三角恒等变换常见典型考题赏析

■张文伟

三角恒等变换是高中数学的重要内容,也是高考的必考内容。三角恒等变换的公式多,如“同角三角函数的基本关系式”“正弦、余弦、正切的诱导公式”“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”“二倍角的正弦、余弦、正切公式”等,同学们要熟练掌握这些公式的正用、逆用和变形应用,要掌握三角恒等变换的解题规律和解题技巧。下面举例解读这部分的常见典型考题,供同学们学习与参考。

题型一：三角函数公式的应用

利用三角函数公式应注意的三点:(1)要注意公式的结构特点和符号变化规律,如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号相反”;(2)要注意同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用;(3)要注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用。

题型二：三角函数公式的逆用与变形应用

题型三：三角函数中的变“角”

题型四：三角函数中的变“名”

三角函数的名称变换的关键是要明确各个三角函数名称之间的联系,常用到同角关系、诱导公式、弦化切或切化弦。转化思想是三角恒等变换的主导思想,要从角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异中,寻求联系,实现转化。

题型五：三角函数的化简

三角函数的化简遵循“三看”原则:一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助找到变形的方向,如“遇到分式要通分”。三角函数常见的基本变换方法有:异角化同角,异名化同名,异次化同次,降幂或升幂,“1”的代换,弦切互化等。

题型六：给角求值问题

对于给角求值问题,一般所给的角都是非特殊角,这时需要观察所给角与特殊角之间的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数问题。

题型七：给值求值问题

解答给值求值问题的三个基本步骤:(1)先化简所求式子或所给条件;(2)观察已知条件与所求式子之间的联系;(3)将已知条件代入所求式子,化简求值。

题型八：给值求角问题

题型九：三角函数中的参数范围问题

求三角函数中的参数范围问题,主要涉及三角函数的单调性、对称性、周期性等。

题型十：三角函数的图像与性质的综合问题

题型十一：三角函数与平面向量的综合问题

三角函数与平面向量的综合问题的求解思路:利用向量平行(共线)或垂直关系得到三角函数式,再利用三角恒等变换进行化简,最后结合三角函数的图像与性质进行求解。及对应的θ值。

图1

跟踪训练11：已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-3),x∈[0,π]。

(1)若a//b,求x的值。

(2)记函数f(x)=a·b,求函数f(x)的最大值和最小值及对应的x值。