类比迁移，突出研究路径和方法

张蕾萍

摘要：苏科版初中数学九年级下册第5章第2节《二次函数的图像和性质》安排了3课时，分别引导学生学习形如y=ax2，y=ax2+k、y=a（x+h）2，y=a（x+h）2+k、y=ax2+bx+c的二次函数的图像和性质。有必要“放眼全局”“瞻前顾后”，对这一单元进行整体教学设计。具体地，可以引导学生类比迁移研究一次函数、反比例函数图像和性质的经验，抓住从特殊到一般的研究路径和数形结合的研究方法，研究二次函数的图像和性质。

关键词：单元整体教学;类比迁移;研究路径;研究方法;二次函数的图像和性质

苏科版初中数学九年级下册第5章第2节《二次函数的图像和性质》安排了3课时，分别引导学生学习形如y=ax2，y=ax2+k、y=a（x+h）2，y=a（x+h）2+k、y=ax2+bx+c的二次函数的图像和性质。这样分课时的学习有利于分解难点，逐个突破，但容易忽略知识之间的联系，使得所学习的知识是零散、孤立、碎片化的，缺乏整体性。这不利于学生知识结构的形成和优化，也不利于学生核心素养（思维能力）的培养和发展，因而不利于学生真正理解和掌握知识。因此，有必要“放眼全局”“瞻前顾后”，对这一单元（任何具有内在联系的内容模块都可以被视为“单元”）进行整体教学设计。

“放眼全局”，分析3课时内容的联系，可以发现：它们之间是从简单到复杂、从特殊到一般的递进关系，体现了从解析式到图像再到性质的数形结合方法，共同构成了研究二次函数图像和性质的路径和方法。“瞻前顾后”，分析这一节内容与这一章其他节内容的联系，可以发现：它们共同构成了“定义—图像和性质—应用”的函数研究路径。因此，可以抓住研究路径和方法这样的策略性知识，对这一单元进行整体教学设计。

此外，学习不是被动接受的过程，而是主动建构的过程，是利用原有的知识探索发现，进而同化和顺应新知识的过程。对于《二次函数的图像和性质》这一节内容，分析学生已有的相关知识，可以发现：学生已经学习过一次函数、反比例函数的图像和性质，初步积累了研究函数图像和性质的经验。因此，教师可以引导学生类比迁移这些经验，研究二次函数的图像和性质。

由此，大致的教学设计如下：

一、类比迁移已有经验，初步建构研究路径和方法

问题1之前我们学习过哪些函数？对于这些函数，我们除了研究定义，还研究了什么？

问题2我们刚刚学习了二次函数的定义，你认为接下来要研究二次函数的什么？

问题3我们是如何研究一次函数的图像和性质的？路径如何？方法如何？

问题4类比一次函数，如何研究二次函数的图像和性质呢？

问题1引导学生回顾一次函数、反比例函数的学习内容，概括得出函数研究的一般路径，即“定义—图像和性质—应用”。问题2引导学生基于函数研究的一般路径，自然得出接下来要学习的内容，即“二次函数的图像和性质”。

问题3和问题4则引导学生回顾一次函数图像和性质的研究路径和方法，类比得到二次函数图像和性质的研究路径和方法，即从简单到复杂、从特殊到一般的递进和从解析式到图像再到性质的数形结合。

二、研究几种形式之间的关系，具体明确从特殊到一般的路径

问题5具体而言，你能设计出怎样的研究路径？

追问具体而言，一次函数图像和性质的研究路径是什么？二次函数的图像和性质呢？

问题6哪一种路径更合理？

追问一次函数的研究路径下，两种形式y=kx与y=kx+b的图像之间有什么关系？二次函数的研究路径下，各种形式的图像之间有什么关系？

问题5及其追问引导学生类比一次函数从y=kx（分k>0和k<0两种情况）到y=kx+b的具体研究路径，设计出二次函数的两条研究路径：一是从特殊的y=ax2到一般的y=ax2（分a>0和a<0两种情况），到复杂的y=ax2+c和y=ax2+bx，再到更复杂的y=ax2+bx+c;二是从特殊的y=ax2到一般的y=ax2（分a>0和a<0两种情况），到复杂的y=ax2+k和y=a（x+h）2，再到更復杂的y=a（x+h）2+k。

问题6及其追问则引导学生采用运动变化的观点，类比一次函数两种形式的图像之间的平移关系，逐步发现两条研究路径下，二次函数几种形式的图像之间是否有平移关系，从而确定第二条研究路径更合理。

这里，特别要注意引导学生发现y=ax2+bx+c和y=a（x+h）2+k可以相互转化，本质上是同一种形式，从而发现两条研究路径“殊途同归”，进而确定后续学习应该选择第二条研究路径。

三、研究最简单形式的图像和性质，充分感悟数形结合的方法

问题7根据二次函数y=x2的解析式，你能猜测其图像有什么特征吗？

问题8对y=x2取值、列表，根据得到的数对特征，你能验证你的猜想吗？

问题9对y=x2描点、连线，根据得到的函数图像，你能描述函数的性质吗？

问题10类似地，你能研究二次函数y=-x2的图像和性质吗？

问题12你能尝试概括二次函数y=ax2的性质吗？

问题7引导学生根据二次函数y=x2的解析式，考虑自变量x的取值，分析y对应的值，猜想其图像的特征，包括大致位置和变化趋势、对称性和增减性等。问题8引导学生从解析式到具体值，进一步验证二次函数y=x2图像的特征。问题9引导学生从具体值到图像，进一步提炼二次函数y=x2的性质。由此，学生充分经历“由式想形（猜想）→描点作图（验证）→由形到性（完善）”的函数图像和性质的研究过程，感悟数形结合的研究方法。

经过上述教学过程，学生对二次函数图像和性质的研究路径和方法有了清晰而深刻的认识。接下来，可以让学生自主研究其他形式的二次函数的图像和性质。

参考文献：

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