难，从中获得某些启示后，再来考虑原题的解答，自然过渡、水到渠成。

獨特的数学排列可以启动思考。独特的数学排列就是一种良好的认知结构，数学排列的元素可以是数、符号、式或者图形，可以给学生一种强烈的数学冲突，便于学生去“检索”，引发“退”的需求，启动有序化的思考。

数的排列：3，5，7，9，…，_____（第2021个数）

式的排列：=（）

2.思有“结构”：掌握“化繁为简”的技术范式

毋庸置疑，学生“化繁为简”的思考水平和技术能力的培养，离不开教师的引导和点拨。适当构建“化繁为简”的阶段层次和基本技术范式（如图1），借助合乎逻辑的技术范式不仅能使学生获得知识，而且有利于提高学生的逻辑思维能力，增强其对“化繁为简”思想方法的感应能力。

下面，以“一个大正方形用十字形连续均分20次，能得到几个小正方形”一题为例，具体阐述一下教师在课堂教学中，对于学生的数学思考如何进行“适时介入”和“合理引导”，帮助学生构建、掌握“化繁为简”的基本技术范式。

简约阶段：化繁为简，简化探究素材。简约阶段是指把繁杂的问题简单化、条理化，记录表达基本的数据规律。如上例，引导学生画图分析，从第一次均分开始研究，记录基本规律，如图2。

符号阶段：化数为式，探索数学模型。符号阶段，要引导学生去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物。如根据数学规律，将“结论数”改写成“算式”，用数学符号的方式构建数学模型，如图3。

普适阶段：无中生有，优化数学模型。普适阶段是指通过假设和推理建立法则或者模型，并能够在一般意义上解释具体事物和复杂问题。比如，引导学生在均分一次的前面再增加一种初始状态，数形结合，完善数学模型，如图4。

3.思有“延伸”：形成“化繁为简”的思维惯性

“前延后展”的学习方法能够让学生“触景生思”，诱发学生积极思维，引发更多的数学联想，逐步向数学思想的掌握靠近。在思维的“延展”阶段，教师可以用以下的方法和策略：

操作了，不妨再“瞻前”比一比。学会某一数学知识点后，引导学生再回头比一比，整体关注，由零散的方法到整体的求同构建，感受其中相同的数学思考与学习方法，从而“力透纸背”。例如，在学习五年级“平面图形的面积”时，学完了所有平面图形的面积后，我们可以通过假设和推理，把图形的面积计算统一到梯形的面积计算上，三角形即为上底为零的梯形，平行四边形即为上下底相等的梯形等，在学生的头脑中建立更高层次的模型，如图5。

解决了，不妨再“瞻前”议一议。更多数学问题解决后需要我们再引导学生回头想一想，体验其中更简洁的结构和更系统的联系。例如，“列方程解决问题ax+bx=c”，教师整体呈现学生本课解决过的所有问题，引导学生对比：如图6，整体看一看，你能不能发现其中相同的地方？你觉得哪几个问题可以归为一类？

生1：除了（3），其余可以归为一类，因为它们的方程形式都是ax+bx=c。

生2：是的，（1）（2）（4）的数量关系都要表示在线段图（5）的形式里。

生3：我觉得（3）也可以和它们归为一类，因为它们的数量关系都是一个部分+另个一部分=总量。

师：如果我们尝试着把这些题都用一个式子来概括的话，你觉得可以怎么来写？

生：ax+by=c，不同的是，有些问题当中的x与y相等，有些x与y不相等。

当学生从解决问题的基本结构对“散装”的数学习题进行整体思考时，从特殊ax+bx=c拓展到更一般的ax+by=c当中，便于学生将注意力集中到数学研究的核心本质上，这应该是我们引领学生要去的地方。

学会了，不妨再“顾后”想一想。如果只重视局部训练而淡化整体联网的教学，就会使学生缺少高瞻远瞩的解决谋略和随机应变的解决智慧。我们应有这样的意识：将前后知识进行融合，不同的领域内容互相渗透，恰当“顾后”，既是让学生感受教材知识本身的魅力，还赋予了学生应用数学知识的持续力。例如，“整理与复习：小数的意义和性质”一课中，学生已经对四年级第四单元学习的内容进行了整体回顾，体会了“小数意义”在其中的核心价值，构建起了具有结构性的知识网。在学生对本单元的知识整体联系后，教师不妨再引导学生恰当“顾后”，提前剧透后面的学习内容，引导学生进一步体会所学知识的意义，简化未来学习的经验储备。

师：学了这么多小数的知识，有什么用呢？在第六单元，我们还学习了“小数的加法和减法”， 和今天复习的内容有什么联系呢？

生：其实，小数的加减法要求相同数位相加减，就是运用了小数的意义，用到小数部分的各個计数单位。

师（出示图7）：下个学期，我们还将学习小数乘法和小数除法，学习它们，会不会与我们这个单元的知识有联系呢？

生：哦，发现了！原来小数乘法这样就行了。

师：同学们，“小数的意义和性质”的学习内容仅仅只是给我们提供了一棵知识树吗？

生1：老师，我看到了，这棵知识树的背后还有联系着的、更多的知识树！

生2：是，是一个森林……

三、策略探究：优化“化繁为简”的导学技术

为了突出“化繁为简”的数学特性，形成学生数学思考的惯性，教师应有针对性地进行教学干预，有的放矢，才能触及“化繁为简”教学策略的本质及其蕴含的隐性思想。

素材应用：将“简单的材料”用出“极致的价值”。纵观小学数学课堂，小方格、百数图、数轴、格点图这些简单的素材有很多，把简单的材料用到极致，可以让学生产生“饿”的感觉，从而伸展向更广泛的领域。

学习前置：从“最近的起点”走向“最远的终点”。教材中许多知识都具有常识性，学生在生活中已有很多的经验，而这些经验又是多义的、模糊的。比如“年、 月、日”一课涉及的知识点较多，又大多属于常识性知识，没有太大的探究空间，教学时会显得零碎，如何化繁为简呢？教师在课前以“预学卡片”的方式，引导学生通过说一说、查一查、理一理的方式，尝试将与年、月、日有关的零散知识进行自主的前期学习与梳理。

师（出示图8）：看着这么多同学与我们分享的预学材料，你有什么体会吗？

生1：虽然年份是不同的，但是其中一些年、月、日的知识是不变的。

生2：这么多知识，原来可以用表格、图画这些简洁的方式来表示。

在实际教学中，我们也看到，有了清晰的预学任务，学生自然会回报以形式多样、相对完整、表达简洁的预习成果。基于学生的预学成果，教师自然可以站在学生已有的认知水平和起点上来展开新知学习。

结构呈现：变模糊无序为清晰有序。很多学生面对一些比较繁难的数学问题时，往往会产生退缩情绪，或者在烦琐的解答过程中出现失误。教学时要让学生体会数学学习就是一个新陈代谢、吐故纳新的过程，是一些新的有力的工具、更简单的方法的发现，与一些陈旧的、复杂的东西被跨越的过程，是“高级”的数学替代“低级”的数学的过程。下面，以“阶梯式计价法”的问题解决为例，如图9。

在这样的结构化呈现后，教师要进一步引导学生“化繁为简”，寻找问题的“原点”，追溯知识的最初形态。先思考原始问题：这些数学问题有哪些相似的地方？我们在解答时有哪些相同的地方？再还原本来意义，概括相似的结构关系，然后寻找生活原型：生活中还有哪些问题也用到了这样的数学结构？

正是这种提纲挈领的描述，让学生除了识记之外，更应利用所体现的简单形象的直观模型，将学生的思维引向更高的层次，用简约的结构丰盈学生的视野。