考虑剪切面积修正的土的剪应力−剪切位移及强度分析1)

雷胜友 惠会清

*(长安大学公路学院，西安 710064)

†(长安大学理学院，西安 710064)

直剪实验是用来研究土的强度的一种实验，其仪器设备简单，易于操作，使用最为广泛。但是该实验设备也有缺陷，即在剪切过程中，随着剪切位移的发生，土样的实际剪切面在不断地缩小，假如剪切面是圆形，则不断地缩小为两个半拱形面积之和。而剪应力的发挥是通过一定的剪切位移来实现的，随着剪切位移的发生，剪应力不断增大，最后达到应力峰值或逐渐发展成硬化型。总而言之，随着剪切位移的发生，剪应力在逐渐发挥出来，而剪切面积在不断减小，出现了剪应力和剪切面积随剪切位移发展的剪刀差现象，而且这种现象随着剪切位移的发展而进一步加剧，所以说以恒定的剪切面积去计算其上的剪切力，得到试样的剪应力，显然是不太合适的。为此笔者建议计算每一剪切位移下的试样剪切面积，然后以该剪切面积去除所施加的剪切力，这样得到的剪应力才是合理的。目前关于剪切面积修正方面可供借鉴的资料还不多，笔者做这一方面的尝试，以飨读者。

1 不同剪切位移下剪切面积表达式推导

本文以圆形和矩形剪切面（图1）为例，推导出在任意剪切位移下试样的剪切面积方程式，进而得到考虑剪切面积修正的剪应力，具体如下文所述。

1.1 试样剪切面为圆形

设直剪仪剪切盒内试样的半径为R，未发生剪切变形时，上、下半模重合在一起，为一个完整的圆柱腔，随着剪切位移的发生，上、下半模错开，形成两个扇形的重叠部分（图1(a)），随着剪切实验的进一步发展，重叠部分的面积越来越小。设在剪切过程的某一时刻，上、下半模错开的距离为x，即图1(a)中圆心o1和o2连线的长度，其变化范围为0～2R，在图1(a)中圆O1内，扇形B对应的圆心角为 2θ，以角度计，其面积为

图1 剪切盒上下面错位图Fig. 1 Dislocation diagram of the upper and lower parts of the shear box

∆AO1B的面积为

则弓形AB的面积为

上、下半模重叠部分的面积为弓形面积的两倍，可表示为

由于

所以，有

将以上 c osθ， s inθ及θ的表达式代入式(4)，整理得到试样剪切面积随剪切位移变化的关系式

设施加的剪力为Q，然后除以修正的剪切面积，则不同剪切位移下的剪应力为

其中，τa=Q/(πR2) ，为剪切面积未修正情况下的剪应力，

为剪切面积修正系数。

从式（6）和式（7）可知，随着剪切位移的增加，剪切试样重叠的面积越来越小，计算出来的剪应力越来越大。将剪切过程中不同时刻的剪切位移值代入式（7），得到考虑剪切面积修正情况下的不同剪切位移时试样面上的剪应力。其中式（7）中的C值既是试样未修正的剪切面积与修正剪切面积之比，也是考虑剪切面修正后试样的剪应力与未考虑剪切面修正的剪应力之比，这样可以得到修正系数随剪切位移的变化关系曲线。

1.2 试样剪切面为矩形

如图1(b)所示，设平行于剪切方向的矩形边长为l，垂直于剪切方向的边长为s，剪切位移量为 ∆l时，试样的剪切面积为

则修正后的剪应力表达式为

其中，τa=Q/(sl) ，为剪切面积未修正情况下的剪应力；C=1/(1−∆l/l) ，为剪切面积修正系数。

当l=s时，剪切面为正方形，则有

其中，τa=Q/l2，为剪切面积未修正情况下的剪应力，C=1/(1−∆l/l) ，为剪切面积修正系数。

1.3 剪应力修正系数随剪切位移变化规律分析

剪应力修正系数C随剪切位移δ的变化关系如图2所示，可以看出，剪应力修正系数随着剪切位移的增大而增大，随着试样剪切面直径或剪切边长的增大而减小，基本呈抛物线分布，其值均大于1，说明修正后的剪应力变大。

图2 剪应力修正系数随剪切位移的变化曲线Fig. 2 Change curve of shear stress correction factor with shear displacement

从图2(a)可以看出，试样直径为6.18 ～50 cm，剪切位移为2 mm 时，C的最大值为1.05，即修正的剪应力最大增大了5%；当剪切位移为4 mm时，最大增大了9%，在10%以内；当剪切位移为6 mm时，最大增大了14%，超过了10%，误差较大，所以当以相对误差10%为限界，当试样直径分别为6.18 cm，10 cm，15 cm，30 cm，50 cm时，建议剪切位移的控制值分别为4 mm，7 mm，10 mm，19 mm，40 mm；当相对误差调整为5%时，建议剪切位移的控制值分别为2 mm，3.5 mm，5 mm，10 mm，19 mm。同理，对于剪切面为方形时，当相对误差为10%时，则当剪切面边长分别为6.18 cm，10 cm，15 cm，20 cm，30 cm，50 cm时，建议剪切位移的控制值分别为5.6 mm，9.1 mm，13.7 mm，25.9 mm，26.2 mm，45 mm，当相对误差降为5%时，建议剪切位移控制值分别为2.85 mm，4.83 mm，7 mm，9.3 mm，13.7 mm，23 mm。

从图3(a)～图3(e)可以看出，当试样的直径和边长相同时，圆形剪切面的修正系数大于正方形剪切面修正系数，说明对应的修正剪应力，前者大于后者。

图3 剪力面形状对剪应力修正系数的影响Fig. 3 Influence of shear surface shape on shear stress correction factor

当剪切面为矩形时，修正系数因剪切方向矩形边长的不同而不同，其结果如图3(f)所示，可以看出，剪切方向边长为40 cm时的剪应力修正系数大于在剪切方向边长为60 cm时的修正系数，说明当沿着矩形短边方向剪切时，修正剪应力要更大些，究其原因，若沿矩形的长边方向剪切，则上、下盒重叠的面积大，剪切面积修正系数相对要小，反之亦然。当以剪应力修正系数较小为首选原则，则剪切应沿矩形的长边方向。

2 剪应力−剪切位移曲线及强度指标分析

为了验证前述分析的正确性，笔者使用式（7）、式（9）、式（10）计算了8种大小不同试样的剪应力[1-8]，得到修正剪应力–剪切位移曲线如图4所示。从图4可以看出，修正剪应力–剪切位移曲线均在未修正剪应力–剪切位移曲线之上，随着剪切位移的发展，两曲线的差值越来越大。现以图4（a）为例进行分析，从图中可以看出，当剪切位移分别为2 mm，4 mm，6 mm，7 mm时，修正剪应力较不修正的剪应力分别提 高了4.781 kPa，12.113 kPa，20.130 kPa，24.593 kPa，其提高的百分比分别为4.3%，8.9%，14.1%，16.82%。由于本例中试样直径最小，所以相对而言，修正后剪应力提高最多，从图4(b)～图4(h)的比较中可以明显看出。

图4 修正的与不修正的剪应力–剪切位移曲线比较[1-8]Fig. 4 Comparison of corrected and uncorrected shear stress–shear displacement curves

从修正的剪应力–剪切位移曲线上得到土的剪切强度值，进一步可求得剪切强度指标[1-8]，研究表明，修正后土的强度指标均有不同程度地提高，具体如下。

（1）圆形剪切面

当剪切位移为2～6 mm时，黄土的粘聚力提高了4.3%～14.1%，内摩擦角提高了3.9%～11.6%。

剪切位移为6～10 mm时，大豆的粘聚力提高了8.3%～14.6%，内摩擦角提高了7.6%～13.4%。

剪切位移为35～50 mm时，土石混合料的粘聚力提高了9.8%～14.6%，内摩擦角提高了7.9%～11.1%。

（2）正方形剪切面

剪切位移为2.25 mm时，矿渣磷尾矿黏土混合物的粘聚力提高了5.8%，内摩擦角提高了2.4%。

剪切位移为10～20 mm时，粗粒土的粘聚力提高了2.9%～11.1%，内摩擦角提高了2.9%～6%。

剪切位移为40～60 mm时，土石混合料的粘聚力提高了8.7%～13.6%，内摩擦角提高了7.5%～10.6%。

（3）矩形剪切面

剪切位移为40 mm时，高炉渣改良填料的粘聚力提高了7.1%，内摩擦角提高了6.6%。

剪切位移为12 mm时，粗粒土的粘聚力提高了3.1%，内摩擦角提高了1.8%。

3 结论

通过系统的理论推导分析和试验资料验证，本文得到以下结论。

（1）本文根据试样剪切面位移关系，推导出了修正剪应力表达式，研究表明，剪应力较不修正的剪应力大，修正剪应力随剪切位移的增加而增加，随剪切方向试样边长的增加而减小。

（2）当试样剪切面直径或边长在6.18～50 cm、剪切位移为2～60 mm时，按本文方法计算，修正后土的粘聚力提高了4.9%～14.6%，内摩擦角提高了3.9%～13.4%。

（3）建议尽量使用剪切面积大的试样进行直剪试验。