利用函数导数确定极值点与拐点的方法探析

邵景行

【摘 要】应用函数的导数来判断给定区间内函数的增减性与凸凹性，明确极值点和拐点是高等数学学习过程中的重点与难点，本文现就该内容所涉及到的方法做一简单的归纳与整理，以期对该内容的学习者有所帮助。

【关键词】导数；极值点；驻点；拐点

Analysis on the Method of Determining the Extreme Point and the Turning Point by using the Function Derivative

SHAO Jing-xing

（Hainan Normal University School of mathematics and statistics， Haikou Hainan 571158， China）

【Abstract】Using the derivative of the function within the specified interval decreasing function and convex and concave of judgment and determine the function of the extreme point and inflection point is the emphasis and difficulty in the process of learning higher mathematics， methods in this paper， the content involves the do generalize a finishing， in order on the learners help.

【Key words】Derivative； The extreme Point； The Turning Point

1 关于函数的增减性

定义1：对于某区间内任意给定的x1、x2，且x1

根据定义1的几何意义，有如下判断函数增加性的方法。

定理1：设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，若在（a，b）内f ′（x）>0，则f（x）在[a，b]上单调递增；若在（a，b）内f ′（x）<0，则f（x）在[a，b]上单调递减。

有些函数在整个的考察范围上并不是单调的，这时就要把考察范围划分成几个单调区间。导数等于0的点和导数不存在的点可能是函数单调区间的分界点，所以，求函数单调区间的步骤为：

（1）确定函数的定义域；

（2）求函数的一阶导数f′（x）=0的点和f ′（x）不存在的点，将定义域分割成几个部分区间；

（3）列表确定f ′（x）在各个部分区间内的符号，从而确定f（x）的单调增减区间。

2 关于函数的极值点

定义2：设函数f（x）在点x0的某个领域内有定义，若对该邻域内任意的x（x≠x0），恒有f（x）f（x0）），则称f（x0）是函数f（x）的一个极大值（或极小值）。

极大值与极小值均被称为极值，使函数取到极值的点x0称为f（x）的极值点。函数取到极值的位置可能是切线斜率等于0（f ′（x）=0）的位置，但切线斜率等于0（f ′（x）=0）的位置不一定就是极值点，除了f′（x）=0的这些位置之外，还有一些位置也可能会是极值点，就是那些函数的一阶导数不存在（不可导）的位置。

定理2：若函数f（x）在点x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f ′（x0）=0。

定理3：设函数f（x）在点x0处连续，在点x0的某个邻域内可导。

（1）当x0，而当x>x0时，f ′（x）<0，则x0是函数f（x）的极大值点，f （x0）是函数极大值。

（2）当xx0时，f ′（x）>0，则x0是函数f（x）的极小值点，f （x0）是函数极小值。

（3）当xx0时，f ′（x）的符号相同，则x0不是函数的极值点。

根据以上定理，求函数f（x）的极值可按以下步骤进行：

（1）求出函数的定义域及一阶导数f ′（x）；

（2）求出可能极值点即f（x）的驻点和f ′（x）不存在的点；

（3）用定理3判断出是否是极值点，若是，再判断是极大值点还是极小值点；

（4）求出各极值点的函数值就得到函数的极值。

3 关于函数的凸凹性

定义3：在区间（a，b）内，若曲线弧位于其任意一点切线的上方，则称曲线弧在（a，b）内是凹的，此区间为凹区间；若曲线弧位于其任意一点切点的下方，则称该曲线弧在（a，b）内是凸的，此区间为凸区间。

一般来说利用定义判断函数的凸凹性是比较困难的，一般利用函数的二阶导数来判断，对于凹曲线，当x逐渐增加时，其图像上每一点切线的斜率是逐渐增加的，即函数的导函数是单调递增函数，函数的二阶导数f ″（x）>0；而对于凸曲线，当x的逐渐增加，图像上任一点切线斜率是逐渐减小的，即函数的导函数是单调递减函数，函数的二阶导数f ″（x）<0。

定理4：设函数f（x）在区间[a，b]上连续，在区间（a，b）内具有一阶导数和二阶导数，则：

（1）若在区间（a，b）内，f ″（x）>0，则函数f（x）在区间[a，b]上的曲线是凹的；

（2）若在区间（a，b）内，f ″（x）<0，则函数f（x）在区间[a，b]上的曲线是凸的。

4 关于函数的拐点

定义4：连续曲线y=f（x）上的凹曲线与凸曲线的分界点，称曲线y=f（x）的拐点。

可见，当函数f（x）的二阶导数f ″（x）存在时，拐点两侧f ″（x）的符号一定相反。我们一般按照下列步骤来判定曲线y=f（x）的拐点。

（1）确定函数y=f（x）的定义域；

（2）求出可能拐点即使函数的二阶导数f ″（x）=0的点和二阶导数f ″（x）不存在的点。

（3）对可能是拐点的每一个点x0，考察f ″（x）在点x0左右两侧的符号是否相反，是则是拐点，不是则不是拐点。

5 实例解析在区间（-∞，0]和[2/3，+∞）上曲线是凹的，在区间[0，2/3]上曲线是凸的。点（0，1）和（2/3，11/27）是曲线的拐点。

6 总结

综上所述，函数的极值点是那些把函数的增减区间划分开来的点，在这些点两侧函数的增减性是相反的，而能够做到这一点的点有两种，一种是一阶导数等于0的点即驻点，还有一种就是一阶导数不存在的点，但这两种点两侧的增减性又有可能是相同的，所以为了找出函数的极值点，应该先把可能是极值点的这两类点找出来，然后一一确认这些点是否极值点。曲线的拐点是那些能把曲线的凸凹性划分开来的点，在这样的点两侧曲线的凸凹性正好是相反的，而能够做到这一点的点同样有两种，一种就是二阶导数等于0的点，再就是二阶导数不存在的点。但这两种点两侧的凸凹性却也不一定是相反的，所以为了寻求曲线的拐点，我们应先把可能是拐点的这两种点找出来，再一一确认他们的两侧凸凹性是否相反。

【参考文献】

[1]陈水林，黄伟祥.高等数学[M].武汉：湖北科学技术出版社，2007.

[2]余桂东.关于极值点、拐点问题的探讨[J].昆明理工大学学报（理工版），2007（2）：121-124.

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[4]潘劲松.曲线的拐点与导数的关系[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2008（6）：5-9.

[责任编辑：王楠]