用二元函数极值的定义解决问题并渗透思政教育的探讨

摘 要：文章从二元函数极值的定义出发，用几个例子说明如何用定义解决一些难题。并将思政元素渗透到极值定义中，对学生处于低谷时的心理进行疏导，提升学生的抗压能力。

关键词：二元函数;二元函数极值定义;驻点;思政

中图分类号：O172.1文献标识码：A

1 绪论

在一元函数极值的基础上，我们引入二元函数的极值问题，首先给出定义。

定义1[1] 设函数z=f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）为D的内点。若存在P0的某个领域U（P0）D，使得对于该邻域内异于P0的任何点（x，y），都有f（x，y）f（x0，y0），则称函数f（x，y）在点（x0，y0）有极小值f（x0，y0），点（x0，y0）称为f（x，y）的极小值点;极大值、极小值统称为极值。使得函数取得极值的点称为极值点。

人生何尝不像一张曲面，极大值在高峰处取得，极小值在低谷处取得。人生总会有起有落，没有一帆风顺的人生。有的学生可能已经选择好了即将要完成的目标，而在完成目标的过程中，有心酸、有困难，此时不要轻言放弃，低谷是为了更好地迎接胜利。也许此时的你非常的无助，但是这样的事情在人生漫漫旅途中，只能算是小小的涟漪。所以，勇敢面对，不忘初心，砥砺前行吧。

而在处理二元函数极值问题的时候，也会遇到类似这样的问题。往往用判定驻点是否为极值点的判别方法时非常的简单，但是，如果遇到可能的极值点是驻点，但是AC-B2=0，或者，该点根本不是驻点，我们会觉得非常的难，感觉到了解决二元函数极值问题的低谷。此时不要放弃，可以尝试从定义出发。

下面从几个例子来说明，怎样从定义出发，解决二元函数的极值问题。

2 二元函数无条件极值特例

例1 求f（x，y）= x2+y2的極值。

解：因为fx（x，y）=x x2+y2，fy（x，y）=y x2+y2，函数f（x，y）在R2上除（0，0）点外均可偏导，且无驻点，故可能的极值点仅为（0，0）点。又（0，0）点为不可偏导的点，此时从定义出发进行判别。简单易见地是，

（x，y）∈R2＼（0，0），f（x，y）= x2+y2>0=f（0，0），所以（0，0）点为函数的极小值点，且极小值为f（0，0）=0。

例1给出了对于不可偏导点处，如何判断其是否为极值点的方法。从定义出发，借助几何直观、数学表达式大小关系等方法确定该点是否为极值点。

例2 已知函数f（x，y）在点（0，0）的邻域内连续，且lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-axyx2+y2）2=1。其中a为非零常数，则（0，0）是否取得极值点，如果取得，是否跟a的取值有关。

解：∵lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-axyx2+y2）2=1且lim（x，y）→（0，0）x2+y2）2=0，

∴lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-axy=0，

∴lim（x，y）→（0，0）f（x，y）=0。

又 ∵f（x，y）在点（0，0）连续，

∴lim（x，y）→（0，0）f（x，y）=0=f（0，0）。

∵lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-axyx2+y2）2=1，

∴f（x，y）-axyx2+y2）2=1+α（x，y），其中lim（x，y）→（0，0）α（x，y）=0，即f（x，y）=axy+（1+α（x，y））x2+y2）2。

在y=x上，f（x，x）=ax2+41+α（x，x）x4。当x→0时，f（x，x）=ax2+o（x2）。

在y=-x上，f（x，-x）=-ax2+41+α（x，x）x4。当x→0时，f（x，-x）=-ax2+o（x2）。

故，当x充分小的时候，f（x，y）在（0，0）点附近的值有正有负，而f（0，0）=0，故（0，0）不是函数的极值点，且其未取到极值与非零常数a无关。

例2题干中只给出了函数在（0，0）点处连续的条件，故不能用从驻点处取得极值的判别方法进行判断。本题找出了函数在（0，0）点的某个邻域内，既有f（x，y）>f（0，0），又有f（x，y）

例3 求函数f（x，y）=3（x-2y）2+x3-8y3的极值，并证明f（0，0）=0不是f（x，y）的极值[2]。

解：先解方程组

fx（x，y）=6（x-2y）+3x2=0，

fx（x，y）=-12（x-2y）-24y2=0，

求得驻点为（-4，2）、（0，0）。

再求二阶偏导数：

fxx（x，y）=6+6x，fxy（x，y）=-12，fyy（x，y）=24-48y。

在点（-4，2）处，AC-B2=（-12）·（-72）-（-12）2>0，又A<0，所以函数在（-4，2）处有极大值。

在点（0，0）处，AC-B2=6·24-（-12）2=0，无法判别（0，0）是否为极值点。

下面我们从定义出发，判别O（0，0）点是否为函数f（x，y）的极值点。

对于O（0，0）点的邻域U°（O，ε）（ε<1），取点列（xn，yn）=（1n，0），当n>1ε时，（1n，0）∈U°（O，ε），f1n，0=3n2+1n3>0，从而（x，y）∈U°（O，ε），使得f（x，y）>0。

取点列（x′n，y′n）=（2n-1n2，1n），当n>2ε时，（2n-1n2，1n）∈U°（O，ε），f2n-1n2，1n=-9n2+6n-1n6<0，从而（x，y）∈U°（O，ε），使得f（x，y）<0。

因此，（0，0）不是函数f（x，y）的极值点。

所以，函数f（x，y）仅在（-4，2）处有极大值，且极大值为f-4，2=64。

例3不仅介绍了如何判断驻点是否为极值点的解决方法，还给出了当出现AC-B2=0时，如何从定义出发，给出解题方法。

例4 设函数f（x，y）在（0，0）点及其邻域内连续，且lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A<0。讨论（〗0，0）点是否为函数f（x，y）的驻点？函数f（x，y）在（0，0）点是否有极值？如果有，是极大值还是极小值？

解：∵lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A

∴lim（x，y）→（0，0）y=0f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A

即limx→0f（x，0）-f（0，0）x2=A。

从而有limx→0f（x，0）-f（0，0）xx=A。

因此limx→0f（x，0）-f（0，0）x=0。

故fx（0，0）=0。

类似地，由lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A

有lim（x，y）→（0，0）x=0f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A

即limy→0f0，y-f（0，0）1-cos2y=A

运用等价无穷小性质有limy→0f0，y-f（0，0）y2=A，变形得limy→0f（0，y）-f（0，0）yy=A，所以limy→0f（0，y）-f（0，0）y=0，故fy（0，0）=0。

所以，（0，0）点是函数f（x，y）的驻点。

因为驻点是可能的极值点，所以下面判断（0，0）点是否为函数的极值点。由于f（x，y）在（0，0）点二阶偏导数未必存在，因此我们从定义出发，研究其极值问题。

∵lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A

∴f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A+α（x，y），其中lim（x，y）→（0，0）α（x，y）=0。

即有：

f（x，y）-f（0，0）=（A+α（x，y））（x2+1-xsiny-cos2y）

（1）x2+1-xsiny-cos2y=x2+sin2y-xsiny2xsiny-xsiny>0（O（0，0）除外）;

（2）因为lim（x，y）→（0，0）α（x，y）=0，所以根据极限的定义，对于A2>0，δ>0，对于（x，y）∈U°（O，δ），有α（x，y）

由（1）、（2）知，f（x，y）-f（0，0）<0，即存在U°（O，δ），对于任意的（x，y）∈U°（O，δ），有f（x，y）

从而，（0，0）是函数f（x，y）的极值点，且为极大值点。

例4 对于驻点处二阶偏导未必存在的情况，从定义出发，给出证明。

3 结语

本文主要从二元函数极值的定义出发，用四个不同类型的例子说明，如何运用极值的定义来解决问题，并且根据极值的定义引入了思想政治元素，既能使学生联系实际，理解极值的定义，又能从思想上对学生进行心理疏导。现在的大学生抗挫折能力较差，遇到困难，往往容易放弃，其实雨后才有彩虹。相信在高等数学的教学过程中，融入思想政治元素，会使我们的学生抗压能力更强，变得越来越优秀。

参考文献：

[1]同济大学数学教研室.高等数学[M].第五版下册.北京：高等数学出版社，2016：52.

[2]第十四届江苏省高等数学竞赛本科组试题.

[3]黄正刚.解二元函数无条件极值的一个有效方法[J].大学数学，2017，33（2）：114117.

[4]韩淑霞，黄永忠，吴洁.一类二元函数极值的判别.高等数学研究，2018，2（21） ：5355.

基金项目：江苏省2020年度高校哲学社会科学研究一般项目“新时代背景下思想政治教育融入高等数学课堂的探索与实践”（编号：2020SJA2217）

作者简介：肖小燕（1979— ），女，汉族，江苏如皋人，硕士研究生，講师，研究方向：多元统计。