基于Griffith断裂准则的根系固土力学模型

眭子凡，易 文

（中南林业科技大学 土木工程学院，湖南 长沙 410004）

公路建设过程中，土体填挖会产生大量稳定性差、易引发地质灾害的边坡，对人类生命及财产安全产生严重威胁。因此，制定科学合理、经济有效的公路护坡方案是公路建设的重要内容。早期，常采用建挡土墙、加锚杆或喷射混凝土等传统施工手段稳固公路边坡的坡体，以减少水土流失防止边坡失稳，但存在成本高、易失效及不可持续发展等问题。利用植被涵水固土功能的生态护坡技术，在稳固边坡的基础上，兼顾着生态脆弱区的景观恢复与重建，具有更好的经济效益及景观效果[1]。

生态护坡主要是利用植物茎叶减缓雨水对边坡冲刷的水文效应，以及植物根系与土体间产生的附着力[2]，增强土体的抗剪强度，从而加强边坡的长期稳定性[3]。目前，国内外学者建立了一些力学模型分析根系固土的原理，其中最具代表性的模型主要包括：Wu 氏模型、Riproot 纤维束模型（又称为FBM 模型，Fiber Bundle Model）[4-5]。然而，植物根系的力学特性尚未完全明确，根土间相互作用理论仍不够完善，Wu 氏模型抗剪强度的计算结果普遍偏大[6-7]，精度不高。FBM 纤维束模型利用复合材料理论提高了计算精度，但其概率密度函数的拟定复杂，计算结果受植物根密度参数影响较大，可靠性不足。

继Porter 首次将断裂力学原理应用于植物材料后，国内外科研人员发现该理论在分析生物复合材料断裂性质相关问题时具有指导作用[8]。本研究基于材料力学与断裂力学理论，探讨植物根系在断裂过程中可能发生的损伤断裂模式，建立植物根系断裂物理模型，估算根土复合材料在失效破坏过程中所消耗的能量，基于Griffith 断裂准则，运用功能转换原理构建精确的根-土复合体力学模型，求解根-土复合体的抗剪强度增量。利用已发表的霸王Zygophyllum xanthoxylon、柠条锦鸡儿Caragana korshinskii根-土复合体的直剪试验数据，检验能量法模型的可靠度及有效性，为预测根系固土力学效应及评价生态边坡稳定性提供理论依据。

1 Wu 氏模型与FBM 模型分析

1.1 Wu 氏模型

20世纪70年代，基于材料力学和结合极限平衡理论，Wu 等[9]首次建立了植物根土相互作用的力学模型。该模型假设植物根系垂直分布于坡面，具有足够的锚固长度，受力过程中，不会被拔出只会被拉断，且所有根系断裂发生在同一时刻。土体受剪时，根系错动拉长产生拉应力，从而提高根土复合体抗剪强度。根系对土体的这种“加筋”作用主要体现在粘聚力的增加上，其抗剪强度增量计算式为：

式中：Ti为各根系的抗拉强度；ni为不同横截面积对应根的个数；ai为各根系的横截面积；As为根土复合体的横截面积；θ为根系错动后倾斜面与竖直方向夹角。

Wu 等[9]和Waldron 等[10]的试验研究的结果表明，倾角θ与摩擦角φ分别处于45°～90°、25°～40°之间，因此1.0≤sinθ+cosθ·tanφ≤1.3，可简化取为1.2。

Wu 氏模型是通过力学分析来实现剪切强度的求解，分析简单，使用方便。对于精度要求不高的情况下，适用于植物护坡抗剪强度的计算。由于Wu 氏模型建立过程中，假定所有根系同时发生断裂，简化了根系与土体间互作关系。实际情况，当根系与土体间接触力不足时，根系存在未达到断裂强度被拔出的现象，这将高估根土复合体抗剪能力而低估边坡稳定性分析时的安全系数。Waldron 等[10]考虑到植物根系同时被拉断及拔出的情形，对Wu 氏模型进行了改进，同时探讨了与剪切面斜交的植物根系模型，但计算过程复杂，限制了其应用范围。

1.2 FBM 模型

Gray 等[11]认为，植物根系类似纤维材料，通过与土壤摩擦、咬合实现两者紧密结合。根系在抵抗剪切破坏时的拉伸断裂过程，可通过线弹性力学进行分析。基于复合材料理论，Pollen 和Simon[12]提出并验证了根土相互作用纤维束模型，这类模型更契合土体受力时根系的实际破坏过程，计算结果更加准确。该模型可反映土体中根系受力破坏的完整情况[13]，Riproot 模型动态过程的控制方程可以表示为[14]：

式中：ti为初始荷载下第i根根系抗拉力；tn为所有根系所受的总拉力；p(σth)为荷载的分布函数。

其中纤维束模型中，荷载的分布函数的选择决定着模型的精度以及计算复杂程度，常用的两种分布函数为均匀分布函数和Weibull 分布函数[15]。

纤维束模型摒弃了Wu 氏模型中根系同时瞬间断裂的假设条件，较符合实际剪切过程。选择合适的分布函数后，计算的抗剪强度与试验结果间差别较小，精度高。但纤维束模型假设根系承受所有剪切面上的力，估算的抗剪强度受根系密度影响较大。当根系密度过大或过小时，估算的偏差较大。同时概率密度函数中的各项参数受植种树龄等因素影响，是不断发生变化的，这将导致FBM 模型计算复杂，实际应用受限。

2 基于Griffith 断裂准则下能量模型的构建

2.1 根系拔出功与断裂功

裂纹体的受力状态及裂纹的扩展方式存在张开型、滑开型和撕开型3 种典型情况（如图1），在断裂力学中，张开型裂纹为最危险的状态，最具代表性。根土复合体中植物根系的失效破坏可看作一种张开、滑开复合型裂纹产生的过程，随剪切力的增大，土体间出现错动，根系将呈现出根系断裂及根系拔出两种状态，在此过程中将产生能量的转换。

图1 裂纹形式Fig.1 Crack form

根土复合体受力时，体系吸收的外力功将转变成体系的弹性能，随着外力的不断增大，裂纹萌生，此时，裂纹体的弹性能降低，裂纹间表面能增加。结合植物材料断裂力学可知，若根系断裂长度为l，储藏在长度为dx的根系的弹性能Uf为：

根系断裂后，根系相对土体错动u(x)所做的功Ufm为：

剪切过程中，根系先被拉长随后在薄弱处或缺陷处断裂，回缩释放出弹性变形能，随后土体内应力重新分布根系发生错动。因此，单位横截面上N根根系断裂的断裂功Gfu可表示为：

式中：σ为根系断裂时的最大拉应力；E为根系的弹性模量；Rf根系平均半径；τ为土体中根系界面剪应力；u(x)为根系相对土体移动距离；Vf为土体中根系体积分数。

根系拔出时，土体中根系断口距断裂面的距离为l/2，则根系被拔出阻力为πRf(l/2-x)τ，坡面破裂面处根系受力为T，如图2所示。此时拉力与阻力平衡，处于临界状态时，因此，根据剪滞理论，根系拉力T可表示为：

图2 根系拉拔受力分析Fig.2 Root pulling force analysis

忽略根系在受力过程中变形，设单位断裂面上有N根根系被拔出，则根系拔出所需要做的功Gf为：

2.2 根-土复合体的断裂韧性

作为一种纤维增强材料的植物根系，其性能和断裂破坏规律取决于组分材料性质和细观结构特征，其断裂是多种损伤模式相互作用的失效过程（如基体开裂、界面脱黏、纤维断裂及分层）[16]，因此根系断裂发生时将有多种能量的变化，可表示为：

式中：Gm为根系断裂时单位面积基体组织开裂所吸收的能量；Gi是根系断裂时界面分层开裂所吸收的能量；Gfu是根系在断裂时单位面积所吸收的能量；Gf为根系拔出时单位面积吸收的能量。

显然，由以上转换关系可知，通过分析根系在受剪过程中多种能量对其断裂韧性的贡献率，可求得根-土复合体的抗剪强度增量。根据Shao等[17]的相关研究可知，根系的断裂能和拔出能在材料的整个失效过程中占主导作用，而基体组织开裂及分层开裂产生的能量消耗相对小的多，为简化计算在此暂不考虑。

2.3 根系固土力学模型的构建

自然界中的能量总量保持不变，只在形式和物体间发生转换。植物加固边坡过程中，根-土复合体发生破坏的过程即是根系与土体中产生裂纹并进一步扩展的过程。结合断裂力学中断裂韧性概念[18]可知，随荷载增大，根系会被拔出或拉断，产生拔出功和断裂功，而根系与土体的韧性则吸收了材料在脆性破坏过程中的能量，使整个过程中能量达到守恒，其公式可表示为：

式中：Gc为复合体断裂韧性；Gs为素土的断裂韧性；Gp为植物根系抗横断的断裂韧性。

在边坡稳定性分析中断裂韧性是指在荷载作用下，土体或复合体软弱破坏层上的裂纹发生失稳扩展，其应力达到抗剪强度，能量达到极限值，边坡发生剪切破坏，故可知：

式中：∆U为裂纹扩展能量消耗；∆A为裂纹扩展截面面积；τcm、τsm分别为根-土复合体、素土的抗剪强度；L为剪切位移；∆τ为根-土复合体抗剪强度增量。

在实际根土复合体受剪破坏时，断裂和拔出两种情况是同时出现的，因此应根据土体中所有根系失稳情况进行分配后代入上式(12)求抗剪强度增量，可表示为：

3 模型验证

3.1 试验数据分析

试验区位于青岛东北部西宁盆地，选取30°及45°边坡上种植的霸王和柠条锦鸡儿为研究对象，生长期为2～4 a[19–22]。通过对抗拉力、抗拉强度与根径的定量分析，建立其回归方程曲线，并对拟合优度进行了相关检验，结果如图3所示。

由图3可知，随植物根系直径的增加，其抗拉力基本呈线性增加，抗拉强度则表现为幂函数递减，不同植物类型拟合结果不完全相同，但变化趋势基本一致。该拟合结果可用于确定不同根径下植物根系的抗拉力大小。根-土复合体受剪破坏过程中，一部分根系将被拉断，一部分将被拔出（完全拔出或略微滑移）。为计算根系的断裂韧性，即根系拔出功和断裂功，对余芊芊试验结果[23]中霸王根及柠条锦鸡儿根的根系分布及断裂模式进行统计，剪切面上根系分布情况见表1，断裂模式分布情况如图4所示。

由表1可知，不同坡度下植物根系的分布情况存在较大差异，种植于30°边坡上的植物根系较为发达，其根系粗长。而同一坡度上，霸王根根系直径普遍较大，柠条锦鸡儿根的分布则相对并不均匀，根系的粗细变化较大。剪切破坏后，对根-土复合体剪切面上失效破坏的植物根系数量进行统计，由图4可知，两种植物的侧根多表现为被拔出或断裂，而主根主要为滑移，极少发生断裂。

表1 根-土复合体剪切面根系分布情况Table 1 Root-soil complex shear surface root system distribution

3.2 新模型验证

以30°坡上种植的霸王为例，根系平均直径为Rf=2.88 mm，根据图3中霸王抗拉强度与根径关系y=14.171x-0.75拟合可知其平均拉应力σ=6.65 Mpa。根系弹性模量E=13.6 Mpa，根系断裂长度l=7.5 mm。通过图4中多统计霸王根断裂情况可知，根土剪切长度L=7 cm，剪切过程中断裂数为21 根，拔出根数为40。运用Griffith 能量法模型求解根系断裂时Gfu=49.59 N/m，根系拔出时Gf=72.24 N/m，根-土复合体抗剪强度增量∆S=1.74 Kpa，剪切试验测得霸王根-土复合体抗剪强度增量为1.6 Kpa，模型预测增长率为8.75%。同理将其他几类情形下试验与理论计算结果计算汇入表2，并与最常用Wu 氏模型结果对比。

图3 根系抗拉力、抗拉强度与根径关系曲线Fig.3 Root tensile resistance,tensile strength and root diameter relationship curves

由表2可知，两种植物根系都能有效提高土体抵抗剪切破坏的能力。其中，Wu 氏模型在一定程度上可对根系的加固效果进行预测，但基于该模型对根土间相互作用机理研究匮乏，其结果存在着较大的误差，尤其对于拔出及滑移根系较多断裂根系较少的情形误差相对更大。反观Griffith准则下的能量法模型预测结果则较为准确，与试验结果基本吻合，模型误差值保持在15%左右，具有较高精度。通过验算表明本研究所构建的植物根系固土力学模型是合理可靠的。

4 讨论与结论

4.1 讨 论

赵玉姣、乔娜、李臻和张乔艳等[19–22]对霸王和柠条锦鸡儿两种植物的力学性能开展了大量的试验研究。分析了不同生长期、不同剪切角、不同根径以及不同化学成分下的两种植物根系对土体抗剪强度的增强效果，并对根系的抗拉力大小进行了记录，得到了较为全面准确数据及相关规律，因此，本文选用这两种植物作为研究对象具有代表性，所得结论准确。

分析发现，植物根系的抗拉力、抗拉强度与根径分别呈线性关系和指数关系，不同植物类型其线性拟合结果存在差异，但变化趋势基本一致，均表现为根系的抗拉力随根径的增大而增大，抗拉强度随根径的增大而减小。同时，根系固土本质是将土体所受剪力转化为根系所受拉力[24]，因此根系抗拉力的大小也将对其稳固边坡的效果起决定作用。当复合体受剪破坏时，根系并不会全部发生断裂，将出现拉断、拔出及滑移3 种情形，其中侧根多表现为拔出或断裂，主根主要为滑移，极少发生断裂。

Wu 氏模型在评价、预测根-土复合体抗剪强度时，对根系作用方式和物理特性等方面研究存在缺陷，Wu 假设在土体破坏时所有根系发生断裂，导致模型的精度不高，计算结果往往偏大。为避开对根系力学特性研究，Gray 建立了FBM 模型，又称为纤维束模型，该模型计算结果相对精确，但模型建立过程中分布函数的选择以及相关参数的拟定较为复杂，虽具有研究价值但应用并不广泛。而本文将根系与土体视为一类由纤维束和基体组成的复合材料，在此基础上引入断裂韧性和功能原理，建立根-土复合体抗剪强度增量与植物根系断裂韧性间转换关系，其力学模型中关键的断裂韧性Gp只需通过根径、弹性模量以及根-土复合体截面积等少量参数确定，此方法在求解抗剪强度增量时既充分考虑了根系各种破坏失效模式又保证了计算过程的简便。

通过验证，基于Griffith 断裂准则所构建的模型计算误差值保持在15%左右，反观同样情形下采用Wu 氏模型计算平均误差高达342%。新模型可有效适用于不同坡度、不同植物类型以及不同含根量下根-土复合体抗剪强度问题的分析，具有较好的应用前景。但由于植物根系生长具有显著的空间特征及随机性，导致运用理论模型定量分析根系固土问题时存在一定局限性。植物根系的断裂韧性不但与根系直径相关，还与植物根系的生长龄期有关，不同龄期植物根系内的木质素和纤维束含量不同，其抗拉性能也不尽相同[25]。本文选择生长期为2～4 a 的霸王和柠条锦鸡儿为试验对象验证模型，其样本数依然不够充分，考虑到植物的发展属性，在后续的研究中应该选择更多类型及更长生长龄期的植物开展全面的研究，对该理论模型做进一步验证和改良。

4.2 结 论

以寒旱环境下护坡植物为研究对象，结合理论分析与试验结果，对已有的根-土复合体抗剪强度力学机制模型进行了定性分析与定量计算，同时应用基本断裂功方法表征护坡植物根系的断裂韧性，用于根系的阻裂增强机理研究，得到以下结论：

1）植物根径与抗拉力呈线性关系，与抗拉强度呈幂指数关系。霸王、柠条锦鸡儿根系单根平均抗拉力与根径间关系可表示为y=25.039x-16.038、y=32.851x-7.249，抗拉强度与根径间关系可表示为y=14.171x-0.75、y=34.952x-1.028。

2）植物根-土复合体剪切破坏过程中，根系将呈现3 种失效模式。30°及45°边坡上，霸王根发生断裂、拔出、滑移的比例分别为31%、28%、41%和30%、20%、50%，柠条锦鸡儿根发生断裂、拔出、滑移的比例分别为10%、18%、72%和0%、16%、84%。

3）基于Griffith 断裂准则提出了根系固土力学模型∆S=kGp，其对霸王、柠条锦鸡儿根-土复合体抗剪强度增量∆S的预测结果与实际值的误差保持在8%～35%之间。