基于高阶矩法的单桩承载力可靠度研究

蔡雪霁，傅 强，李金铜，李 潇，孟子龙，李时章

(1.三明学院 建筑工程学院，福建 三明 365004；2.中南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410075；3.北京工业大学 建筑工程学院，北京 100124)

桩基础是工程中常用的基础形式之一，考虑岩土工程中存在着各种不确定性的影响[1]，诸多学者对单桩承载力可靠度计算与分析做了相关的研究，并取得了丰硕的研究成果。文献[2]用Bayes更新减少参数主观不确定性的影响，再结合一次二阶矩法(FOSM)来计算单桩承载力可靠度。文献[3]采用不求导数最优化法来计算铁路桥梁钻孔灌注桩承载力可靠度。文献[4]收集部分试桩资料，分别采用FOSM和蒙特卡洛模拟法(MCS)来计算与分析单桩承载力的可靠度。文献[5]提出采用高次响应面函数结合FOSM的响应面法(RSM)对隐式功能函数的倾斜荷载桩进行了可靠度计算与分析。文献[6]以全概率理论为基础结合FOSM来计算与分析桩底沉渣对单桩承载力可靠度的影响。文献[7]重新定义了失效准则偏差系数，并用FOSM计算与分析了不同失效准则下单桩承载力可靠度。文献[8]基于数统极差理论来估算静载试验数据较少时总体样本的均值与方差，利用FOSM给出了桩基承载力服从对数正态分布的可靠度计算方法；同时将极差理论与Bayes结合给出了桩基承载力Bayes估计的计算公式。文献[9]提出基于最大熵原理来计算桩基承载力可靠度方法，同时基于Bayes统计给出了考虑不确定性的桩基承载力可靠度分析方法，最后还提出一种改进的桩基承载力可靠度优化方法。文献[10]用FOSM来分析了国内外不同桩基承载力设计方法对可靠度结果的影响。文献[11]提出Bayes理论结合MCS的桩基可靠度计算与分析方法。文献[12]分别采用FOSM和MCS对工程中压浆前后钻孔灌注桩承载力可靠度进行了对比分析。文献[13]提出了MCS与随机场理论相结合的考虑土性参数空间变异性的桩基承载力可靠度计算与分析方法。

针对FOSM、RSM计算过程中需要求偏导、寻找验算点、计算过程统计概念不明确且遇到复杂工况容易导致迭代次数较多或不收敛，MCS计算量大成本高的不足，因此，选择一种计算相对简便且统计概念清晰同时在保证精度前提下计算效率高的单桩承载力可靠度计算与分析方法具有一定价值和意义。

为此，本文发展了基于高阶矩法的单桩承载力可靠度研究：本文第一部分建立了单桩承载力的功能函数；第二部分给出了高阶矩法计算单桩承载力可靠度及功能函数分布的表达式；第三部分以实际工程中四根不同长径比的桩基作为算例，采用高阶矩法对桩基承载力可靠度进行了计算，同时将高阶矩法计算得到的结果与MCS及FOSM计算结果进行了对比分析，最后采用桩基承载力功能函数的前三阶矩对各桩承载力功能函数的分布函数进行了模拟；第四部分是本文的结论部分。

1 单桩承载力功能函数

假定单桩极限承载力为R，桩顶总荷载效应为S。由于各种不确定性的存在，R，S是一组随机向量。根据可靠性的定义，当桩基处于失效状态时，单桩承载力功能函数可表述为

Z=G(R，S)<0，

(1)

式中R一般取决于地基土对桩的支承能力；S为上部结构传递到桩顶的荷载Fk和桩基承台及其上覆土自重Gk两部分之和，不考虑偏心作用时，单桩承载力失效功能函数可写成

G(X)=R-(Fk+Gk)<0.

(2)

1.1 单桩极限承载力

单桩极限承载力R工程上有很多近似的估算方法[14]，其中用静载荷实验来评估R最为直观可靠，但静载荷试验数据离散性较大且试桩样本少(一般地基条件下试桩数量不宜少于总数的1%)导致误差大，而且造价较高。本文在研究单桩竖向承载力可靠性时，R可按规范中经验参数法[14]进行估算：

(3)

式中qsi=(qs1，…，qsn)T，qs1，…，qsn为桩周第i层土的单位极限侧阻力标准值(kPa)；qp为桩端土的单位极限端阻力标准值(kPa)；di为第i层土中的成孔直径(mm)；Δli为第i层土中桩身长度(m)；Ap为桩底面积(mm2)。由于采用经验参数法对qsi，qp进行估算，因此qsi，qp的随机不确定性远比di，li，Ap的几何不确定性大；为简化计算与分析，本文将qsi，qp看成随机变量，di，Δli，Ap看成确定值。

1.2 桩顶作用效应

对于一般受水平力较小的建筑物，桩顶在荷载效应标准组合轴心竖向力作用下，桩顶竖向荷载作用效应S[14]：

S=S(Fk，Gk)=Fk+Gk=SG+SQ+Gk，

(4)

式中Fk为荷载效应标准组合下作用于承台顶面的竖向力，它可写成桩顶竖向恒载效应SG(kN)和桩顶竖向活载效应SQ(kN)两部分之和；Gk为桩基承台与承台上土自重标准值。Fk与Gk也可通过下面式子进行近似计算[15-16]：

S=S(Fk，Gk)=Fk+Gk=nβAigi+γTc，

(5)

式中n为楼层层数；β为轴压力增大系数；Ai为第i层竖向构件负载面积(m2)；gi为折算在第i层单位建筑面积上的重力荷载代表值(kN/m2)，可根据实际荷载计算，也可按框架结构取12～14，框剪结构取14～16，剪力墙筒体取15～18；γT为桩基承台及其上覆土自重的加权平均重度(kN/m3)；c为承台与其上覆土的共同体积(m3)。为简化分析，本文仅将Fk与Gk当做随机变量。

2 单桩承载力可靠度分析的高阶矩法

单桩承载力功能函数G(X)各阶矩可表示为[17]

(6)

(7)

(8)

式中μG是G(X)的均值，是G(X)分布的位置参数；σG是G(X)的方差，为G(X)分布的刻度参数；αkG为G(X)的k阶中心矩，如当k=3时，α3G表示偏度系数，反映G(X)偏离对称性参数；f(X)为随机向量X的联合概率密函数。

2.1 标准正态空间点估计

用n表示随机变量个数，m表示标准正态空间的m点估计，用式(6)～(8)计算G(X)的前三阶矩，需要进行mn次计算。为降低计算量，文献[18-19]将单桩承载力功能函数在均值点处泰勒展开并忽略交叉项，此时计算量降低到mn-1次，此时单桩承载力功能函数G(X)可简化成一系列一维函数之和[18]。

(9)

其中：

G(μ)=G(μ1，…，μn)，

(10)

Gi=G[μ1，…，μi-1，T-1(ui)，μi+1，…，μn]，

(11)

式中G(μ)是常数，对应所有变量取其均值；Gi表示功能函数G(X)中第i个元素为随机变量，其他随机变量用自身均值μi代入；T-1(ui)表示逆正态变换，即将标准正态空间坐标系中估计点ui变到原空间T-1(ui)=Xi，不难看出，式(9)将多变量的功能函数简化为一系列单变量函数之和。

此时G(X)的前三阶矩可表示为[18]

(12)

(13)

(14)

式中μG，σG，α3G为G(X)的前三阶矩；μGi，σGi，α3Gi为G(X)中只含单个随机变量函数的前三阶矩，用点估计计算，公式如下：

(15)

(16)

(17)

式中ui，k表示标准正态空间第i个随机变量的k点估计，pk表示其对应权重，按下式计算[18]

(18)

式中xk和wk是Hermite积分多项式中权函数exp(-x2)的横坐标和权重，表1列出7点估计结果。

表1 7点估计对应的估计点与权重

2.2 单桩承载力的分布函数及可靠度指标

选用基于三阶矩标准化函数[20]的分布参数为G(X)前三阶矩(式12-14)的三参数对数正态分布[21]来描述单桩承载力功能函数G(X)的分布特性，此时G(X)的概率密度函数f(xs)为

(19)

(20)

此时，单桩承载力功能函数G(X)的可靠度指标及其失效概率Pf也可以由G(X)的前三阶矩得到[22]

(21)

Pf=Φ(-β).

(22)

综上所述，基于高阶矩法的单桩承载力可靠度计算与分析流程如图1所示。

图1 基于高阶矩法的单桩承载力可靠度分析流程

3 工程算例

某实训大楼是一栋7层高的建筑，基础采用桩径D为800mm，900mm及1000mm 3种形式的冲孔灌注桩，桩长L范围为13～50m，桩基穿越地层主要有杂填土、含粘性土砾石、强风化花岗岩3种；该建筑桩基承台及桩位布置图如图2所示，桩基大样图如图3所示；取该工程4根不同长径比的单桩(6#桩，9#桩，87#桩，156#桩)作为研究对象，各桩基设计参数与桩周土层参数分布资料见表2[23]。

极限侧阻力qsi与极限端阻力qp的均值μi通过现场对各桩基周围各层土取样测得的侧阻力以及端阻力实测平均值得到，变异系数δi同样通过现场抽测各桩基周围各层土的侧阻力以及端阻力实测偏差值计算得到；文献[24]认为qsi近似服从正态分布，qp近似服从对数正态分布；本文中承台顶面的竖向力Fk与桩基承台与承台上土自重标准值Gk的均值通过从PKPM设计软件中得到；对比发现采用式(5)计算得到Fk与Gk的结果与软件计算得到的结果误差在5%以内。根据《统一标准》[25]曾经的调查，Fk与Gk近似服从对数正态分布且变异系数取0.07；将各随机变量参数取值以及概率分布类型汇总于表3。

表3 基本随机变量概率模型及统计参数

3.1 单桩承载力功能函数的前三阶矩计算

根据第二节内容，各桩基功能函数G(X)可写成

(23)

以6#桩为例，用Mathematic软件进行计算，采用标准正态空间的7点估计与Rosenblatt逆正态变换，由式(15)～(17)得到6#桩单桩承载力功能函数只含单个随机变量函数Gi的前三阶矩结果列于表4。

将表4的结果代入式(12)～(14)，可得到6#桩单桩承载力功能函数G(X)的前三阶矩，同理也可得到9#，87#，156#桩G(X)的前三阶矩计算结果。作为精度对比，采用100万个样本的MCS计算得到各桩G(X)前三阶矩。将以上计算结果均列于表5。

表4 6#桩功能函数为单个随机变量前三阶矩计算结果

表5 MCS与高阶矩法计算功能函数G(X)各阶矩结果比较

表5可知，高阶矩法计算各桩G(X)的前三阶矩结果与MCS算出结果基本相同且用时较少，说明采用高阶矩法计算能够在保证计算精度的前提下提高计算效率。

3.2 各桩承载力功能函数可靠度指标计算

MCS与FOSM都是工程上以概率统计理论为基础的分析结构可靠度的一类重要方法。MCS能计算工程中各类复杂结构的可靠度问题，而且能得到精确的计算结果，但前提是需要足够大的样本数且对计算机运算速率有较高的要求；FOSM主要包括中心点法和验算点法(JC算法)，其中JC算法是国际结构安全性联合委员会(JCSS)推荐的工程实际中应用较成熟的算法，但FOSM的计算精度与求导迭代得到的验算点位置选取有很大的关系，因此FOSM对一般工程有良好的适用性，但对于功能函数表达式非线性较强时该方法计算精度就难以保证。而采用高阶矩阵法既大大减少运算量，又避免了在验算点处求导迭代的问题。本工程算例给出了四根桩基通过100万次样本计算得到的MCS结果和通过FOSM(JC法)计算得到的结果，如表6所示。同时将表5中的结果代入式(21)～(22)可得到高阶矩法计算得到的各桩承载力可靠度指标βi及其所对应失效概率Pfi，如表6所示。

表6 三种方法计算可靠度结果对比

表6可知，采用高阶矩法计算单桩承载力的失效概率Pfi及可靠度指标βi平均耗时较MCS法平均耗时少，说明高阶矩法在满足计算精度前提下计算效率更高；同时高阶矩法较FOSM而言，统计概念更清晰明确，且不需要找验算点，不用迭代、求偏导；这里应当指出应用高阶矩法计算单桩承载力可靠度指标在一定范围内才能保证可靠度指标计算结果的精度，研究也表明大部分实际工程适用条件基本在该范围之内[25]。因此，基于高阶矩法的单桩可靠度计算为实际工程中研究桩基承载力可靠性提供了一条有效途径。

算例中4根不同桩长径比的单桩可靠度指标βi都在《统一标准》[26]中给出的三级延性破坏构件的目标可靠度指标之上(≥2.7)，这也与文献[23]中做出的结论4根桩基承载能力具备一定的富余度的相一致。

3.3 各桩承载力功能函数的分布函数

将表5结果代入式(19)～(20)得到单桩承载力功能函数G(X)分布的概率密度函数(PDF)曲线，如图4所示；作为对比，图4同时给出了单桩承载力功能函数G(X)进行100万次MCS的频率直方图。

图4 各桩G(X)的频率直方图以及近似PDF曲线

4 结束语

为了简单、高效的计算与分析单桩承载力可靠度，进行了基于高阶矩法的单桩承载力可靠度的研究，采用高阶矩法对实际工程中4根不同长径比的桩基可靠度进行了计算与对比分析，给出了各桩基可靠度指标及其概率密度函数的近似表达式。通过这个研究中发现采用高阶矩法进行单桩承载力可靠度计算分析过程中既不需要寻找验算点，又不需要进行迭代求偏导；该方法简单且高效，同时还能得到各桩基承载力的功能函数的分布函数及其特征值，该方法为工程中桩基承载力可靠度的研究提供了一条有效的途径。